等比数列练习题

2024年2月26日发(作者：陈木胜)

第三节 等比数列

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．(2013·江西卷)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )

A．－24

C．12

B．0

D．24

解析 由等比中项公式(3x＋3)2＝x(6x＋6)，

得x2＋4x＋3＝0.

∴x＝－1(舍去)，x＝－3.

∴数列为－3，－6，－12，－24.故选A.

等比中项公式比定义法更直接．注意x＝－1不满足等比数列的条件．

答案 A

42．(2013·全国大纲卷)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－3，则{an}的前10项和等于( )

A．－6(1－3－10)

C．3(1－3－10)

1B.9(1－310)

D．3(1＋3－10)

4解析 由题意3an＋1＋an＝0，得3a2＋a1＝0.又a2＝－3，故a1＝4；11an＋1＝－3an，故{an}为以－3为公比，以4为首项的等比数列，所以

1

1104[1－－3]110S10＝＝3[1－(13)]，所以选C.

1＋3答案 C

S53．若Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S＝( )

2A．11

C．－8

B．5

D．－11

解析 由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，

5S5a11＋2得q＝－2，则S＝＝－11.

22a11－2答案 D

4．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m＝( )

A．9

C．11

B．10

D．12

解析 在等比数列{an}中，∵a1＝1，

1010∴am＝a1a2a3a4a5＝a51q＝q.

又∵am＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.

答案 C

5．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．若a2a4＝1，S3＝7，则S5＝( )

15A.2

31B.4

2

33C.4

17D.2

解析 ∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，

∴设{an}的公比为q，则q＞0，且a23＝1，即a3＝1.

111∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝q2＋q＋1＝7，即6q2－q－1＝0.故q＝2，11或q＝－3(舍去)，a1＝q2＝4.

141－251311－25＝.

故S5＝1＝841－2答案 B

6．(2013·福建卷)已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是( )

A．数列{bn}为等差数列，公差为qm

B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m

C．数列{cn}为等比数列，公比为qm2

D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm

解析 本题考查等差、等比数列的证明．

cn＋1amn＋1·amn＋2·…·amn＋m

cn＝amn－1＋1·amn－1＋2·…·amn－1＋m＝qm·qm·…·qmm＝qm2.

个答案 C

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

3

7．(2013·广东卷)设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.

解析 ∵a1＝1，q＝－2，∴|a2|＝2，a3＝4，|a4|＝8.

∴a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝15.

答案 15

8．(2013·辽宁卷)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.

解析 ∵x2－5x＋4＝0的根为1和4，所以a1＝1，a3＝4，q＝2，1×1－26∴S6＝＝26－1＝63.

1－2答案 63

9．(2014·徐州市检测)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a3，a5成等差数列，且Sk＝33，Sk＋1＝－63，其中k∈N*，则Sk＋2的值为________．

解析 设公比为q,2a3＝a4＋a5，

2a3＝a3q＋a3q2，又a3≠0，

∴2＝q＋q2，q＝1或q＝－2.

当q＝1时，Sk＝k·a1＝33，Sk＋1＝(k＋1)a1＝－63

Sk＝33说明a1>0，Sk＋1＝－63说明a1<0，矛盾，

∴q＝－＋1－Sk＝ak＋1＝－96，

Sk＋2＝Sk＋1＋ak＋2＝－63＋(－96)·(－2)＝129.

答案 129

4

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)

10．(2013·四川卷)在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．

解 a1q－a1＝2，得a1(q－1)＝2.

由4a1q＝3a1＋a1q2得q2－4q＋3＝0，解得q＝3或q＝1.

由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去．故公比q＝3，首项a1＝1.

∴数列的前n项和S3n－1n＝2.

11．(2013·陕西卷)设{an}是公比为q的等比数列．(Ⅰ)推导{an}的前n项和公式；

(Ⅱ)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．

解 (Ⅰ)设{an}的前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；

当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②

①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，

na∴S＝a11－qn1，q＝1，n1－q，∴Sn＝a11－qn1－q，q≠1.

(Ⅱ)假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，5

(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，

a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，

2kkk－1a2·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，

1q＋2a1q＝a1q∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.

∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．

∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．

312．(2013·天津卷)已知首项为2的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

1(Ⅱ)设Tn＝Sn－S(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的n值．

解 (Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，a5131于是q2＝a＝4.又{an}不是递减数列且a1＝2，所以q＝－2.故等比数3313列{an}的通项公式为an＝2×(－2)n－1＝(－1)n－1·2n.

1(Ⅱ)由(Ⅰ)得Sn＝1－(－2)n

11＋2n，n为奇数，＝11－2n，n为偶数.

6

3当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1

n13当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以4＝S2≤Sn<1，故0>Sn11347－S≥S2－S＝4－3＝－12.

n2715综上，对于n∈N，总有－12≤Sn－S≤6.

n*57所以数列{Tn}的最大项的值为6，最小项的值为－12.

7