指数函数——分数指数幂

2024年1月8日发(作者：欧阳鉴)

指数函数——分数指数幂

三维目标

一、知识与技能

1．了解指数函数模型的实际背景，认识学习指数函数的必要性；

2．理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义；

3．理解n次方根与n次根式的概念，会进行根式与分数指数幂的相互转化；

4．掌握有理指数幂的运算性质，灵活运用乘法公式进行有理指数幂的运算与化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化．

二、过程与方法

1．通过师生、同学之间的互相交流，使学生进一步体会共同学习的乐趣．

2．通过n次方根概念的探索与活动，明确数学概念的严谨性和科学性，学会做具备严谨科学态度的人．

3．通过对问题的探究过程，培养学生的观察能力和理性思维能力．

三、情感、态度与价值观

1．通过n次方根概念的学习，体会类比的数学思想方法在数学学习中的作用，感受数学概念的整体性、严密性，学会怎样不断完善概念，培养严谨的科学精神．

2．在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对n次方根的性质的理解，增强学生的交流能力，不断培养学生倾听、接受别人意见的优良品质．

二．教学重点

分数指数幂的概念及其运算性质的应用．

三．教学难点

1．对根式意义的理解；

2．化简、求值问题中的指数运算技巧、整体代换思想的运用．

四．教学过程

第一课时

问题情境

细菌的繁殖在理想状态下约每20min一代，就是每20min由1个分裂成2个．

问题1 你能写出一个细菌分裂后的个数y与细菌分裂次数x之间的函数关系式吗？

xy＝2，xN．

问题2 如果一个小朋友早上8点半离开家去幼儿园之前洗了手，而且在幼儿园里直到11点半午饭前才由老师领着去洗手．那么在这3个小时里，这位小朋友手上一个细菌会繁殖成多少个？

y＝29＝512．

复习回顾

整数指数幂的运算性质：

当a≠0，b≠0，s、tZ时，

a

t at

sts＋tsts－tststttt① a·a＝a，a÷a＝a； ② (a)＝a；③ (ab)＝ab，()＝t．

bb0特别注意：x＝1(x≠0)．

数学理论、数学运用

1．根式

在初中已经接触过平方根、立方根的概念：

2如果x＝a，那么称x为a的平方根，一个正数的平方根有2个，且互为相反数；

如果x3＝a，那么称x为a的立方根，一个实数的立方根只有一个；

如此类推，

如果一个实数x满足xn＝a（n＞1，nN*），那么称x为a的n次实数方根．

当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的

n次实数方根只有一个，用记为x＝na表示．例如：3273，5322，aa．当n为偶数时，正数a的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号n362a表示，可以合并写成±a（a＞0）例n如：4162，4162，16的4次方根可以写成4162．负数没有偶次方根．

而0的n次实数方根为0，记作n00．

我们把na叫n次根式，n是根指数，a是被开方数．

思考：(na)n ，a ．

根据n次实数方根的定义，可得(na)na．例如(5)25，(32)32．

必需注意的是：a不一定等于a．

当n是奇数时，annnnnna，例如：

3(2)32，a552．

n当n是偶数时，因为nan表示正的n次方根或者0，所以如果a是非负数，那么例如：33，0综上我们有：

当n为奇数时，ann44nnana，如果a是负数，那么nan|a|a，例如：(3)2|3|3．

0；a(a0),|a|

a(a0).a；当n为偶数时，ann

例1 求下列各式的值：（书第46页例1改编）

（1）(3)2；（2）3(8)3；（3）4(2)4；（4）(3)2；（5）(ab)2(ab)．

解：（1）(3)2＝3．

（2）3(8)3＝－8．

（3）4(2)4＝|－2|＝2．

（4）(3)2＝|3－π|＝π－3．

2（5）(ab)＝|a－b|＝b－a．

nn点评：对于式子a，要特别注意n的奇偶性，当n为奇数时aa；当n为偶数时，nnnan|a|，否则容易导致错误的产生．

Ⅱ．分数指数幂

学生活动，总结运算规律．

225＝5，－8＝－2，2＝21033124125＝16（＝23），12122＝215315＝8（＝25）．

5a10aa25(a0)，3aaa43(a0)．

问题3 你能从上面的一组计算过程中，得到什么规律？

当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式．

问题4 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式能不能也写成分数指数幂的形式？

当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式，21455例如：a32a3(a0)，bb2(b0)，cc4(c0)．

mmnn事实上，如果幂的运算性质②(ak)nakn对分数指数幂也适用．

这时设a0，kmn(n1，且nN），那么(a)m*kn(a)annma．这样，由n次根式的定义，就可以把an看成am的n次方根．

因此我们规定：

mnan＝am．

正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：

a－n＝m1man（a＞0，m、nN*）其中m为被开方数的指数，n为根指数．

*注意：①分数指数幂只是根式的一种新的表示形式；

②分析底数为正的意义．

这是因为如果我们不做这样的规定，将会出现矛盾，例如：

6若规定(2)44(2)646422，而由6432633可得(2)4(2)2，而这时(2)2却没有意义．

显然：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．

规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数指数．

问题5 推广后原来的整数指数幂的运算性质是还因此而发生的变化呢？

推广后指数运算性质保持不变：

a

t at

sts＋tststttt① a·a＝a；② (a)＝a；③ (ab)＝ab，()＝t（a＞0，b＞0，s、tQ）．

bb

例2 求值：（书第47页例2）

1223（1）100； （2）8； （3）91132； （4）(181)34

解 （1）1002＝(10)＝1022222(12)＝10．

（2）83＝(2)＝2（3）9（4）(3233323＝22＝4．

2(32)＝(3))34232＝3＝3－3＝127．

18134＝(3)－4＝3＝27．

3说明 本例的目的是帮助学生熟练掌握分数指数幂的运算性质．

例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（a＞0）:

（1）a2a； （2）aa． （书第47页例3）

1解 （1）a2a＝aa＝a22

2125＝a2．

113131（2）aa＝(aa)2＝(aa2)2＝(a2)2＝a4．

说明 用分数指数表示根式目的在于将根式运算转化为指数运算，因此我们必须演练掌握根式与分数指数幂的互化．

2a例4 计算：．

a·a2

解

a232a12223a122a27a2765a6．

3a6aa a·a

说明 （1）式子中既含有分数指数幂，又含有根式时，为了方便计算应该把根式统一化成分数指数幂的形式，再根据运算性质运算．

（2）对于计算结果，并不强求用统一的形式来表示，如果没有特别的要求，一般用分3a2数指数幂的形式表示．但结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

课堂练习

书第47页练习第2题，第3（3）题，第4题．

知识拓展

问题6 通过这节课的学习我们将指数幂扩展到了分数指数幂，那么能否进一步扩展到有理数指数幂，实数指数幂？如果能，那么其运算性质是否与分数指数幂相同？

请学生课后阅读教材第47页的阅读内容，思考上述问题．

课堂回顾

这节课的我们学习了：

（1）根式的概念：若xn＝a（n＞1，nN*），那么称x为a的n次实数方根．

当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，记为x＝na．

当n为偶数时，正数a的n次实数方根有两个，它们互为相反数，记为±a（a＞0）．

负数没有偶次方根．

而0的n次实数方根为0，记作00．

我们把na叫n次根式，n是根指数，a是被开方数．

（2）当n为奇数时，annnna；当n为偶数时，amnan＝mnna(a0),|a|

a(a0).（3）分数指数幂的意义：规定： a．根式与分数指数幂之间可以互相转化．

（4）分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质相同．

课后思考

24816计算：(2＋1)(2＋1)(2＋1)(2＋1)(2＋1)．

第二课时（分数指数幂习题课）

复习回顾

上节课我们们了哪些主要内容？

（1）根式的概念：若xn＝a（n＞1，nN*），那么称x为a的n次实数方根．

当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，记为x＝na．

当n为偶数时，正数a的n次实数方根有两个，它们互为相反数，记为±a（a＞0）．

负数没有偶次方根．

而0的n次实数方根为0，记作n00．

我们把na叫n次根式，n是根指数，a是被开方数．

（2）当n为奇数时，annna；当n为偶数时，amnmnna(a0),|a|

a(a0).（3）分数指数幂的意义：规定： an＝a．根式与分数指数幂之间可以互相转化．

（4）分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质相同．

巩固练习

1．求值：2331.5612（P48／练习3）．

136解

231.512232()3(32)6223121112131321136236．

说明 在化简求值的综合运算中应注意将小数化分数，根式化成分数指数幂；指数运算是建立在同底的基础上因此，在运算中注意将底数转化为相同的底数．

2．若4a2－4a＋1＝1－2a，则实数a的取值范围为( )．

111 A．aR B．a＝ C．a[，＋) D．a(－，]

222选D．

2633．求值：83，10023212，()423213，(1681)34．

解：83(2)32324；

典型例题

11703－1－－0.2543例1 计算 (0.0081)－[3×()]·[81＋(3)]2 ．

88解 原式(0.3)

0.31414(31){(3)1414[()]233131}2

3[3()2311]2





103103133(13231)2

3

．

例2 解方程：（书第48页练习5（1）（3））

3 （1）2416； （3）2x4115．

解 （1）4x8，22x23，所以2x3，x33x32．

11331 （2）2x416，即x48，(x4)2，所以x42，(x4)424，即x16．

例3 计算

a3－8a3b 4b3＋2ab＋a3

111141÷(1－22323b3)·a．

a解 原式a3(a8b)2112a32b31a3

a32a3b3(2b)311a3a3111

a3(a8b)2112a3

a32a3b3(2b)3a32b31112

a(a8b)1112

(a32b3){(a3)a3(2b3)[(2b)3]}

a(a8b)1313

(a3)(2b3)

a(a8b)a8b＝a．

说明 将指数合理拆分，进而利用平方差，立方和，立方差等公式因式分解是本题的关键，因此请同学们课后及时的复习相关的乘法公式．

例4 （1）已知8x＝2，8y＝3，8z＝5，求83x－2y＋z的值．

11（2）已知x2＋x－2＝3，求的值．

2－2x＋x＋3xyz解 （1）因为8＝2，8＝3，8＝5，

33x2＋x－2＋2所以83x－2y＋z83x82y8z(8x)311(8)y2z8231325409．

（2）∵x2x11213，∴(x2x112)9，即xx2129，

∴xx17，∴x2x247．

∵x2x123，∴(x2x12)27，

3

3即xx23323213(x)(x122121)3(x)(x32122)27，

32∴x2x3(x2x18212)27，x2x218，

∴．

2－2x＋x＋34735说明 本例着重体现“整体代换”在数学的的运用．

例5 计算：（1）3＋21133－22x＋x＋25＋123＋22；

11 （2）(a2－b2)(a2＋b2)(a＋b)；

（3）(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)；

（4）(1＋2－32)(1＋2－16)(1＋2－8)(1＋2－4)(1＋2－２)．

解 （1）原式32512(21)2

32(223)21111132512(21)321712(221)22

32(223)942

221．

（2）原式(ab)(ab)a2b2．

（3）原式(21)(21)(221)(241)(281)(2161)

(221)(221)(241)(281)(2161)

(241)(241)(281)(2161)

(281)(281)(2161)

(2161)(2161)

2321．

（4）原式(12132132116181412)(12)(12)(1213214)(12)(12)

12

(12116)(12116)(121218)(12)(1212)13212

(1218)(1218)(1213214)(12)

12

(1214)(1212141)(1212)

3212

(1212)(12132)

12121211322232311．

说明 （1）对于重根式，如属aa类型，则应化为分数指数幂，再利用运算性质处理；如属aka类型，则应设法利用性质：当n为奇数时，ana；当n为偶数时，|a|处理，如本例的第（1）题．

（2）对于乘法公式必需熟练掌握，在本例的（2）（3）（4）中，都需要使用到乘法公式．

annn

指数函数

三维目标

一、知识与技能

（1）掌握指数函数的概念，会借助计算机画指数函数的图象；

（2）由指数函数的图象归纳并理解指数函数的性质；

（3）学会用指数函数的单调性，比较两个指数式的大小；

（4）学会求与指数函数有关的函数的定义域、值域；

（5）能利用函数图象的平移与对称变换，解决有关的函数图象问题；

（6）通过指数函数在实际生活中的应用，加深对指数函数的认识，理解．

二、过程与方法

师生之间共同学习，同学之间相互交流，不断培养学生学会共同学习．

通过探讨指数函数的底数a＞0，且a≠1的理由，明确数学概念的严谨性和科学性，进一步培养学生严谨的科学态度和人生观．

三、情感、态度与价值观

通过实例引入指数函数及指数函数的应用，激发学生学习指数函数的兴趣，使学生体会到指数函数是一类重要的模型，在实际生活中有着广泛的用途．不断培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．

在教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，帮助学生提高运用现代科学技术手段发现知识规律能力，体会到现代技术是认识世界的有效手段．

教学重点和难点

1．重点：指数函数的概念、图象和性质，左右平移变换中，方向的确定，及指数函数在日常生活中的应用．

2．难点：底数对于指数函数变化的影响．

三、教学过程

1．问题情境

材料一 一根1米长的绳子，第一次剪掉绳长的一半，第二次剪掉剩余绳子的一半，„，剪了x次后剩余绳子的长度为y米，试写出y和x的函数关系．

1结论：y＝()x．

2材料二 A先生从今天开始，每天给你10万元，而你应承担如下任务：第一天给A先生1元，第二天给A先生2元，第三天给A先生4元，第四天给A先生8元，依次下去，„，A先生要和你签订15天的合同，你同意吗？又A先生要和你签订30天的合同，你能签这个合同吗？为什么？

结论：若设x天后，A先生给你的钱是y1，你给A先生的钱是y2，则y1＝100000x，y2＝2x，

当x＝15时，y1＝1500000元，y2＝32768元．

当x＝30时，y1＝3000000元，y2＝1073741824元．

15天的合同能签，但30天的合同不能签．

学生活动

问题1 你能将材料二中的问题数学化吗？

问题2 你能从上面的两个函数的解析式中抽象出一个更一般性的函数吗？

［备选材料］：

1．找一（胆大敢说的）学生，问将一张纸对折，可折几次？学生一般手边有练习册大小的纸或是A4大小的纸，让学生亲手试一试．老师事先准备一张报纸（如《新华日报》），问学生可折几次？

一般学生可能会猜10次或更多次，事实上一张《新华日报》大小的纸我们也就能折7次，勉强能折8次，根本折不到学生想象的次数，问为什么？

将一张厚度为0.1mm的薄纸连续对折10次以后，大概有多厚呢？

2．传说在古时的印度有一位国王非常喜欢国际象棋，下棋的水平也很高，国际象棋的理论造诣很深，朝中无人能敌．有一天，他请来一位国际象棋高手来与他对弈．来人说要与国王赌一注．国王问，如果要赌的话，你拿什么来作赌注呢？来人说，国王你有丰厚的财产可以作赌注，而我什么财产也没有，我只有我的生命属于我自己，因此我就用我的生命作赌注，假若我输了，你就砍下我的人头．那么假若你输了，你用什么作赌注呢？国王说，你说你需要我用什么作赌注呢？我的国家的所有财宝任你挑一件．来人说，假若我赢了，我不要什么珍宝，我只恳请国王陛下将我们下棋用的棋盘的每一个格子了分别放上1粒米，2粒米，4粒米，„„，依次类推，下一个格子里的米粒是上一个格子里的米粒的2倍就行了．国王说，这好办，我的国库里有的是米，这点小小的要求我怎么能不答应你呢？

意义建构

1问题3 你能发现y＝()x和y＝2x有什么相同的地方吗？

21结论：在关系式：y＝()x和y＝2x中，没给一个x的值都有惟一的一个y值和它对应，211因此关系式y＝()x和y＝2x都是y关于x的函数，且函数：y＝()x和y＝2x的形式上是相22同的，解析式右边都是指数式，自变量都在指数位置上．

问题4 你能从以上两个解析式中抽象出一个更具有一般性的函数模型吗？

1xxx结论：函数y＝()和y＝2都是函数y＝a的具体形式．

2x函数y＝a是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，它可以解决很多生活中的实际问题，这就是我们所要研究的一类重要的函数模型－指数函数．

数学理论

指数函数的定义

x一般地，函数y＝a(a>0，a≠1)叫做指数函数．

合作探究

问题5 在指数函数的解析式y＝ax中，为什么要规定a>0，a≠1？

规定底数a＞0，且a≠1的理由：

x当x0时,a恒等于0;如果a0，

x当x0时,a无意义.x如果a0，比如y(2)，这时对于x14，x12，等等，在实数范围内函数值不存在．

x如果a1，y11，是一个常量，对它就没有研究的必要．

为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1．

问题6 那么指数函数的定义域是什么？

在作了a>0，a≠1的规定后，对于任何x∈R，ax都有意义，因此指数函数的定义域为R．

指数函数概念的辨析

问题7 函数y＝2x和函数y＝x2有什么区别？

函数y＝2x是指数函数，而函数y＝x2是二次函数，也是我们后面将要学习的幂函数．

问题8 函数y＝2·3x和y＝23x是不是指数函数？

函数y＝2·3x不是指数函数，y＝23x＝8x是指数函数．

指数函数的图像和性质

指数函数在生产实践中有广泛的应用性，因此，我们必须对指数函数的性质作深入的研究和总结．

1xxx合作探究：已知函数y＝()，y＝2，y＝10．

2① 从解析式中你能得出它们有哪些性质？

② 能否确定它们各自在平面直角坐标系中所处的区域？

③ 它们各自在平面直角坐标系中的具体图像是怎样的？

④ 归纳总结它们的共同特点和不同点．

⑤ 能否将这些共同点和不同点加以推广？

一般地，指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：

a>1 0

y

图

象

y

1

O

1

x

O

x

(1) 定义域为：R

性

＋

(2) 值域为R

(3) 图象恒过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1

质

(4) R上的增函数 (4) R上的减函数

注：借助几何画板展示底数a对图象的影响．

合作探究：如何快速画出指数函数的简图？

① 注意指数的图象只能位于x轴上方；

② 函数图象均过定点（0，1）；

③ 函数图象向下逐渐接近x轴，但不能和x轴相交；

④ 图象经过（1，a）点，可帮助确定函数的单调性；

数学运用

例1 求下列函数定义域：

11－()x ．

211解 （1）因为2x－1≠0，所以x≠，原函数的定义域为｛x| x≠｝；

22111（2）因为1－()x≥0，所以()x≤1＝()0，

2221x又因为函数y = ()在定义域上单调递减，所以x≥0，

2故原函数的定义域为[0，＋∞)．

（1）y＝22x11；（2）y＝说明 虽然指数函数yax的定义域R，但是在求与指数函数的关的复合函数的定义域时，必须注意以前我们求函数定义域时的一些限制条件：（1）分式的分母为能为0；（2）偶次根式的被开方数大于或等于0；（3）0的0次幂没有意义；（4）在实际问题中必须使实际问题有意义．

例2 试比较下列各题中两个值的大小．

2.53.21.21.50.31.2（1）1.5, 1.5； （2）0.5, 0.5； （3）1.5, 0.8．

解 （1）考察指数函数f(x) = 1.5x，由于1.7 > 1，所以f(x) = 1.5x在R上是增函数．

2.53.2因为2.5 < 3.2，所以1.5 < 1.5．

（2）考察指数函数g(x) = 0.5x，由于0 < 0.5 < 1，所以g(x) = 0.5x在R上是减函数．

1.21.5因为1.2 > 1.5，所以0.5 < 0.5．

（3）由指数函数的性质知1.50.3 > 1.50 = 1，而0.81.2 < 0.80 = 1，所以1.50.3 > 0.81.2．

问题9 通过解决这些问题，你有什么心得体会吗？

结论：在解决比较两个数的大小问题时，一般情况下是将其看作一个函数的两个函数值，利用函数的单调性直接比较它们的大小，如（1）（2）．当两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个已知的过渡数进行比较大小，从而得出该两数的大小关系．常用来过渡的值有0或1等，根据实际问题也可能是其它数值．

课堂总结

x指数函数的定义：函数y＝a(a>0，a≠1)叫做指数函数．

指数函数的图象和性质：指数函数的定义域和值域均为R，图象恒过点（0，1），当0＜a＜1时，指数函数在R上递减；当a＞1时，指数函数在R上递增．

利用指数函数的性质进行大小比较．

课后思考

求下列函数定义域：

（1）y131x；（2）y＝1－3x ；（3）y31－（12）3x1．

指数函数第二课时

教学内容

（1）指数函数性质的运用；

（2）与指数函数有关的图象变换的问题．

例1 （1）已知3x≥30.5，求实数x的取值范围；

x（2）已知0.2＜25，求实数x的取值范围．（书第51页例2）

x解 （1）因为3＞1，所以指数函数f(x)＝3在R上是增函数．

x0.5 因为3≥3，，所以x≥0.5，即x的取值范围为[0.5，＋∞)．

xI（2）因为0＜0.2＜1，所以指数函数f(x)＝0.2在R上是减函数．

因为25＝(15)-2＝0.2-2，所以0.2x＜0.2-2，所以x＞－2，即x的取值范围是（－2，＋∞）．

说明 本例是指数函数单调性质的应用．

例2 函数f(x)a值范围.

x3x12，g(x)ax3x12x2x52 (a0且a1)，若f(x)g(x)，求x的取.

65解 由f(x)g(x)， 得aax2x52 （1）当a1时，x23x1x22x5， 即

5x60，解得x265，所以x的取值范围是｛x|x2｝；

（2）当0a1时，x3x1x2x5， 即

5x60，x65，所以x的取值范围是｛x|x6565｝.

综上有：若a1，x的取值范围为｛x|x｛x|x65｝；若0a1时,

x的取值范围为｝．

说明 （1）由于底数a是不确定的，指数函数y＝ax的单调性也不确定，因此必须对底数分情况讨论；

（2）由于a所在范围不同，x的取值范围不同，a确定后，x的取值范围确定，因此不能将a1和0a1情况下，x的取值范围合并．

例3 （1）说明函数y()31－x－1的图象与函数y＝3x图象的关系，并画出其示意图．

（2）作出函数y函数有最值．

解：（1）y()31－x－12x2的图象，并由图象指出：① 函数的单调区间；②x取何值时，＝3x1，

13)－x－1作出函数y3x的图象后，向左平移1个单位，得y(x2的图象．

（2）① 函数y2x2x21x2()2(x2)(x2)

x2作出函数y2(x0)的图象后，向右平移2个单位，得y2(x2)的图象；

作出函数y()x(x0)的图象后，向右平移2个单位，得y()x2(x2)的图象．

2211

② 当x0时，y4；当x2时，y1．

从图象可知，函数y2x2在(,2]上单调递减，在[2,)上单调递增，当x2时有最小值1，函数无最大值．

例4 指数函数y＝3x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y＝3x＋1＋1的图象，并画出它的图象．

解 把函数y＝3x的图象向右平移一个单位得到函数y＝3x＋1的图象，再把函数y＝3x＋1的图象向上平移1个单位就得到函数y＝3x＋1＋1的图象，如右图．

xx＋1变式 已知函数y＝3的图象，怎样变换得到函数y＝()＋2的图象？

13x＋1－（x＋1）解 y＝()＋2＝3＋2．

1y－x3作函数y＝3的图象关于y轴对称图形，得到函数y＝3的图象，再向左平移一个单位得到y＝3－（x＋1）的图象，最后再向上平移两个单x＋1位就得到函数y＝()＋2的图象，如右图．

xy＝3－x

y＝3x

133说明 （1）为弄清楚图象变换的规律，应先对函数的解析式进行应当的变形，弄清已知函数和要作出图象的函数的解析式之间的关系．还y＝3－（x＋1）

1应当很好地掌握好图象变换的一般规律．

O（2）如函数的图象有渐近线，平移函数的图象时，应把渐近线和图象一起平移．

例5 利用函数f(x)＝2x的图象，作出下列各函数的图象：

（1）f(x－1)； （2）|f(x)－1|．

解 （1）f(x－1)＝2x – 1； （2）|f(x)－1|＝|2x－1|．

图象如下图．

yy

y＝f(x)

y＝f(x)

3y＝f(x)－1

22

2y＝f(x－1)

21

5O1x1

2468O1x

_21x1y()23x10-2-2

(1) (2)

点评：要得到函数|f(x)－1|＝|2x－1|的图象，只需把函数y＝2x－1位于x轴下方的部分对称到x轴上方，原来x轴上方的部分不动，翻折时应连同渐近线一起翻折，以更好地反映图象的变化趋势．

思考 你能说明函数y＝2和y函数y2x2的图象吗？

课堂练习

选择下列函数的代号填空：

①y101；②y10xx1|x|2x2图象之间的关系吗？你能利用函数y2x的图象得到；③y10x；④y10x；⑤y(110)x；⑥y(110)x．

（1）把函数y（2）把函数y（3）函数y（4）函数y（5）函数y的图象向右平移一个单位，得到 的图象；

x10的图象向下平移1个单位，得到________的图象；

10xx的图象与 的图象关于x轴对称；

x10的图象与 的图象关于y轴对称；

1010x的图象与 的图象关于原点对称；

（6）函数y10x的图象与 的图象相同．

② ① ③ ⑤ ④ ⑥

说明 对称变换：

xxx－x函数y＝a的图象与y＝－a的图象关于x轴对称；函数y＝a的图象与y＝a的图象x－x关于y轴对称；函数y＝a的图象与y＝－a的图象关于坐标原点对称．

一般地，

（1）函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；

（2）函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称；

（3）函数y＝f(x)的图象与到函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．

例6 求下列函数的值域：（1）y3解 （1）原函数的定义域是R，

令tx，则t0．

因为y3在(－∞，0]上是增函数， 所以0y1．

即原函数的值域是(0,1]．

2（2）令t()，则yf(t)2tt1．

x；（2）y2()()1 (x[2,3])．

421x1xt1x2因为x[2，3]，所以t[，4]，

8yf(t)2tt12(t2114)2787．

； 所以，当t＝148 当t＝4，即x＝－2时，ymax＝29，

，即x＝2时，ymin＝78 即原函数的值域是[,29]．

注：通过换元将求复合函数的值域化归为求简单函数的值域．

课堂小结

今天我们主要解决与指数函数有关的图象变换问题．函数图象的变换，主要有左右平移，上下平移，关于坐标轴对称几种情况．

平移变换

若已知若已知y＝ax的图象，则把y＝ax的图象向左平移m个单位，可得到y＝ax＋m的xx－mx图象；把y＝a的图象向右平移m个单位，可得到y＝a的图象；把y＝a的图象向上平xxx移n个单位，可得到y＝a＋n的图象；把y＝a的图象向下平移n个单位，可得到y＝a－n的图象．

对称变换

函数y＝ax的图象与y＝－ax的图象关于x轴对称；函数y＝ax的图象与y＝a－x的图象关于y轴对称；函数y＝ax的图象与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称．

指数函数第3课时

教学内容

1．指数函数中参数讨论问题

2．和指数函数有关的复合函数的单调性，奇偶性的问题．

巩固练习

ax1．若指数函数y=a在[1，2]上的最大值减去最小值是，则a=__________．

2解 当a＞1时，yax在[1,2]上是增函数，当x2时，ymaxa2，当x1时，ymina，

3a由题有 a2－a = ，即2a23a0，解得a（a0舍）．

22x当 0＜a＜1时，当x2时，ymina2，当x1时，ymaxa，

ya在[1,2]上是减函数，1a2由题有 a－a = ，即2a2a0，解得a（a0舍）．

22综上a12或a32．

2．函数y=ax和y=(a－1)x2+1在同一坐标系下的图象可能是（ ）．

yyy

O

xxxOO

解 选B．

典型例题

1例1 函数f(x)2______________．

x2x2yOx的单调增区间是_____________；单调减区间是

1分析：令yf(x)2x2x2x2x2．

11可以看作y()t，tx22x的复合函数；

yf(x)221因为y()t在(－∞，＋∞)上是减函数，

2tx2x(x1)1在(-∞，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增，

221所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞，1]；单调递减区间是[1，+∞)．

2注：（1）利用复合函数的方法确定函数单调性的关键是弄清已知函数是由哪几个基本函数的复合而成的．

（2）复合函数单调性的判定的结论：同增异减．当然这一结论解决填空题或选择题时，直接使用，如果是解答题，必需使用函数单调性的定义进行证明．

1（3）本题可进一步研究：函数f(x)2x2x2x2x2的值域如何求？

x2x21由上面的结论可知：当x＝1时，f(x)max＝2，但必须注意这个函数的下限，f(x)2＞0，

1因此，函数f(x)2x2x2的值域为（0，2]．

x－x例2 判断f(x)=a+ a(a＞0，a≠1)的奇偶性，并证明．

解 f(x)的定义域是R，对定义域内任意x，都有f(－x)= a－x+ ax=f(x)，所以f(x)=ax+ a－x是偶函数．

x－x变式训练1：判断f(x)=a－a(a＞0，a≠1)的奇偶性．（奇）

x2(1－3)变式训练2：判断f(x)= 的奇偶性．（偶）

x3a2x+1变式训练3：判断f(x)=

x（a＞0，且a≠1）的奇偶性．（偶）

a

3x－1例3 已知函数f(x)=x．

3+1（1）求函数的定义域；

（2）写出函数的值域；

（3）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；

（4）判断f(x)的单调性，并加以证明．

解：（1）因为3x+1≠0，f(x)的定义域是R．

3x－12 (2) y= f(x)=

x =1－x

3+13+12 设t =3x，则t＞0，y=1－（t＞0），

t+1 由函数图象得y＞－1，

所以f(x)的值域是（－1，+∞）．

（安排此问题是为了让学生回顾

x3－12 ，1－x这两个形式之间的转化，为下面两个函数的性质做铺垫）

x3+13+13x－12（3）提问：计算f(－x)应该用x ，1－x哪一种形式计算更为方便呢？

3+13+1－x3－11－3x3x－1 对于任意x∈R，都有 f(－x)=

－x = =－f(x)，

x =－

x3+11+33+1x3－1所以f(x) =

x是奇函数．

3+13x－12（4）提问：计算f(x1)－f(x2)应该用x ，1－x哪一种形式计算更为方便呢？

3+13+1对于R上任意两个值x1，x2，设x1＜x2，

2(3x1－3x2)2222f(x1)－f(x2)= (1－

x1)－(1－x2)=

x2 －

x1=

x1，

x23+13+13+13+1( 3+1)( 3+1)因为x1＜x2，y=3x是单调增函数，所以3x1＜3x2，所以3x3x0．

又因为3x1+1＞0， 3x2+1＞0，

3x－1所以f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，所以f(x)=

x是R上的单调增函数．

3+1xa－1总结对于f(x)=

x(a＞0，a≠1)的单调性和奇偶性的研究，应该具体问题具体分析．

a+1

2变式训练1：判断f(x)= x(1－

x)的奇偶性．

2+1x(2x－1)2f(x) = x(1－

x) =

x

2+12+12x－2－x变式训练2：判断函数f(x)=

x－x的单调性

2+2x－x2－22·2－x2f(x)=

x－x = 1－

x－x = 1－

2x

2+22+22+1xa－1思维拓展：讨论f(x)=

x(a＞0，a≠1)的单调性．

a+1ax－a－x 讨论f(x)=

x－x(a＞0，a≠1)的单调性．

a+a

12

指 数 函 数（4）

教学内容

运用指数函数模型，解决实际问题．

例1 截止到1999年底我国人口约13亿．如果今后能将人口平均增长北控制在1%，那么经过20年后，我国人口约为多少（精确到亿）？

解 设经过x年后，我国人口数为y(亿)．

1999年底，我国人口约为13亿；

经过1年，即2000年底，人口约为13＋13×1%=13(1＋1%)（亿）；

经过2年，即2001年底，人口约为13(1＋1%)＋13(1＋1%)×1%

=13(1＋1%)2（亿）；

2经过3年，即2002年底，人口约为13(1＋1%)＋13(1＋1%)2×1%

3=13(1＋1%)（亿）；

„

xx所以，经过x年，人口数为y＝13(1＋1%)＝13×1.01(亿)．

当x＝20时 ，y＝13×1.0120≈16(亿)．

答：经过20年后，我国人口数约为16亿．

点评 （1）在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型，设原有基数（如本例中的1999x年底的人口数）为m，平均增长率为p，则对于经过时间x后的数值y要以用y＝m(1＋p)表示．我们把形如y＝kax(k∈R，a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．

（2）对于实际应用问题还有两点必需注意：一是精确度的问题，同学们在解决问题时往往忽视题中的精确度；二是定义域，在实际问题中函数的定义域必需使实际问题有意义．

练习

2000－2002年，我国年国内生产总值年平均增长7.8%左右，按照这个速度，从2000年开始，x年后我国年国内生产总值为y，y与x的函数关系为_______________．

解 设2000年年初国内生产总值为，则y1(17.8%)x1.078x（xN*）．

例2 某医药研究所开发一种新药，据检测：如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量为y(微克)与服药后的时间t(小时)之间近似满足如图曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数y=kat的图象．

（1）据测定：每毫升血液中含药量不少于2微克时治疗疾病有效，若某病人第一次服药时间为早上6：00，为了保持疗效，第二次服药最迟应该在当天的几点钟？

（2）若按（1）中最迟时间服用第二次药，则第二次服药3个小时后，该病人每毫升血液中含药量为多少微克？（精确到0．1微克）

解：（1）由题，当0≤t＜1时，y=8t，

yA(1,8)当t≥1时，把A，B两点的坐标代入y=kat，

2ka8,a,解得72

ka1,k82,8t,0t1,所以y=

2t82(),t1,2OB(7,1)Ct2t)=2，解得t=5，

2 因此第二次服药最迟应在第一次服药5小时后，即上午11时．

答：第二次服药最迟应该在当天的11点钟．

（2）第二次服药3小时后，

令82(

282)= ，

222每毫升血液中含第二次所服药的药量为y2=82()3= 4，

22y1+y2= +4≈4.7(微克)，

2因此该病人每毫升血液中含药量为4．7微克．

答：第二次服药3个小时后，该病人每毫升血液中含药量为4.7微克．

例3 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84％．画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半(结果保留一个有效数字)．

解 设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y．

经过1年，剩留量y=1×84%=0.841；

2经过2年，剩留量y=0.84×0.84=0.84；

„„

一般地，经过x年，剩留量

y=0.84x（x＞0）．

根据这个函数关系可以列表如下：

每毫升血液中含第一次所服药的药量为y1=82(

画出指数函数y=0.84的图象(图2-16)．从图上看出y=0.5只需x≈4．

答：约经过4年，剩留量是原来的一半．

例4 某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r设存期是x，本利和为y元．

（1）写出本利和随存期x变化的函数关系式；

（2）如果存入本金1000元，每期利率为2．25%，试计算第5期后的本利和．

解 （1）已知本金为a元，利率为r，则

1期后的本利和为

y=a+ar=a(1+r) ，

2期后的本利和为

2 y=a(1+r)+a(1+r)r =a(1+r) ，

3期后的本利和为

223 y=a(1+r)+a(1+r)r =a(1+r) ，

„„

x期后的本利和为

y=a(1+r)x，

(2)将a=1000，r=2.25%,x=5代入，得

y=1000(1+2．25%)5

x

=1000×1．02255

≈1117.68(元)，

即第5期后的本利和约为1117.68元．

例5 对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，既可出售树木，重栽树苗，也可让其继续生长5年，按10年的情形考虑哪一种方案可获得较大的木材量．

解 设新栽树苗的木材量为a，则10年后有两种结果

55 （1）连续生长10年，木材量为M=a(1+18%)(1+10%)．

5(2) 生长5年后重栽，木材量为N=2a(1+18%)．

N2因为 = ＞１，

M(1+10%)5 所以N＞M，因此生长5年后重载可获得更大木材量．

说明 （1）1.151.61051．（2）也可作差NMa(118%)5(21.15)0．

课堂总结

x通过这节课的学习我们可以体会到指数型函数：y＝ka(k∈R，a＞0，且a≠1)是非常有用的函数模型，

在实际生活中有着广泛的应用．