初二数学上-幂的运算

2024年1月8日发(作者：夏侯峤)

幂的运算

一、数学家的幽默

一名统计学家遇到一位数学家，统计学家调侃数学家说道：

你们不是说若Ｘ＝Ｙ且Ｙ＝Ｚ，则Ｘ＝Ｚ吗！那么想必你若是喜欢一个女孩，那么那个女孩喜欢的男生你也会喜欢罗！？"

数学家想了一下反问道：

那么你把左手放到一锅一百度的开水中，右手放到一锅零度的冰水里想来也没事吧！因为它们平均不过是五十度而已！"

二、幂的运算性质知识要点

◆要点1 同底数幂的乘法：

am·an＝amn （m，n都是正整数） 可扩展为am·an·ap＝am★说明：幂的底数相同时，才可运用此法则。

◆要点2 幂的乘方与积的乘方

(1) 幂的乘方：(a)＝a （m，n都是正整数），可推广为amnmn＋＋n＋p

apmnmnp

(2) 积的乘方：(ab)n＝anbn （n为正整数），可扩展为(abc)n＝anbncn

易错易混点

(1) 将幂的意义与乘法的意义相混淆； (2) 不能正确理解幂的运算性质，而导致错误； (3) 忽略零指数幂、负整数指数幂的规定中底数不等为零的条件。

◆要点3 同底数幂的除法

am÷an＝am－n （a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）

◆要点4 零指数与负整数指数的意义（两个规定）

(1) 零指数：

a＝1 （a≠0）

(2) 负整数指数：ap01（a≠0，p是正整数） 即任何一个不等于0的数的－p(p为正pap整数)次幂等与这个数的p次幂的倒数。也可变形为:a底数、指数变化）

11p （观察前后幂的aap

★说明：(1)在幂的性质运算中，幂的底数字母a、b可以是单项式或多项式，运算法则皆可逆向应用；(2) 零指数幂和负整数指数幂中，底数都不能为0，即a≠0；(3) 规定了零指数和负整数指数的意义后，正整数指数幂的运算性质，就可以推广到整数指数幂；(4) 在运算当中，要找准底数（即要符合同底数），如果出现底数互为相反数，或其他不同，则应根据有关理论进行变形，变形要注意指数的奇偶性。在计算过程中，时刻注意符号的变化。

◆易错易混点

(1) 将幂的意义与乘法的意义相混淆； (2) 不能正确理解幂的运算性质，而导致错误； (3) 忽略零指数幂、负整数指数幂的规定中底数不等为零的条件。

三、典型例题

【例1】填空

(1)

2x2y3z_______； (2)a2b4c8＝( )2;

(3)

b12＝( )3＝( )4＝( )6; (4) 若x2n＝3，则x10n＝______；

(5) 已知3×9m×27m＝321，则m＝_______；(6) 若8x44236，则x＝_______；

(7) 计算：x2•x3= _________ ；（﹣a2）3+（﹣a3）2= _________ ．

(8)、若2m=5，2n=6，则2m+2n= _________ ．

15【例2】 (1)

10.758； (2)313

92004325200541001122003

【例3】①已知10m＝3，10n＝4，求(1) 10m＋n＋1; (2) 103m－2n的值.

②已知22x＋1＝32，求x。

【例4】已知2x5y30，求4x32y的值。

【例5】如果28n16n222，求n的值。

【例6】计算(2)101(2)100。

【例7】若10n20,10b51，求9n32b的值。

四、学习自评

1.

xa＋b＋1＝xa＋2·________。若y＝－8ab，则y＝______。

nm＋n3692. 若2＝5，2＝7，则23. 若24. 若5x3m＝_________；23m－2n＝_________。

3x336x2，则x＝________。

1则k＝_______；若3xk31，则x＝________。

275.

2a34a4a4＝_________。

n26. 下列说法正确的是（ ）

A. –a和(－a)一定互为相反数 B. 当n为奇数时，–a和(－a)相等

C. 当n为偶数时，–a和(－a)相等 D. –a和(－a)一定不相等

7. 下列各式中，正确的是（ ）

A. 2a＋3a＝5a B. 2a＝325－2nnnnnnn15625aa5 C. D.

a2a22aa3

8. 下列式子中与a计算结果相同的是（ ）

2A.

a2124 B.

aa C.

aa D.

a4a

2429. 生物学指出：在生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量能够流动到下一个营养级，在H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n＝1，2，…，6)，要使H6获得10千焦的能量，需要H1提供的能量约为（ ）

A. 104千焦 B. 105千焦 C. 106千焦 D. 107千焦

10. 若x是有理数，则下列等式中不一定成立的是（ ）

A.

3.1401 B.

x2301

C.

x200401 D.

323201

11. 已知(2x－3)0＝1，则x的取值范围是（ ）

A.

x＞32 B.

x＜32 C.

x＝332 D.

x≠2

12. 若1284·83＝2n，则n等于（ ）

A. 30 B. 37 C. 38 D. 39

200513.

3200413的结果为（ ）

A.

113 B.

3 C. －3 D. 3

14. 下列各式中，一定成立的是（ ）

A. 22＝(－2)2 B. 23＝(－3)2 C. (－2)3＝22 D. (－2)3＝232015. 若a12,b23,c12，则a、b、c的大小关系是（ ）

A.

b＜c＜a B.

b＜a＜c C.

c＜b＜a D.

a＜c＜b

16、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（ ）

A、﹣299 B、﹣2 C、299 D、2

17、当m是正整数时，下列等式成立的有（ ）

（1）a2m=（am）2；（2）a2m=（a2）m；（3）a2m=（﹣am）2；（4）a2m=（﹣a2）m．

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

18、a与b互为相反数，且都不等于0，n为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（ ）

A、a与b

nnB、a与b C、a2n2n2n+1与b2n+1 D、a2n﹣1与﹣b2n﹣1

19、下列等式中正确的个数是（ ）

①a+a=a； ②（﹣a）•（﹣a）•a=a；

③﹣a•（﹣a）=a； ④2+2=2．

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

45216. 计算题

(1) 3a·a＋2a·a·a－4a·(－a);

4342452(2)

2x234x323120082xx (3)0.12522008;

22

7877327632（4）11 (5) (x－y)÷(y－x)＋(－x－y)÷(x＋y);

857

5423 (6)

1

320

17. 已知2＝3，2＝6，2＝24，求a、b、c之间的关系。

abc

18. 若x＝3，x＝2，求①

x

19、(1) 若m＋4n－5＝0，求2·16的值。

(2) 已知4·8

(3) 已知4

20、已知3x（x+5）=3x+45，求x的值．

nn+1mn2m＋3n的值；②

x3m－2n的值。

mnmm－1÷2的值是512，求m的值。

m3x116644,22y12616，求11x2y2005的值。

21、若1+2+3+…+n=a，求代数式（xy）（xnn﹣12y）（xn﹣23y）…（xy2n﹣1）（xy）的值．

n

22、已知2x+5y=3，求4x•32y的值．

23、已知25m•2•10n=57•24，求m、n．

24、已知ax=5，ax+y=25，求ax+ay的值．

25、若xm+2n=16，xn=2，求xm+n的值．

26、已知10a=3，10β=5，10γ=7，试把105写成底数是10的幂的形式 _________

27、比较下列一组数的大小．8131，2741，961

．

28、如果a+a=0（a≠0），求a

29、已知9﹣3=72，求n的值．

30、若（abb）=ab，求2的值．

31、计算：a

32、若x=3a，y=﹣错误!未找到引用源。，当a=2，n=3时，求ax﹣ay的值．

nnn﹣5nm3915m+nn+12n22005+a2004+12的值．

（abn+13m﹣2）+（a2n﹣1m﹣2b）（﹣b33m+2）

33、已知：2=4，27=3

34、计算：（a﹣b）•（b﹣a）•（a﹣b）•（b﹣a）

m+32m5

xy+1yx﹣1，求x﹣y的值．