串并联电路中的等效电阻计算公式

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串、并联电路中的等效电阻及计算公式

串、并联电路中的等效电阻

学习目标要求：

1．知道串、并联电路中电流、电压特点。

2．理解串、并联电路的等效电阻。

3．会计算简单串、并联电路中的电流、电压和电阻。

4．理解欧姆定律在串、并联电路中的应用。

5．会运用串、并联电路知识分析解决简单的串、并联电路

问题。

中考常考内容：

1．串、并联电路的特点。

2．串联电路的分压作用，并联电路的分流作用。

3．串、并联电路的计算。

知识要点：

1．串联电路的特点

（1）串联电路电流的特点：由于在串联电路中，电流只有

一条路径，因此，各处的电流均相等，即 ；因

此，在对串联电路的分析和计算中，抓住通过各段导体的电流相

等这个条件，在不同导体间架起一座桥梁，是解题的一条捷径。

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（2）由于各处的电流都相等，根据公式 ，可以得到

，在串联电路中，电阻大的导体，它两端的电压也

大，电压的分配与导体的电阻成正比，因此，导体串联具有分压

作用。串联电路的总电压等于各串联导体两端电压之和，即

。

（3）导体串联，相当于增加了导体的长度，因此，串联导

体的总电阻大于任何一个串联导体的电阻，总电阻等于各串联导

体电阻之和，即 。如果用 个阻值均为 的

导体串联，则总电阻 。

2．并联电路的特点

（1）并联电路电压的特点：由于在并联电路中，各支路两

端分别相接且又分别接入电路中相同的两点之间，所以各支路两

端的电压都相等，即 。因此，在电路的分析和

计算中，抓住各并联导体两端的电压相同这个条件，在不同导体

间架起一座桥梁，是解题的一条捷径。

（2）由于各支路两端的电压都相等，根据公式 ，可得

到 ，在并联电路中，电阻大的导体，通过它的电

流小，电流的分配与导体的电阻成反比，因此，导体并联具有分

流作用。并联电路的总电流等于各支路的电流之和，即

。

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（3）导体并联，相当于增大了导体的横截面积，因此，并

联导体的总电阻小于任何一个并联导体的电阻，总电阻的倒数等

于各并联导体电阻的倒数之和，即 。如果用

个阻值均为 的导体并联，则总电阻 。

（4）并联电路各支路互不影响，即当一条支路中的电阻发

生改变时，只会导致本支路中的电流发生改变，而对其他支路中

的各物理量均无影响（因为其他支路两端的电压和电阻均未改

变），但是干路中的电流会随可变支路中电流的增大而增大，随

着可变支路中电流的减小而减小，而且增大和减小的数值相同。

3．总电阻和等效电阻

电路中任何一部分的几个电阻，总可以由一个电阻来代替，

而不影响这一部分两端电路原来的电压和电路中这部分的电流

强度。这一个电阻就叫做这几个电阻的总电阻。也可以说，将这

一个电阻代替原来的几个电阻后，整个电路的效果与原来几个电

阻的效果相同，所以这一个电阻叫做这个电阻的等效电阻。

4．并联电路一条支路的电阻变大，总电阻将变大

根据并联电路的电阻特点 得到 。

当 增大时， 变小， 也变小，而 变大，也就是

变大。

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典型例题：

例1．如图1所示电路，电源电压为20伏特且保持不变，

已知：电阻 ；当开关 闭合， 断开时，电阻 和

两端的电压为 和 ；当开关 闭合， 断开时，电阻 、

、 两端的电压分别为 、 、 ，已知： ，

。

两端的电压为多求：（1）当开关 闭合， 断开时，电阻

少伏特；

（2）电阻 与 之比。

解析：该题分为两种状态，第一次电路，当开关 闭合，

断开时，电阻 和 串联，设此时电路中的电流为 ，电阻

两端的电压 ……①

、 串联，此时 当开关 断开， 闭合时，电压 、

……② 电路中的电流设为 ，电阻 两端的电压为

将①式和②式相比，便可以求出两次电路的电流之比，

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因为已知： ，即 ，约去 得 。

又已知 ， ……③， ……④

， ，得 ③式与④式相比：

这样就把题目中的第二问求出，电阻 。下面只要

将电阻 和 的关系找出，或电阻 和 的关系找出，就可

以根据第二次电路的电阻关系分压，继而可以求出电阻 两端

的电压 。利用两次电路的电流比和电源电压不变的关系列出

， ， 两个方程。已知：

第一次电路，当开关 闭合， 断开时，电路中电流

……⑤

第二次电路，当开关 断开， 闭合时，电路中电流：

……⑥

将⑤式和⑥式相比： ， ，整理得：

。

对于第二次电路： ，所以 ，

因为电源电压 伏特，所以电阻 两端电压

。

答：（1）当闭合开关 ，断开 时，电阻 两端的电压

；（2）电阻 和 的比为 。

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例2．有一个看不清楚的电阻 （大约几欧姆），为了测

出它的阻值，设计了如图所示电路，电源电压不变。已知电路中

定值电阻 的阻值为12欧姆，滑动变阻器的最大阻值 是10

欧姆。当开关 闭合， 断开，滑动变阻器的滑片 在 端时，

电路中电流表的示数为0.5安培。当开关 和 都闭合，滑动

变阻器的滑片 在变阻器的 端时，电路中电流表的示数为2

安培。

求：电路中定值电阻 的阻值是多少欧姆。

解析：此题可以根据两种状态列方程，利用电源电压不变解

方程组。

当开关 闭合， 断开，滑动变阻器的滑片 在变阻器

端时，滑动变阻器 和电阻 串联，此时电路中电流表的示

数设为 ， ，

列出方程： ……①

当开关 和 都闭合，滑动变阻器的滑片 位于变阻器的

端时，电阻 和 并联，此时干路中电流表的示数设为 ，

，又可以列出一个方程： ……②

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①式等于②式，又已知： ， ，

代入数据得，

整理得， ，解得 ， （舍

去）。

答：因为题目中已给出 大约是几欧的，所以20欧姆舍去，

为6欧姆。

例3．如图3所示电路，电源电压保持不变，调节滑动变阻

器的滑片 ，使滑动变阻器连入电路的阻值为 为5欧姆时，

电路中电压表的示数为10伏特，设此时电路中的电流为 。然

后再调节滑动变阻器的滑片 ，使变阻器连入电路的阻值 为

15欧姆时，电压表示数为5伏，此时设电路中的电流强度为 。

； 求：（1）两次电路的电流强度之比

（2）电源电压是多少伏特。

（3）定值电阻 的阻值是多少欧姆？

解析：此题分为两次电路，第一次电路设电压表的示数为

，则 ， ……①

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第二次电路，设电压表示数为 ， ， ……

②

将①式和②式相比： ，约去电阻 得， ，

利用电源电压相等的关系列方程，可以求出电阻 的电阻

值。

第一次电路的电流： ……③，第二次电路的电流：

……④

将③式与④式相比，

代入数据得， ，解得

在第一次电路中，因为 ， ，电阻比为：

，所以电阻 两端的电压与变阻器 两端的电压比

，又 ，故此 ，电源电压

。

答：（1）两次电路的电流比 ；（2）电阻 的阻

值为5欧姆；（3）电源电压为20伏特。

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例4．如图4所示电路，电源电压不变，已知电阻 的阻

值为30欧姆，当滑动变阻器的滑片 位于变阻器的中点 时，

电路中电压表的示数为7.2伏特。当滑动变阻器连入电路的电阻

时，电路中电压表的示数为 。当滑动变阻器的滑片

位于变阻器的 端时，电路中电压表的示数为 。已知 。

求：（1）滑动变阻器的最大阻值；

（2）电源电压。

解析：该题分为三种状态，也就是三个电路，当滑动变阻器

的滑片 位于 处时，此时它两端的电压为 ，设此时电路

……① 中的电流为 ，则

当滑动变阻器的滑片 位于变阻器的 端时，此时它两端

的电压为 ，设此时电路中的电流为 ，则 ……②

已知： ，将①式和②式相比得：

约去 ， ，得 。

然后利用电源电压不变的关系列方程，便可以求出滑动变阻

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器的最大阻值 。

处时，电路中的电 当滑动变阻器的滑片 位于变阻器

流 ……③

当滑动变阻器的滑片 位于变阻器的 端时，电路中的电

流 ……④

将③式与④式相比得： ， ，解

得， 。

当滑动变阻器的滑片 位于变阻器的中点 时，电路中电

压表的示数 ，滑动变阻器的阻值此时为 ，即

，设此时电阻 两端的电压为 ，利用串联电路正

比分压公式，可以求出电阻 两端的电压 ，继而可以求出电

源电压 。

， ，解得： ，电源电压

。

答：（1）滑动变阻器的最大阻值为90欧姆；（2）电源电

压为12伏特。

测试

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选择题

1．如图1所示电路，电源电压保持不变，当开关 断开

与闭合时，电路中电流表的示数比是1∶3，则可知电阻 和

的阻值之比是（ ）

A、1∶3 B、1∶2 C、2∶1 D、3∶1

2．如图2所示电路，电源电压保持不变。定值电阻 的阻

值为4欧姆，定值电阻 的阻值为20欧姆，电路中电压表 和

电压表 的示数分别为5伏特和9伏特，则电阻 是（ ）

A、4欧姆 B、8欧姆 C、12欧姆 D、16欧姆

3．如图3所示电路，电源电压保持不变。当开关 闭合后，

电路中电压表 的示数为4伏特，电压表 的示数为6伏特；

电路中电流表的示数为1安培，且当电阻 与 对换位置后，

电压表 、电压表 、电流表 三表的示数均不发生改变，则

（ ）

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A、通过三个电阻 、 、 的电流之和是1安培

B、电阻 =1欧姆

C、电源电压为10伏特

D、电阻 两端的电压 4伏特

4．如图4所示电路，电源电压保持不变。当滑动变阻器的

滑片 在变阻器 端，且只闭合开关 时，电路中电压表 、

的示数比为1：1。当开关 和 都闭合时，电路中电流表 、

的示数之比为2：1。若将滑动变阻器的滑片 固定在变阻器

中央时，则以下说法中错误的是（ ）

A、只闭合开关 时，电压表 、 的示数之比为2：1

B、只闭合开关 时，电压表 、 的示数之比为4：1

C、开关 和 都闭合时，电流表 、 的示数比为2：

1

D、开关 和 都闭合时，电流表 、 的示数比为1：

2。

5．有两个定值电阻 和 ，它们的阻值之比为 ，将它

们串联在电压恒定的电源上，若电阻 两端的电压是3伏特，

那么电源电压是（ ）

A、3伏特 B、9伏特 C、6伏特 D、12伏特

6．如图5所示电路，电源电压为6伏特且保持不变，已知

电阻 的阻值为200欧姆，电阻 的阻值为300欧姆。当滑动

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变阻器的滑片 从 端移到 端时，电压表示数的变化情况是

（ ）

A、6伏特至0伏特 B、3.6伏特至6伏特 C、6伏特至

3.6伏特 D、6伏特至2.4伏特

7．如图6所示电路，电源电压 保持不变，电路中电流表

的示数是0.3安培。若在电路中A、B两点之间再接入电阻 时，

且： =2 。则此时电路中电流表的示数为（ ）

A、0.1安培 B、0.3安培 C、0.45安培 D、0.9安

培

8．三个电阻 ，当把它们并联时总电阻为 ，则

它们的大小关系是（ ）

A、 B、 C、 D、

答案与解析

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答案：

1、B 2、D 3、B 4、D 5、D 6、C 7、C 8、

D

解析：

1．

解析：当开关 断开时，电阻 和 串联，根据欧姆定律

，公式可以列出方程：设此时电路中电流表的示数为

当开关 闭合时，电阻 被短路，电路中只有电阻 ，设此时

电路中电流表的示数为 ，则 ，又已知 ，将两式

相比得： ， ， + =3 ， =2 ，

。

2．

解析：该电路是电阻 、 和 三个电阻串联，电路中

电压表 是测量电阻 和 两端电压的，示数为 伏特；

电路中电压表 是测量 和 两端电压的，其示数为 伏

特，根据串联电路中电流相等的特点，分别列出方程，便可求出

电阻 的电阻值。 ，代入数据后解得 欧姆。

3．

解析：此电路是电阻 、 、 串联，电路中电压表 是

测量电阻 、 两端电压，设为 伏特，电压表 是测量

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电阻 和 两端电压，设为 伏特，设电路中电流表的示

数为 安培，此电路既然是一个串联电路，那么通过电阻 、

、 的电流应该是相等的，所以A选项是错误的。

因为将电阻 和 对换位置后，三个表的示数不变，由于

三个电阻组成的是串联电路，电路的总电阻就一定了，所以电流

表的示数不变是很自然的事了，但电压表 是测量电阻 和

两端电压的，电压表 是测量电阻 和 两端电压的，电压

的分配也是固定不变的，如果将电阻 和 对换位置后，两个

电压表的示数也不变，说明电压的分配也没有发生改变，从而可

以推断电阻 和 的电阻值是相等的。因为电压表 的示数

是6伏特，所以电阻 和 两端的电压是相等的，各为3伏特，

故此选项D是错误的。

又已知电压表 的示数是4伏特，电压表 是测量电阻

和 两端电压的，已经知道电阻 两端电压是3伏特，所以电

阻 两端电压就为1伏特。通过以上分析，电阻 两端电压为

1伏特，电阻 两端电压为3伏特，电阻 两端电压为3伏特，

那么电源电压就应该为7伏特，所以选项C也是错误的。

由于电阻 两端的电压是1伏特，通过电阻 的电流为1

安培，所以电阻 的阻值就是1欧姆。

4．

解析：根据已知条件可知，当滑动变阻器的滑片 在 端

且只闭合 时，电路中电阻 和滑动变阻器 串联，电阻

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没有接入电路中，此时电压表 是测量电阻 两端电压的，设

为 ；电压表 是测量滑动变阻器 两端电压的，设为 ，

因为 ，所以 ，那么当滑动变阻器的滑片固

=2：1，（设变阻器中点为 ），定在变阻器中央时， ：

所以电压表 和电压表 的示数之比也应该是2：1，所以选项

A是正确的。

又当开关 和 闭合时，电阻 和 并联，电流表 是

测量通过 中的电流强度的，电流强度设为 ；电流表 是测

量通过电阻 中的电流强度的，电流强度设为 ；又已知

，说明 ，从而可以得出：电阻 与滑动变阻

，故此当滑动变阻器的滑器一半电阻的比为4：1，即

片 固定在中点且只闭合 时，电压表 测电阻 两端电压

设为 ，电压表 测量变阻器 两端电压设为 ，因为

，所以 ，因此选项B也是正确的。

， 当开关 和 都闭合时，电阻 和 并联，

，C选所以 ，电流表 和电流表 的示数之比为

项也是正确的。很显然D选项是错误的。

5．

解析：将电阻 和 串联起来，已知电阻 两端电压是3

伏特，电阻 和 的阻值之比为3：1，根据串联电路的特点，

各电阻两端电压的分配跟电阻成正比，根据公式： ，

伏特，又根据 ，可得 9伏+3伏=12伏特，电源电压

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为12伏特。

6．

解析：该电路是一个串联电路，值得注意的问题是：滑片

的移动不起到改变电路中电阻的作用，也就是说，滑片 移动

时，电路中的电阻是不改变的。当滑片 在 端时，电压表是

测电源电压的， 此时电压表的示数是6伏特。当滑片 移到

端时，电压表测电阻 两端电压，根据串联电路特点，正比分

压公式 ，设电阻 两端电压为 ，电阻 两端电压为

伏特，求 ，将数据代入上式得 ，已知电源电压为

，解得 =3.6伏。当滑片 在 端时，电压表示数

为6伏特，当滑片 在 端时，电压表示数为3.6伏特。

7．

解析：首先要弄清楚，当在电路中A、B两点之间再接入电

阻 时，就是将 与 并联，组成一个并联电路，还必须知

道，此时通过电阻 的电流 0.3安培是不变的，干路电流也

就是电流表的示数要变大，因为电源电压不变，并联一个电阻

时，电路的总电阻变小了，所以干路中的电流变大了。

又由于通过电阻 的电流是不变的，仍为0.3安培，那么

增大了的电流是通过电阻 的电流 ，

根据并联电路分流的特点， ，又已知： =2 ，即

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： =1：2，代入公式便可以求出 ， ，解得 0.15

安培。

根据并联电路中电流的特点： =0.45安培，故此电

路中电流表的示数为0.45安培。

8．

解析：当 与 并联时总电阻 ，所以

，因为 ，所以 。也就是并联电阻的总

电阻要小于任何一支路的电阻的阻值。

中 考 解 析

串、并联电路中的等效电阻

1．（吉林省）几个导体串联起来的总电阻比其中任何一个

导体的电阻都大，这相当于增加了导体的__________。

解析：理解串联的总电阻跟各部分导体电阻的关系，就可答

出此题。

答案：长度

2．（哈尔滨市）铭牌上标有“6V 10Ω”的电铃，要使它能

在9伏的电路中正常工作，需要串联一个＿＿＿＿＿欧的电阻。

解析：根据I= ，连接到9伏的电路中正常工

作，则

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R= ,则应串联R¢=15W－10W=5W的电阻。

总

此题“正常工作”是关键。

答案：5

3．（四川省）阻值分别为20欧和30欧的两个电阻，它们

串联时的总电阻是____欧，它们并联时的总电阻是____欧。

解析：电阻串联或并联使用时总电阻的计算。

串联时，R=R+R，并联时 ，或 。

12

答案：50； 12

4．(北京市东城区) 一个小灯泡的额定电压是6伏，额定电

流是0.2安。若把它接到10伏的电源上，且使它正常工作，应

该给它串联一个阻值是_________欧的电阻。

解析：串联电路电流处处相等，灯泡的额定电压是6，接到

10伏的电源上，应串联一个电阻分压。所以R= = =30

灯

Ω R= = =50Ω

总

∴R= R- R=50Ω-30Ω=20Ω。

总灯

答案：20

5．(天津市) 如图1所示，电源电压为6伏，闭合开关S后，

发现两灯泡均不亮，检查后发现L灯丝断了，电路其它部分均正

1

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常，如果用电压表测量bc两点间电压应为______伏。

解析：由题可知L的灯丝断了，b、c之间断路，其它各

1

点都连通，把电压表连到b、C之间，相当于电压表与L串联到

2

电路中，Rv＞＞R，U=RI＞＞RI，故电压表的示数约等于电源

2VV2

电压6伏。即b、C之间电压为6伏。

答案：6

6．（安徽省）如图2所示电路中的电源电压不变，电阻

R=10欧，闭合开关S后，电流表的读数为I。当将一个阻值为

_______欧的电阻与电阻R____联时，电流表的读数变为2I。

解析：要求学生掌握欧姆定律，并理解并联后总电阻与

各并联电阻的关系，就可得出正确答案。本题考查了学生的理解

能力。

答案：10； 并

7．（北京市海淀区）如图3所示，电源电压不变，R=8

1

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欧，R=12欧。当S闭合、S断开，①、②都是电流表时，两表

212

示数之比为 ，当S、S都闭合，①、②都是电压表时。

12

两表示数之比为 。

解析：本题虽是填空但要求较高，学生首先分析出当S闭合、

1

S断开，①、②都是电流表时，R，R是并联，当S，S都闭合，

21212

①、②都是电压表时，R，R是串联，在以上基础上，问题就很

12

容易解决了。本题考查了学 生的综合能力．

答案：2:5； 5:3

8．（西宁市）三个电阻并联后接到电源上R:R:R=1:2:3，

123

它们两端的电压之比U:U:U=___________。通过它们的电流强

123

度之比I:I:I

123

解析：学生要掌握关联电路中电压的关系和电流的关系，就

能答出此题。

答案：1:1:1； 6:3:2

9．（吉林省）一只阻值为0.l欧的电阻与另一只阻值为10

欧的电阻并联，并联后的总电阻（ ）

A．小于0.1欧 B．等于1欧 C．等于10.l欧 D．小

于10欧，但大于0.1欧

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解析：根据“并联电路的总电阻比任何一个支路中的电阻都

小”的知识可判断正确答案为A。此题考查了学生的理解能力。

答案：A

10．(天津市)两个相同的灯泡串联在一起接在某一电源上，

每个灯泡两端的电压均为 ，若把这两个灯泡并联起来接在原

，则（ ） 来的电源上，每个灯泡两端的电压为

A．U:U=1:1 B．U:U=2:1 C．U:U=1:2 D．U:U=1:4

12121212

解析：要求学生明确掌握串、并联电路中电压之间的关系，

注意电源电压不变，即可算出正确答案为C。本题考查了学生综

合运用知识的能力。

答案：Ｃ

11．(天津市)如图4所示，电流表A、A、A的示数分别为

123

30毫安、50毫安、70毫安，则电流表（ ）

A．A的示数是 120 毫安 B．A的示数是 70 毫安

C．A 的示数是 80 毫安 D．A 的示数是 30 毫安

解析：首先判断出图中所示为一并联电路，然后明确图中

五个电流表测的是哪些灯炮的电流，根据题目要求可推出A、C

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是正确的。

答案：A、C

12．（江西省）如图5所示电路中，电源电压保持不变，当

开关S闭合时，电流表示数将( )

2

A．增大 B．减小 C．不变 D．无法确定

解析：应知道并联电路各支路之间互不影响，更应进一步理

解R两端电压不变，自身电阻没变，根据欧姆定律，R中的电流

11

是不变的，增加了一个支路，电流表接在干路上，示数应增大，

不要误认为R分一部分电流过来，干路电流不变。

2

答案：A

13．(河北省)如图6所示电路中，电源电压保持不变。当S

闭合时，R和R两端的电压之比为U:U=1 :4，电流表的示数为

1313

I；当S断开时，R、R、R两端的电压分别为U'、U'、U'，且

123123

U':U'=1:2，电流表的示数为I'。则下列判断正确的是（ ）

12

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A．I:I'=2:5 B．I:I'=5:2 C．U:U'=5:7

11

D．U:U'=7:5

33

解析：串联电路中各电阻两端电压比等于电阻比。

即：U:U=R:R=1:4 U′:U′=R:R=1:2

13131212

∴R:R=1:2 ∴ = =

23

答案：D。

14．（安徽省）如图7所示的电路中，当开关S闭合后，灯

L、L都发光。经过一段时间后，两灯突然同时熄灭，而电压表

12

的示数变为6伏，已知开关S和电路完好。则产生这一现象的原

因可能是（ ）

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A．灯L短路 B． 灯L短路 C．灯L断路

121

D．灯L断路

2

解析：本题考查了多个考点，要求学生全面理解短路、断路

及造成的后果，仔细看图及分析题中所给综合条件可判断出正确

答案为C，本题考查了学生的理解、分析、判断能力。

答案：C

15．（哈尔滨市）如图8所示电路，当S闭合，滑片P向左

滑动时，下列说法中正确的是（ ）

A．电压表的示数不变，电流表的示数变大 B．电压表

的示数变小，电流表的示数变小

C．电压表的示数变大，电流表的示数变大 D．电压表的

示数变小，电流表的示数变大

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解析：R与R串联在电路中，电流表测电路中的电流I= ，

12

电压表测R两端的电压。当滑片P向左滑动时，R变小，则R

22总

变小，由I= ，可知U一定，I变大，电流表示数变大。U=IR，

11

R一定，所以U变大。U=U－U，因此，U变小，即电压表数变

11212

小。应选项D。

答案：D

16．(天津市) 如图9所示，当变阻器的滑片置于某一位

P

置时R、R两端的电压分别为U和U，当滑片 置于另一位置

1212

P

时，R、R两端的电压分别为 和 。若△U=|U- |，△

1211

U=|U- |，则（ ）

22

A．△U<△U B．△U>△U C．△U=△U D．无

121212

法判断△U、△U哪个大

12

解析：此题首先要审清题目要求，看清图中所示，根据串联

电路电压的关系特点，由于总电压不变，R、R为定值电阻，可

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推出ΔU=ΔU+ΔU，由此判断答案B是正确的，此题要求学生

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思路清晰，分析正确，考查了学生的推理能力。

答案：B

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17．（重庆市）两个电阻的阻值分别为R，R，连接方式如

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图10所示，试推导电路的总电阻R与R、R 之间的关系（要求：

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对于推导过程中的依据要有必要的文字说明）

解析：根据欧姆定律有

通过R的电流 通过R的电流

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干路上电流 （R为并联电路的总电阻）

由于并联： I=I+I，

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因此： ，即为R与R，R的关系式。

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18．（黄岗市）试证明串联电阻的总电阻等于各串联电阻之

和。

解析：电阻串联后的总阻值，课本中用两种方法得出，实验

法和推导证明，两种方法互为印证。

答案：电压关系：U=U+U

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∵U=IR U=IR U=IR

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∴IR=IR+IR

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得R=R+R

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