2022年4月湘鄂渝大联考雅礼十六校2022届高三下学期4月第二次联考数学

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2022年4月湘鄂渝大联考雅礼十六校2022届高三下学期4月第二次联考

数学试题

★祝考试顺利★

(含答案)

总分：150分 时量：120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知集合A={{∅}，∅},下列选项中均为A的元素的是

A. ⑴⑵ B. ⑴⑶ C. ⑵⑶ D. ⑵⑷

2.某圆锥高为1，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为

A. 2 B. C. D. 1



1



n

3.有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄



今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，

，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，…，至今为止都



还不确定是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与



实际值之间是存在一定误差的，已知，．用上式估算出的与实际的

ln20.693ln102.303ln5ln5

的误差绝对值近似为（）

A. 0.003 B.0.096 C.0.121 D. 0.216

4.在正三角形ABC中，M为BC中点,P为三角形内一动点，且满足PA=2PM，则最小值为

A. 1 B. C. D.

5.已知,的一条切线与有且仅有一个交点，则

A. k=-3，b=3

B. k=-3，b=-3

C. k=3，b=3

D. k=3，b=-3

6.从正360边形的顶点中取若干个，依次连接，构成的正多边形的个数为

A. 360 B.630 C.1170 D. 840

7.已知数列满足则

A. B. C. D.

8.P、Q、R是等腰直角三角形ABC（)内的点，且满足

，则下列说法正确的是

A.

B.

C.

D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的有

A.一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据就是中位数

B.分层抽样为保证每个个体等可能入样，需在各层中进行简单随机抽样

C.若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则事件A与事件B互为对立事件

D. 线性回归分析中，的值越小，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好

10.已知曲线C：，焦点为F、F，O（0,0），过A（0，2）的直线l与C交于M、

12

N两点，则下列说法正确的有

A.x+y=0是C的一条对称轴

B. C的离心率为

C. 对C上任意一点P皆有

D. 最大值为

11. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保

持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，

以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则

（ ）

A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a



6

1a



B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为



4



C．勒洛四面体的截面面积的最大值为

1

2π3a

2

4





26π

33

Va,a



D．勒洛四面体的体积



128



12. 下列不等式正确的有

A. B.

C. D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知复数，，则=

14.设函数，参数，过点（0,1）作曲线的切线（斜率存在），则

切线斜率为

15.已知双曲线的左右焦点分别为F,F,若C与直线y=x有交点，

12

，则双曲线离心率取值范围范围为 且双曲线上存在不是顶点的P,使得

的外部与圆的内部交集而成。某同16.坐标平面上有一环状区域由圆

x

学欲用一支长度为1的笔直扫描棒来扫描此环状区域的

轴上方的某区域。他设计扫描棒黑、白两端分别在半圆

、上移动。开始

时扫描棒黑端在点，白端在的点。接着黑、白

两端各沿着、的点逆时针移动，直至白端碰到

B

y

x

便停止扫描，则B坐标；扫描棒扫过的区域的面积为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.

17.△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.若,

，求c的最小值.

18.已知数列满足

（1）求证：数列为递增数列；

（2）求证：.

19.“不关注分数，就是对学生的今天不负责；只关注分数，就是对学生的未来不负责。”为锻

炼学生的综合实践能力，长沙市某中学组织学生对雨花区一家奶茶店的营业情况进行调查统

计，得到的数据如下：

月份x 2 4 6 8 10 12

2.0 4.2 3.9 5.2 5.1 净利润0.9

（万元）y

（1）设。试建立y关于x的非线性回归方程和（保留2

位有效数字）；

（2）从相关系数的角度确定哪一个模型的拟合效果更好，并据此预测次年2月（计x=14）的

净利润（保留1位小数）.

附：①相关系数，回归直线

r

n





xxyy

ii

i1

n





xxyy

ii

i1i1

nn

22

ˆ

abxy

ˆˆ

中斜率和截距的最小二乘估计公

ˆˆ

bybxa

式分别为．





xxyy

ii

i1





xx

i

i1

n

2

ˆ

,

②参考数据：

．

20.类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，

构成的三面角，，，，二面角的大小为，则

．

（1）当、时，证明以上三面角余弦定理；

（2）如图2，四棱柱中，平面平面，，

，

①求的余弦值；

②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理

CCDAC

111

由．

21.已知曲线C：，，，过作直线l与C交于

A，B两点，满足，且.设为C的离心率.

（1）求；

（2）若，且，过点P（4,1）的直线l与C交于E,F两点，l上存在一点T使

11

，求T的轨迹方程.

22.已知函数，且正数a，b满足.

（1）讨论的单调性；

（2）若的零点为，，且m，n满足，，求证：

.(其中是自然对数的底数)

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数学试题参考答案

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B A B D A B C C BC ABD ABD AD

13. 16., -115.

17.由

得………………………………………………………………1分

由正弦定理

由余弦定理

整理得………………………………………………………………3分

∴由余弦定理……………………………………………………………………4分

又，得……………………………………………………5分

又

整理得………………………………………………………………7分

由得……………………………………………………………………………9分

……………………………………………………………………………10分 ∴的最小值为

18.（1）取倒数得 …………………………………………………………2分

整理得………………………………………………………………4分

故数列为递增数列…………………………………………………………………………5分

（2） …………………………………………………8分

∴……………………………………………………………9分

又则，……………………………………………………………10分

∴，即……………………………………………………………………12分

19.（1）代入数据计算，得到…………………………………………………2分

∴模型1：…………………………………………………………………3分

代入数据计算，得到…………………………………………………………5分

∴模型2：……………………………………………………………………6分

（2）代入数据计算，得到…………………………………………………8分

代入数据计算，得到………………………………………………………10分

∴模型1拟合效果更好

则次年2月净利润………………………………………………12分

20.1

（）证明：如图，过射线上一点作交于点，

PC

H

HMPC

PA

M

作交于点，连接，

HNPCNMN

PB

则是二面角的平面角．…………………………………………………分

MHN

APCB

2

在中和中分别用余弦定理，得

△MNP△MNH

MNMPNP2MPNPcos

222



，

MNMHNH2MHNHcos

222



，

两式相减得，…………分

MPMHNPNH2MPNPcos2MHNHcos0

2222



5

∴，

2MPNPcos2PH2MHNHcos



2

两边同除以，得．…………………………分

2MPNP

coscoscossinsincos



6

（）①由平面平面，知，

2

AACC

11

ABCD90



∴由（）得，…………………………………………分

18

cosAABcosAACcosCAB

11

∵，，

cosAAC60

1

cosBAC45

∴．………………………………………………………………分

cosAAB

1

122

9

224

②在直线上存在点，使平面．

CCDAC

111

P

BP//

连结，延长至，使，连结，

BCCCCPCC

111

P

BP

在棱柱中，，，

ABCDABCD

1111

AB//AB

11

AB//CD

∴，∴四边形为平行四边形，

ABDC

11

//

ABCD

11

∴．…………………………………………………………………………………分

AD//BC

11

10

在四边形中，，∴四边形为平行四边形，

BBPCBBPC

11

BB//CP

1

∴，

BC//BP

1

∴，…………………………………………………………………………………分

AD//BP

1

11

又平面，平面，

AD

1

DACDAC

1111

BP

∴平面．

BP//

DAC

11

∴当点在的延长线上，且使时，平面．……………………分

P

CCCPCC

11

BP//

DAC

11

12

21.

（1）由题l斜率存在且不为0，令设,

与联立得……………………………………分

1

则，…………………………………………分

2

消去,，不妨设……………………………………………………分

3

则

整理得到…………………………………………………分

解得………………………………………………………分

4

5

（2）由题知C：

若l斜率不存在，则与C无交点，不合题意

1

若l斜率存在，设l：，与联立

11

得

设，得○1，○2

得……………………………………………7分

设由题知

即=

代入○1○2得……………………………………………………………………8分

=

若=，则

………………………………………………9分

消去k得到……………………………………………………………10分

若………………………………………………11分

=，则

消去k得到……………………………………………………………12分

综上，T的轨迹方程为或

22.令，则由题知

即

∴，即………………………………………………………………………………2分

而

令，则，且对称轴

而

易知当时在单调递减，在单调递增

当时在单调递减. ……………………………………………………4分

（2），由

…………………………………

………………………………………5分

即……………………………………………………………………6分

由（1）知

…………………………………………………8分

即有

……………………………………………9分

两式相减得………………………11分

即

整理得………………………………………………………………12分

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