惠州市2022届高三第一次调研考试数学试题参考答案第一稿

惠州市2022届高三第一次调研考试

数学试题参考答案与评分细则

一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．

题号

答案

1 2 3 4 5 6 7 8

D B A C B C A D

1．【解析】由，结合数轴可得；

ABR

2𝑖2𝑖(1+𝑖)

a2

2z

．【解析】，复数对应复平面上的点为，在第二象限；

∵==𝑖−1

1−𝑖

(1−𝑖)(1+𝑖)

∴(−1,1)

3．【解析】由，因此“”是“”的充分不必要条件；

a//bm3或m2a//b

m2

4

．【解析】由，得，．

sin (𝜋−𝛼)=sin 𝛼=∴cos2𝛼=1−2sin𝛼=1−2×=

552525

2

5

．【解析】因为，所以，函数为奇函数，排除；

𝑓(𝑥)=𝑓(−𝑥)==−𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)=

2+22+22+2

𝑥−𝑥−𝑥𝑥𝑥−𝑥

A

12

𝑥>0𝐷;

时，恒成立，排除因为，，排除．

𝑓(𝑥)=>0𝑓(1)==

2+22+25

𝑥−𝑥1−1

𝑓()=<𝑓(1)

√

C

23

2𝑥24

2𝑥−2𝑥2𝑥

3397

【另解】当时，根据一次函数与指数函数的增长速度，可知，再结合奇偶性可选

x

y0

B.

6

．【解析】依据题意可知，由于，

𝜇=100,𝜎=10𝑃(𝜇−2𝜎<𝑋≤𝜇+2𝜎)≈0.9545

1−0.9545

2

所以．因此本次考试分以上的学生约有人

𝑃80<𝑋≤120≈0.9545.

()

12020000×=455

7123456

．【解析】依题意数列第、项为奇数，第项为偶数，第、项为奇数，第项又为偶数，依次循

环，因此共有偶数，因此；

8

．【解析】由，，

又，等比数列是递减数列，且，，选项、正确；又

3001001

100P

33003

a0,q0,aaaa1

n6767

aaaa1a1a10

676767



a1

1





a

n

a1a1

67

AB

6

13

1Taa…aa

，选项正确，选项错误；，



CD

Taa…aaa1

12121267



1312137

二、多项选择题：本题共小题，每小题满分分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合

4520

题目要求．全部选对得分，部分选对得分，有选错的得分．

520

题号

全部正确选项

9A

．【解析】，，正确；，将的

fx2sin2xT4fx2sin2x





9 10 11 12

AD ABD CD BCD







33312







第1页，共11页

图象右移个单位后得函数的图像，不满足









gx2sin2x2sin2x







333





3

5





5



gxgx



，所以不是奇函数，错误；因为，所以不是

gx



B

2sin20



x

63

6



函数的对称轴，而是函数对称中心的横坐标，错误，正确．

yfxyfx



CD

10A

．【解析】由，，得，又由，得，正确；由，，得，

𝑚⊥𝛼𝑚//𝑛𝑛⊥𝛼𝑛⊂𝛽𝛼⊥𝛽𝛼//𝛽𝑚⊥𝛼𝑚⊥𝛽

又由，得，正确；若，，，，可能平行也可能是异面直线，错误；

𝑛⊥𝛽𝑚//𝑛𝛼//𝛽𝑚⊂𝛼𝑛⊂𝛽

BmnC

由面面垂直的性质定理知正确．

D

11AB

．【解析】：对于：若，，则有，不正确；对于：若，则，不

𝑎<𝑏𝑐=0𝑎𝑐=𝑏𝑐𝑎<0<𝑏

22

𝑎𝑏

<

正确；对于：因为，，，

C

log3<log1=01=log3<log4<log9=2log18>log16=2

0.20.233344

所以，正确；对于：，，所

log3<log4<log180.3<0.3=11=3<3<3<5

0.234

D

0.3000.20.30.3

以，正确．

0.3<3<5

0.30.20.3

【另解】当判断出、选项不正确后，根据多选题的规则可选．

ABCD

12C

．【解析】由题意知的渐近线方程为，所以，解得：，所以半焦距，

𝑥±𝑎𝑦=0=1𝑐=2

√1+𝑎

2

𝑎=3

√

所以，故错误，正确；设，由知：，所以

𝑒==

|𝑥+3𝑦||𝑥−3𝑦||𝑥+3𝑦||𝑥−3𝑦|3

00000000

√√√

22244

223

√2

33

|2|

11

√|𝑥−3𝑦|

AB

𝑃𝑥,𝑦

()

00

𝑎=3

√

0

−𝑦=1

0

2

𝑑=,𝑑=

12

00

√

3

𝑥

2

，所以故正确；

𝑑·𝑑=·==.

12

𝑥

1

2

22

C

(𝑥)(𝑥)

1212

−𝑥+𝑥

3

𝐷𝑥,𝑦𝐴𝑥,𝑦,𝐵𝑥,𝑦{

()()()

331122

，设，则，相减得：−𝑦−𝑦𝑦+𝑦=0，

𝑥

3

2

2

3

−𝑦=1

1

2

−𝑦=1

2

2

11

()()

1212

则，则，则，故正确．故选．

3−𝑥+𝑥

−=0

(𝑥)(𝑥)

1−𝑦+𝑦

(𝑦)(𝑦)

1212

1212

−𝑘𝑘=0𝑘𝑘=

1212

DBCD

33

三、填空题：本题共小题，每小题分，共分．

4520

13．；（或“”）

exy0

yex

14．利润最小值为10万元【也可以是：利润最大值为30万元，全年总利润为250万元，月平均利润为

20.8万元，利润众数为20万元，等……】；

335

15．13； 16．【结果可以写成】；



2

13．【解析】，，则，

f1ef'1e



f'xe



x



31

4



3

故所求切线方程为，整理得；

yeex1



exy0

141122020302020202010

．【解析】本题为开放题，由图可得，月到月的利润分别为，，，，，，，，

203020208103130250

，，，，故月份利润低为万元，月和月利润最高，为万元，全年总利润为

第2页，共11页

20.82024.3……

万元，月平均利润为万元，利润众数为万元，利润方差约为等正确结论都可以．

15A

．【解析】因为在抛物线内部，抛物线的焦点，抛物线的准

𝐹(2,0)

线方程为，的周长为，，

𝑥=−2△𝑃𝐴𝐹|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|+|𝐴𝐹||𝐴𝐹|=5

∴|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|

当过作准线的垂线交抛物线于点时，最小，此时

AP

|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|=6+2=8△𝑃𝐴𝐹8+5=13

，周长的最小值为．

16

．【解析】球的体积要达到最大，则需要球与正四棱锥五个面都相切，

正四棱锥的高为，设球的半径为，

ℎ=8−(42)=42𝑐𝑚

√

2

√√

2

r

所以四棱锥的体积√√√，

𝑉=×(8×43××4+64)𝑟=×(643+64)𝑟=(×64×42)𝑐𝑚

3233

3

1111

V

蛋黄

335

=



．故解得，则

𝑟=22(3−1)𝑐𝑚

√√

1

V2

粽子

64364r

3

4



3

r

3



四、解答题：本题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

670

17．（本小题满分10分）

【解析】选择条件①的面积：

1

ABC

S3

ABC

【解法】根据三角形面积公式，………………分

1

S=ABBCsin

1

ABC

1

ABC

2

S=2BCsinBC

123



，…………………………………………分

2

ABC

232

由选择条件得，，………………………………………分

3BC

在中，由余弦定理…………分

3

BC2

4

2

2



6

………………………………………………分

3

ABC

ACABBC2ABBCcosABC

222

5



AC22222cos

222

44+4=12

，………………………………………………………………分

8

AC23

．………………………………………………………………………分

10

【注】、若解答过程无定义而使用此三个符号，需扣分。

11

a,b,c

21

、能正确写出对解题有用的三角形面积计算公式和余弦定理表达式（非文字），可各给分。

【解法】根据三角形面积公式，……分

2

S=ABBCsinABC

1

1

ABC

2

S=2BCsinBC

123



，………………分

2

ABC

232

D

BC2

，……………………………………………分

4

所以为等腰三角形，……………………………分

A

M

C

B

ABC

5

过作⊥…………………………………………分

BBMAC

6

第3页，共11页

则…………………………………………………分

ABM



3

7

由勾股定理得……………分

ABAMBM

222

AM3

8

所以．……………………………………………分

AC23

10

【解析】选择条件②：

2

ADC





6

设，则，，……………………分

BAC=CAD=



0BCA





在中，由正弦定理，……………………………分



33





1

ABC

ACAB

=

2

sin∠ABCsin∠BCA

AC2

3



AC

2



即，………………………………分









4

sin

sin





sin





3



3



3

在中，由正弦定理，

ACD

AC23



ACCD

=

sin∠ADCsin∠CAD

即，…………………………………………分

sin



6

sin



AC

33

3

6

sin







sinsin





，……………………………分，

7



3



sin



sin







3





8

又，，………………………………………………………分

0



则，……………………………………………………………………分

sin





36





1

9

2

3

23AC

．………………………………………………………分所以

10

sin



【注】、若解答过程无写出，需扣分。

11

0





3

21

、能正确写出对解题有用的正弦定理表达式（非文字），可给分，但不重复给分。

3418-10

、无过程直接得出或，最多可得分（公式分及分点）。

CABACB

1812

．（本小题满分分）

【解析】

（1）【解法1】由已知得，

aan

nn1



66

aaaa……aann1……2



nn1n1n221

， …………2分

第4页，共11页

即，…………3分

aa23……n

n1

nn1



又，……5分

a1

1



a1+23……n

n

2

nn1



所以

a

n

2

【注】、过程有体现累加的思想，可得分。

11

21

、若等差数列求和出现项数或首项错误，但能写出等差数列求和公式表达式，可得分。

【解法2】（数学归纳法）

由得 …………………………1分

a=1

1

aa23

21

aa36

32

，

aa410

43

猜测.…………………………2分

a

n

nn1



2

下面用数学归纳法加以证明：

111



①

当时，，显然成立.

n1

a1

1

2

②

假设当时成立，即. …………………………3分

nkk1,kZ

kk1



a

k



2

则当时，…………………………4分

nk1

aak1

k1k



k1

kk1





2





k1k2

2



nn1



. 所以

2



k1k11





2

成立. …………………………5分

a

n

【注】、只有猜测结果且正确，没有证明过程，只可得分。

12

2

、根据满分卷无瑕疵原则，证明可给满分的情况下，没有写出递推奠基或未指出的范围（即

k

k1，kZ

）需扣分。

1

35

、证明过程化简未正确写出的形式，分点不得分。

第5页，共11页



k1k11





2

（2）， …………………………………6分

a

n

nn1



a

n

n

b

n

n1n

2

2n12



记，

Tbb……b

n12n

123n

T

n

23n

……

①，……………………………………………7分

2222

1123n1n

T

n

234nn+1

……

②，………………………………8分

222222

①-②，得，………………………9分

T+

n

111111n

2222222

234nn+1

……

1nn2

=1

=1

nn+1n1

222

T

n

2

又，…………………………………11分【无此步骤，该得分点不得分】

n2

…………………………………………………………………10分

n

2

n2

0

n

2

n2

2

，

n

2

2

即…………………………………………………………12分

bb……b2

12n

【注】、解答过程有错位相减法的思想，可得分。

11

2

、其它类似解法可按本过程得分点对应给分即可。

19. （本小题满分12分）

【解析】（1）【解法1】在直角梯形中，因为，，，

ABCDCD2

AD22BC2

所以；……………………………………………………1分

AB(ADBC)CD6

22

因为平面平面，平面平面，平面且，

PDCABCDPDCABCDCDABCDBCCD



BC

所以平面，……………………………………………………………………2分

BCPDC

因此在中，．…………………………………………3分

RtBCP

PBBCPC6

22

因为所以平面，

BC//ADPDC

AD

所以在中，．…………………4分

RtPAD

PAADPD(22)212

2222

所以在中，，

PAB

PAABPB

222

所以． ………………………………………………………………………5分

ABPB

【解法2】如图，取中点，连结,,，则

CDOPOOAOBPOCD

在直角梯形中，因为，，，

ABCDCD2

AD22BC2

所以；…………………………………1分

AB(ADBC)CD6

在中，．

RtOAD

AOADDO3

22

A

22

P

D

O

C

B

在中，．

RtOCB

BOBCCO3

第6页，共11页

22

所以在中，，即． …………………2分

OABABOB

OAABOB

222

因为平面平面，平面平面，平面且，

PDCABCDPDCABCDCDPDCPOCD



PO

所以平面，…………………………………………………………3分

POABCD

又平面，

AB

ABCDABPO

又平面,平面,

POBO

PBOPBOPOBOO



所以平面， …………………………………………………………4分

AB

PBO

又平面，

PB

PBO

所以…………………………………………………5分

ABPB

（2）【解法1】设线段的中点为，连接，

DCOPOOB

因为是等边三角形，所以，

PCDPOCD

因为平面平面，平面平面，

PDCABCDABCDCD

PDC

A

D

O

C

B

P

所以平面，又平面，，

POABCDABCDABPO

AB

由（1）知， ……………………………………………………………6分

ABPB

所以平面，所以， ……………………………………………7分

AB

POBABBO

因此是二面角的平面角， ……………………………………8分

PBO

PABD

在中，，………………………………………9分

RtPBO

sinPBO

因为，………………………………10分【无此步骤，该得分点不得分】

0PBO

所以，………………………………………………………………………11分

PBO

PO32

PB2

6



2



4

即二面角 …………………………12分【无此步骤，该得分点不得分】

PABD

为



4

【注】、能正确指出二面角的平面角，可得分。

11

221

、二面角的平面角证明过程得分，注意可能在第（）小问证明中已经有这个过程。

【解法2】如图，以为点，过作平行于的直线为轴，

OO



0,0



AD

x

以方向直线为轴，以方向直线为轴建立空间直角坐标系，……………6分

OCOP

y

z

z

P

P0,0,3A22,1,0PA22,1,3

，，



B2,1,0PB2,1,3



，，……………………………………7分

A

D

O

C

B

y

设面的法向量为，由面得：

PABPAB

nx,y,z



n







nPA022xy3c02x2y0



，即，，…………………8分









nPB0



2xy3c032x23c0

令，， …………………………………9分

x2

y1,c3

n2,1,3

x



第7页，共11页

又面，面的法向量为，…………………10分

OPABCD



ABCD

OP0,0,3



cosn,OP

nOP32

，……………………………………11分

2

63

nOP

因为，

0n,OP



n,OP





4

由图可得二面角为锐角，二面角为…………………12分

PABDPABD





4

【注】、本过程分可分解为：建系分，向量分，法向量方程组分，法向量各分，余弦值

1711111

分，结论分。

1

2

、空间点的坐标没有得分点。

20．（本小题满分12分）

【解析】（）记表示事件第局结果为甲胜，

1“2”

A

1

A

2

表示事件第局甲参加比赛时，结果为甲负，

“3”

A“4”. .…………………………………………1

表示事件第局甲当裁判分

则分

A=AA

12

.……………………………………………………………2

P(A)=P(AA)P(A)P(A)

1

212

………………………………………3

分

11



22

1



…………………………………………………………………4

分

4

所以第局甲当裁判的概率为．

4

1

4

（）的所有可能取值为、、，分【无此步骤，该得分点不得分】

2X012 .……………………5

记表示事件第局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙，

A

3

“3”

B

1

表示事件第局结果为乙胜丙，

“1”

B

2

表示事件第局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲，

“2”

B

3

表示事件第局乙参加比赛时，结果为乙负

“3”.

则分

P(X0)P(BBA)P(B)P(B)P(A)

123123

1

.……………………………6

8

P(X2)P(BB)P(B)P（B）=

1313

1

，分

.…………………………………………7

4

115

P(X1)1P(X0)P(X2)1

，分

.……………………………8

848

故的分布列为：

X

第8页，共11页

X 0 1 2

P

115

848

….…………10

分

.

115

E(X)0

1+2

.………………………………………………………………11

分

848

9



……………………………………………………………………………………12

分

8

【注】、分布列无列表，则不给列表的分。

11

21

、计算结果出错，则期望值公式给分。注意期望值公式必须包含，即期望值公式写成

0

1

8

15

E(X)

1+2

则公式分为分。

0

48

21．（本小题满分12分）

【解析】（1）设椭圆的焦距为，则………………………………………………1分

2c

c1



1

1



2

，………………………………………………………………2分



b

222





abc





a2

2



a2

解得（或写成）， ……………………………………3分





2





b

1



b1

x

2



椭圆的方程为； …………………………………………4分

C

y1

2

2



x

2



y1

2

（2）证明：设,，,，由

P(x

1

y)

1

Q(x

2

y)

2



2



ykxt



消去得：，………………………………………5分

y

(2k1)x4ktx2t20

222

2t2

2

4kt

由韦达定理得，① ………………………6分

xx

12

2

xx

12

2

2k1

2k1

由与,可得直线的方程为：， ………………7分

A(0,1)

P(x

1

y)

1

AP

yx1

y1

1

x

1

M(

x

1

，，…………………………………………………………………8分

0)

y1

1

x

2

，， 同理：

0)

y1

2

N(

又，， …………………………………………9分

OMON1



xx

12

1

(y1)(y1)

12

化简得，

xxyy(yy)10

121212



(1k)xx(kkt)(xx)t2t10

22

1212

，……10分【无此步骤，该得分点不得分】

第9页，共11页

2t24kt

2

将①代入上式得

(1k)(kkt)t2t10

22

22

2k12k1



t3t1

0

， …………………………11分【无此步骤，该得分点不得分】 化简得：

2k1

2

因为，

t

1

t3



直线的方程为：，经过定点． ………………………………12分

l

ykx3

(0,3)

【注】、分点分点的每一步都不能省略。

110-11

22．（本小题满分12分）

【解析】（1），，，…………………………………………1分

lnxax0

x

0



a

lnx

x

1lnxlnx

令，则，…………………………………………2分

h(x)h(x)

xx

2

1lnx

令，则，且函数单调递减，…………3分

h(x)0

xe

y1lnx

x

2

h(x)

在上单调递增，上单调递减， ……………………4分

(0,e)(e,)



h(x)h(e)

max

，



a，





． ………………………………………………………5分

1

e



1



e

（）【解法参变分离】

2

1

e

2

elnxe

22

2

xlnxaxa=

由，得，得，分

gx



……………………………6

2x2x

2

2

lnxe

2

x=

2

，其中， 分 令

𝑥>0

……………………………………………………7





x2x

1lnxexxlnxe

22

'x=

323

则，





xxx

令，，

𝑠(𝑥)=𝑥−𝑥ln𝑥+𝑒𝑠′(𝑥)=−ln𝑥

2

当时，，此时函数单调递增；

0<𝑥<1𝑠′(𝑥)>0𝑦=𝑠𝑥

()

当时，，此时函数单调递减．分

𝑥>1𝑠′(𝑥)<0𝑦=𝑠𝑥

()

………………………………8

∵𝑠(1)=1+𝑒𝑠𝑒=0

22

，，

()

当，，

𝑥<1𝑥−𝑥ln 𝑥+𝑒=𝑥(1−ln𝑥)+𝑒>0

22

当时，，则；

1<𝑥<𝑒𝑠𝑥>𝑠𝑒=0𝜑′𝑥>0

22

()()()

当时，，则．

𝑥>𝑒𝑠𝑥<𝑠𝑒=0𝜑′𝑥<0

22

()()()

∴𝑦=𝜑𝑥0,𝑒𝑒,+∞

函数在区间上单调递增，在区间单调递减， 分

()()()

22

……………9

3

， 分 则

………………………………………………………10

2e

2

lnxe

2

2

0x=

，分 且当时，

…………………………………………………11

𝑥>𝑒





x2x

2

2





x=e

max



当时，，

𝑥→0𝜑𝑥→−∞

()

第10页，共11页

则，

0a

3

2e

2



3

即的取值范围是． 分

a…………………………………………………………12



0，

2



2e

【解法2 带参讨论】

ee

22

g(x)lnxax0

有两个不同的实根，即 有两个不同的正根，……………………6分

2x2

e

2

令，

h(x)lnxax,x0



2x

1e2ax2xe

222

h(x)a

22

x2x2x

当时，在恒成立，则在上单调递增，不满足题设；………7分

a0

h(x)0(0,)h(x)(0,)

当时，令，由可知

a0



(x)2ax2xe

22

4+8ae0

2

存在，使且，

x,x

12



(x)(x)0

12

x0x

12

则由 得 （*） ……………………………………………8分

2ax2xe=02ax=2xe

2222

2222