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第5章 成本函数
1．一个厂商有两个车间。一个车间按照成本函数()2111c y y =来生产；另一个车间按照成本函数()2222c y y =来生产。要素价格固定，所以从讨论中省略掉。该厂商的成本函数是什么？
A firm has two plants. One plant produces according to a cost function ()2111c y y =.The other plant produces according to a cost function ()2222c y y =.The
factor prices are fixed and so are omitted from the discussion. What is the cost function for the firm?
解：企业的成本最小化问题是：
()12拉歌口号大全
22
安全工作计划12
,12min ..y y c y y y s t y y y
=++=
解得：12/2y y y ==，代入目标函数，得到：
()()()2
2
2/2/2/2c y y y y =+=
2．一个厂商有两个车间，成本函数分别是()21113c y y =和()2222c y y =。该厂商的成本函数是什么？
A firm has two plants with cost functions ()21113c y y = and ()2222c y y =.What is the cost function for the firm?
解：厂商想使生产既定产出水平的成本最小化，则有：
()1222
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0,0
y c y y y s t y y y
≥≥=+ +=
一阶条件是：112262MC y MC y ==，。厂商最优化选择必使12MC MC =，则有213y y =。联立21y y y +=，得： 1/4y y =，23
4
y y =
。由于成本函数为凸函数，因此最优解为一内点解。 则成本函数为：
()2
2
2333444y y y c y ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3．一个厂商的生产函数由()()12341234,,,min 2,2f x x x x x x x x =++给出。该技术的成本函数是什么？作为要素价格()1234,,,w w w w 和产出y 的函数的要素1和2的条件要素需求函数是什么？
A firm has a production function given by ()()12341234,,,min 2,2f x x x x x x x x =++. What is the cost function for this technology? What is the conditional demand function for factors 1 and 2 as a function of factor prices ()1234,,,w w w w and output y ?
答：首先，在生产函数中，两种技术是互补的。考虑第一种技术，有122y x x =+。因为生产函数是线性的，因此两种要素是相互替代的，厂商将选择便宜的要素来生产。因此，这种技术的成本函数为：
(){}1212,, min /2,c w w y y w w =
同理，第二种技术的成本函数为：
(){}3434,, min ,/2c w w y y w w =
因为两种技术是互补的，所以成本函数为：
(){}{}12341234,,,,min /2,min ,/2c w w w w y y w w w w =+⎡⎤⎣⎦
要素1和2的条件要素需求函数分别是：
3．一个厂商的生产函数由(){}121212,min 2,2f x x x x x x =++给出。该技术的成本函数是什么？作为要素价格
()12,w w 和产出y 的函数的要素1和2的条件要素需求函数是什么？
A firm has a production function given by (){}121212,min 2,2f x x x x x x =++.What is the cost function for this technology? What is the conditional demand function for factors 1 and 2 as a function of factor prices ()12,w w and output y ?
解：令122x x y +=和122x x y +=，分别画出这两条曲线如图5-1所示。等产量线就是斜率为-2的曲线上位于这两条曲线交点以左的部分和斜率为-1/2的曲线上位于交点以右部分所组成的折线。
图5-1 折弯的等产量线
当12/2w w ＞时， 最佳生产点位于：120,x x y ==，此时成本为11222w x w x w y +=； 当12/1/2w w ＜时，最佳生产点位于：120x y x ==，，此时成本为11221w x w x w y +=； 当121/2/2w w ＜＜时，最佳生产点位于：12/3x x y ==，此时成本为()112212/3w x w x w w y +=+。
中班健康活动厂商会选择最小的成本来进行生产，因此，成本函数为：
()(){}121212, min ,/3,,cw w w y y w w w w =+
要素1的条件要素需求函数是：
要素2的条件要素需求函数是：
5．一个厂商的生产函数形式为(){}1212,max ,f x x x x =。这个厂商有凸的还是非凸的投入要求集？要素1的条件要素需求函数是什么？成本函数是什么？
A firm has a production function of the form (){}1212,max ,f x x x x =.Does this firm have a convex or
a nonconvex input requirement t? What is the factor demand function for factor 1? What is its cost function?
解：厂商的投入要求集()()(){}1212,:,V y x x f x x y =≥如图5-2中的阴影部分，易见它是非凸的。
图5-2 厂商的投入要求集
下面求成本函数：
{}11
22
,1212min ..max ,w x w x x x s t x x y
忠犬的原则+=
显然厂商的最优选择是只使用一种生产要素，这是因为厂商的产量只和使用数量多的那种要素有关，从而增加使用数量少的要素不会增加产量，只会提高成本。由于厂商只用一种要素生产，而且两种要素可以按照1∶
1的比例完全替代，所以厂商只会使用价格便宜的那种要素，这样厂商的成本函数为：关系营销案例
(){}1212,, min ,c w w y y w w =
条件要素需求函数为：
6．考虑一个有如下条件要素需求函数形式的厂商
1
2
1121221
2
131a
c
x w w x bw w -
=+=+
为方便起见，设产出等于1。参数a 、b 、c 的取值是什么？为什么？ Consider a firm with conditional factor demand functions of the form
12
1121221
2
131a
c
x w w x bw w -
=+=+
Output has been t equal to 1 for convenience. What are the values of the parameters a , b , and c and why ？
解：根据条件要素需求函数的性质：函数是关于价格w 的零次齐次性函数，则有：
11022
11022
a a c c -+=⇒=+=⇒=-
又根据“交叉价格效应的对称性”：1221//x w x w ∂∂=∂∂，得到：3b =
。
7．一个厂商的生产函数为12y x x =。121w w ==时，生产的最小成本等于4，y 等于什么？
