博弈论教学/最优反应函数
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中英对照： Best Respon Function 最优反应函数；Discrete 离散的；Continuous 连续的；
目录
■1 背景
心理健康教育教案
■2 最优反应函数
■3 最优反应函数的纳什均衡
■4 举例1（离散型Discrete ）
■5 举例2（连续型Continuous -协作关系）
■6 举例3（利用最优反应函数求纳什均衡）
■7 注释与参考文献
■8 See Also
三年级手工制作1 背景
1.考虑局中人，给定非局中人的行动，局中人的各种行动为她产生不同的盈利。但是，
我们对于最优行动感兴趣——即为她产生最高盈利的那些行动。
2.通过划线法等观察的方法，可以寻找简单型博弈的均衡状态，但是对于更为复杂的博
弈，“最优反应函数”是一个更好的方法。
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2 最优反应函数
1.最优反应函数(Best Respon Function)的定义：定义函数为：
. 即，对于局中人来说，当给定其他局中人的行动时，中的任何行动至少如局中人的每一个其他行动一样好，则称为局中人的最优反应函数。
2.是集值函数(Set-valued Function)：它将一组行动与其他局中人的行动列表联系在一
起。
如果每一个其他局中人坚持，那么局中人不可能找到比选择中的成员更好的行动。
3 最优反应函数的纳什均衡
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1.(回顾)纳什均衡是具有如下性质的行动组合：在给定了其他局中人的行动时，局中人不
可能通过改变自己的行动而做得更好。或者说，每一个局中人的行动是关于其他局中人行动的最优反应。
协作关系博弈
最优反应函数的纳什均衡命题：行动组合是具有序数偏好略型博弈的纳什均衡，当且仅当每一个局中人的行动是对其他局中人行动的最优反应：对于每个局中人，在中。
利用最优反应函数求解纳什均衡的步骤：
情景描述（协作关系）两个个体涉及一种协作关系。两个个体对这种关系奉献的努力越多，她们双方
境况就越好。对任意给定个体的努力，个体所作努力的回报先扬后抑。具体地说，努力水平是非负数，个体的偏好由盈利函数来
描述，其中是的努力水平，是另一个个体的努力水平，
是常数。 策略型博弈模型：
鼓动人心行动：每个局中人的行动集是努力水平（非负数）的集合。
偏好：局中人的偏好是由盈利函数
来描述的。问题：这里每个局中人有无限多个行动，所以不能采用博弈矩阵的方式来求解纳什均给定个体，个体的盈利函数是的二次函数，则个体关于的最优反应是：
。（可以通过二次函数的对
称性或者令局中人i 的盈利关于的导数等于求解得出） 具体是：，
最优反应函数图示，横轴为局中人假设最优反应函数的交点为
（即纳什均衡点），将该交点代人上述两个方程，则有方程组
，
。联立求解得该博弈有唯
一的纳什均衡
。在这个博弈中，每个局中人对于其他局中人的每一个行动都有唯一的最优反应，所以最
在两人策略型博弈中，每个局中人的行动集是非负数集合，并且局中人的盈利函数是
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和，求博弈的纳什均衡。
王尔德简介
解答：
的盈利函数对求偏导数，并令其等于，可得，所以的最优反应函数为.
同理，局中人2的盈利函数对求偏导数，并令其等于
，所以局中人的最优反应函数为.
牛画假设博弈的纳什均衡是，则是两个最优反应函数的交点，两个最优反应函数如右图所示。分别代入最优反应函数得到方程组，，联立求得，，
所以博弈的纳什均衡为
