代数中的向量证明方法（共五则）
第一篇：代数中的向量证明方法
代数中的向量证明方法
利用向量知识解题具有很多优越性:思路直观,运算简单,能把“数”与“形”有机地结合起来.学好平面向量,不仅是掌握生活、学习的一种工具,还能提高自己的数形结合能力和创新能力,而且能陶冶情操,享受数学思想方法带来的向量学的美.利用向量解决中学数学题目已经相当普遍,下面举例运用向量方法证明代数中的一些问题.y
一 利用平面向量巧证三角证明题
例1 利用向量证明
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cos10 cos130 cos250 0，
130°
x
sin10 sin130 sin250 0.
A
图
1证明:设正三角形ABC的边长为1.如图1,置于坐标系中则
AB cos10 ,sin10 ,BC cos130 ,sin130 ,CA cos250 ,sin250 ,AB BC CA cos10 cos130 cos250 ,sin10 sin130 sin250 , AB BC CA 0,0 , cos10 cos130 cos250 ,sin10 sin130 sin250 0,0 . cos10 cos130 cos250 0,sin10 sin130 sin250 0.评析：依本题的证法，我们使x轴的正方向绕A点逆时针旋转到向量AB的最小角为 ，（而不是本题的特殊角10 ）可以得到以正三角形为依托的较为一般的两个三角等式：
cos cos( 120) cos( 240) 0,
y
sin sin( 120) sin( 240) 0.
G
A
例2用向量的方法还可以解决如下的问题，求值：cos
2 7 cos
4 7 cos
6 7 cos2 7
8 7 cos
10 7
cos
12 7
C
解：因正七边形的外角为系中，则
AB cos0,sin0 {1,0},，设正七边形的边长为1，如图2所示置于坐标
2 2
BC cos,sin ,77 4 4
CD cos,sin
77 6 6
DE cos,sin
77
, ,
8 8
EF cos,sin ,77 10 10
FG cos,sin
77 12 12
如何保养皮肤GA cos,sin
77
图
2
, .
AB BC CD DE EF FG GA 0. 1 cos cos
2 72 7 cos4 74 7 cos6 76 7 cos8 78 7 cos
怎样保护地球10 7
cos
12 7
0, cos cos cos cos
食道痛10 7
cos
12 7
1.评析：此题是应用上面的证明方法来分析求解，在中学数学中可以遇到不少类似的题目，都可以类似来求解.例3 用向量证明三角公式:
cos( ) cos cos sin sin .证明:如图3,作一个单位圆,取平面上的两个单位向量a、b使它们与x轴上的单位向量
i形成α、 角,即 OA
a,OB b.a b cos( ) cos( ),又a cos ,sin ,b cos , sin , a b cos cos sin sin , cos( ) cos cos sin sin .图
评析:该公式在教材中采用构造法证明,先构造一个单位圆,再在单位圆上构造四点,形成两个全等三角形,利用两点间的距离公式证得.这种方法在构造图形上要求太高,很难与我们学过的知识相联系起来.当我们学过平面向量后,可以简洁地将此公式证明.同法,我们可以证明:
例4cos cos
cos( ) cos( ) .证明：设三个单位向量：
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a cos ,sin ,b cos ,sin ,c cos , sin , a b cos cos sin sin cos( ), a c cos cos sin sin cos( ). a b a c cos( ) cos( ).又 a b a c a (b c)， b c 2cos ,0 , a（ b c） 2cos cos .综上所述,可得: cos cos
cos( ) cos( ) .二 构造向量证明不等式
利用以下定理，可以用向量证明代数不等式.定理: a,b为两个非零向量,则
:例5 设a,b,c R+，试证：证明:构造向量:
ab
bc
ca
(a b)1a 1b 1c
. a
1bc 11 a ，,b ， .bcabc a
(a b),得
（ab
bc
ca) 1a
1b
1c
1a
1b
1c,即
ab
bc
ca
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当且仅当a b c时,不等号成立.用向量证明问题还应该注意一些符号问题，如：
例6
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2 )
证明：由于a和b方向的不确定性，可按分类讨论的思想进行证明.（1）若a与b共线且方向相同时，则
2
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所以 2 ).（2）若a与b共线且方向相反，则
