大理学院学报第８卷第４期２００９军４月．：２：２竺些篮２竺：竺：錾２耋：：：．一．．一．．一一．一．一一．．一一一．．．＝＝：＝：竺：三竺型：．·
Ｋ一解析函数的幂级数展开式
张建元，张毅敏，刘承萍，姜锐武
（昭通师范高等专科学校数学系，云南昭通６５７０００）
［摘要］给出了Ｋ一解析函数的幂级数展开式，并在此基础上得到了Ｋ一解析函数的零点孤立性及其唯一性，所得结论是解析函数与共轭解析函数中相应结果的继续和应用。
［关键词］Ｋ一解析函数；收敛Ｋ一半径；幂级数展开式；零点；唯一性定理
［中图分类号］０１７４．５［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７２—２３４５（２００９）０４—００１４—０５
ＥｘｐａｎｓｉｏｎｏｆＫ－ａｎａｌｙｔｉｃＦｕｎｃｔｉｏｎｉｎＰｏｗｅｒＳｅｒｉｅｓ
ＺｈａｎｇＪｉａｎｙｕａｎ，ＺｈａｎｇＹｉｍｉｎ，ＬｉｕＣｈｅｎｇｐｉｎｇ，ＪｉａｎｇＲｕｉｗｕ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＺｈａｏｔｏｎｇＪｕｎｉｏｒＴｅａｃｈｅｒ＇ｓＣｏｌｌｅｇｅ，Ｚｈａｏｔｏｎｇ，Ｙｕｎｎａｎ６５７０００，Ｃｈｉｎａ）
［Ａｂｓｔｒａｃｔ］ＴｈｅｅｓｓａｙｐｒｏｐｏｓｅｄｔｈｅｅｘｐａｎｓｉｏｎｏｆＫ—ａｎａｌｙｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｐｏｗｅｒｓｅｒｉｅｓ，ａｎｄｔｈｉｓｂａｓｉｓｄｅｄｕｃｔｅｄｏｕｔｔｈｅｉｓｏｌａｔｅｄｃｈａｒａｃｔｅｒｏｆｐｏｉｎｔａｎｄｔｈｅｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｔｈｅｏｒｅｍｏｆＫ—ａｎａｌｙｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｉｓｔｈｅｅｘｔｅｎｓｉｏｎｏｆｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｒｅｓｕｌｔｆｒｏｍｔｈｅａｎａｌｙｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｃｏｎｊｕｇａｔｅａｎａｌｙｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ．
［ＫｅｙｗｏｒｄｓＪＫ－ａｎａｌｙｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅＫ—ｒａｄｉｕｓ；ｔｈｅｅｘｐａｎｓｉｏｎｉｎｐｏｗｅｒｓｅｒｉｅｓ；ｚｅｌ＂ｏｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｔｈｅｏｒｅｍ
在文献［１—２］中，我们给出Ｋ一解析函数的概念，并分别用极限、积分的数学思想方法研究了它的一些性质。本文将在此基础上用级数理论的数学思想方法来研究它的另一些性质，所得结论是解析函数与共轭解析函数中级数理论的继续和应用。
两地汤组成１基本概念
１．１Ｋ一解析函数项级数定义１．１设函数爪ｚ）桠。的某邻域内有定义，彳（后）＝ｘ＋ｉｋｙ（Ｏ＃ｋ∈Ｒ）∥彳）在彳。处的Ｋ一导缈。√％）＝芝等Ｉ笺粤等暑兰筹（存在）。“ｚ）在。内的Ｋ一导数记为厂。√ｚ）（ｚ∈。），一般地八ｚ）的ｎ阶Ｋ一导数批）２等２南（等］（ｚｅＤ）ｏ批荆也觥艄疵
定义１．２牵钒ｚ）在区域Ｄ内Ｋ一可导，币妖ｚ）在Ｄ内Ｋ一解析以ｚ）在ｚ≈。的某个邻域内Ｋ一可导，乖积：）在ｚ。是Ｋ一解析。把在区域Ｄ内Ｋ一解析的函数全体记为Ｆ（Ｄ（ｋ））。
设函数列／ｆ．（ｚ”中Ｚ（彳）（ｎ＝ｌ、２、…）在点集ＥＣＣ上有定义，则级数
［基金项目】云南省教育厅科研基金资助项目（０８ｙ０３６９）
［收稿日期］２００８—１０—１０
［作者简介】张建元（１９５６一），男，云南祥云人，副教授，主要从事复变函数研究．
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微信怎么打招呼总第６４期张建元。张毅敏。刘承萍，等Ｋ一麓析函数的摹级薮展开式第８锚
酝（ｚ）萌（ｚ）幔（ｚ）＋．．·锈（ｚ）＋－．·（１．１）
称为Ｅ上的复变函数项级数。
类似于数学分析中的级数有如下结论［３］：定Ｎ１．１级数（１．１）各项‘（三）在曲线ｃ上连续，且一致收敛刁抓ｚ），
则沿ｃ可以逐项Ｋ一积分…：ｆ“ｚ）ｄｚ（ｋ）＝乏Ｉ正（ｚ）出（后。
定理１．２级数（１．１）在ｎ（ｋ）：ｔ（ｚ—ａ）（ｋ）ｋＲＰ龟闭一致收敛铮Ｖｐ：Ｄ印谊，级数（１．１）在豆，（后）：Ｉ（彳一口）（．｜｝）Ｉ≤ｐ上一致收敛（注：因Ｂ（而）的边界Ｇ：（ｚ一口）（ｋ）＝Ｒｅｉｓ（Ｄ≤ｐ≤２仃）即（实形式）（戈一吸）２＋后２（广ｑ）２胡２为一Ａ＂椭ＮＮ，称Ｂ（ｋ）为一个椭圆域）。
辣牛肉米粉定理１．３设Ｄ是由（逐段）光滑曲线ｃ所围成的有界区域。若（１况（ｚ）在区域Ｄ内Ｋ一解析；（２）ＥＬ（ｚ）在Ｄ内闭一致收敛积ｚ），且叭ｚ）＝Ｙｆｏ（ｚ）（Ｖ名∈Ｄ）。则（１狐彳）在区域Ｄ内Ｋ一解析；（２圹州（ｚ）＝∥川ｎ（ｚ）（ｚＥＤ，Ｐ＝１，２，…）（１．２）；（３）级数（１．２）在区域Ｄ内闭一致收敛拶川（彳）。
１．２Ｋ一幂级数的解析性定义１．３形如∑Ｃ。（彳一口）”（｜｜｝）＝ＣＤ＋Ｃ。（ｚ一口）（
后）＋…＋Ｃ。（ｚ一口）“（后）＋…（１．３）
或（形式更简单）．ＹｃＳ（ｋ）＝ｃｏ＋ｃ：（／，）＋ｃ声２（．｜｝）＋…＋ｃ∥（后）＋…（１．４）
的级数称为Ｋ一幂级数，简称幂级数。其中ｃＤ，ｃ。，ｃ：，…，ｏ为复常数。为了方便，有时把级数（１．３）（１．４）分别简记
为ＹＣｏ（ｚ—ｎ）“（后），Ｚｃ．Ｆ（ｋ）。
１．２．１幂级数的敛散性区域定理１．４若级数（１．３）缸，（彳，≠口）处收敛，则它必在椭圆域Ｂ（后）：ｉ（ｚ—ｏ）（Ｊ｜｝）Ｉ＜Ｉ（ｚ，－口）（．｜｝）ｌ内绝对且内闭一致收敛（由定理１．２可得定理１．４的真实性，用其反证易得如下推论）。
推论１．１若级数（１．３）在某点乞‰≠口）发散，则它在以倒心并通池：的椭圆周Ｇ：Ｉ（ｚ－ａ）（ｋ）Ｉ＝Ｉ（２：川）（后）汐卜部发散。
若级数（１．３）既有收敛点名。≠ｎ，又有发散点ｚ：，则必存在Ｒ∈Ｒ。，使级数（１．３）在Ｇ：Ｉ（ｚ－ａ）（ｋ）Ｉ＝Ｒ内绝对收敛，在Ｇ：Ｉ（ｚ一口）（后）Ｉ胡外发散。此时称尼为幂级数（１．３）的收敛Ｋ－半径，Ｉ（石咱）（Ｊｉ｝）Ｉ＜Ｒ和Ｉ（ｚ—ｏ）（七）Ｊ胡分别为幂
级数（１．３）的收敛椭圆域和收敛椭圆周。并规定当级数（１．３）仅缸＝摭收敛时，尺＝Ｄ；Ｖｚ∈Ｃ，级数（１．３）都收敛时，Ｒ＝＋ｚｏ。
Ｋ一半径的求法‘¨３：定理１．５若∑Ｃ．（ｚ－ａ）“（七）的系数合于ｌｉｍＩｑ＋以Ｊ４（达朗贝尔）或ｌｉｍＶ贬１一爿（柯西），则（１）当Ｚ≠０，Ｚ≠∞时，Ｒ＝Ｉ／／；（２）当／＝＋ｏｏ时，尺＝０；（３）当１＝０时，Ｒ＝＋ｏｏ。四季课文一年级
下面只对柯西形的情况的真实性进行讨论，达朗贝尔形的类似：由条件对于Ｖｚ∈Ｃ有，＝ｌｉｒａｙｌＣ．（ｚ－ａ）＂（ｋ）１：ｌｉｍ河ｌ（ｚ－ａ）（｜｜｝）㈨（彳一口）（Ｉ｜｝）ｌ。当，－ｚ＝ｏ时，Ｖ彳∈ｃ，ｎ＞ｎ。时，ＶＩｑ（ｚ一口）“（Ｊ｜｝）Ｉ≤ｑ＜ｌ，由柯西
判别法，幂级数（１．３）绝对收敛，收敛Ｋ一半径尺＝＋∞；当ｆ－＋∞时，Ｖｚ＃ａ，存在“＞Ｊ『，ｎ＞ｎ。时，ＩＣ。（彳一口）“（Ｉ｜｝）Ｉ＞ａ“＞１，幂级数（１．３）不收敛，而它只在三＝口收敛，收敛Ｋ一半径尺＝Ｄ；当Ｄ＜Ｚ＜＋∞时，ｎ＞ｎ。时，只要ｌｌ（ｚ—ｏ）（＿ｊ｝）Ｉ＜ｌ，ＩｉＰｌ（ｚ—ａ）（ｋ）Ｉ＜１／／，也就是１＜１，幂级数（１．３）绝对收敛，而Ｉ（ｚ一口）（后）ｌ＞ｌ／ｚ，，＞１，幂级数（１．３）不收敛。收敛Ｋ一半径Ｒ＝Ｉ／Ｉ。１．２．２Ｋ一幂级数的解析性定理１．６（１）幂级数的和函数八ｚ）＝∑ｃ（ｚ一Ⅱ）“（五）在收敛椭圆域Ｂ（ｋ）：ｉ（ｚ—ｏ）（五）Ｉ＜Ｒ（蝴≤＋∞）内Ｋ一解析；（２）在Ｂ
（Ｊ｝）内，级数（１．３）可以逐项求Ｋ一导数至任意阶，即∥川（ｚ）＝ｐ，ｑ＋（ｐ＋１）ｐ…２ｑ＋，（ｚ～ｏ）（．｜｝）＋…＋ｎ（ｎ＋１）…（凡＿Ｐ十１）Ｃ。（ｚ一口）唧（后）＋…（ｐ＝１，２…）（１．５）
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蔚第６４期自然科学穴理学院学报
且级数（１．５）与级数（１．１）有相同的收敛Ｋ一半径；（３）Ｃｐ一“ａ）／ｐ，（ｐ＝ｌ，２，…）。
用定理１．３、定理１．４、定理１．５可证定理１．６的真实性。
２Ｋ一解析函数的幂级数展开式
２．１Ｋ一解析函数的幂级数展开式定理２．１设八ｚ）在区域Ｄ内Ｋ一解析，且Ｂ（ｋ）：Ｉ（ｚ一口）（纠Ｉ＜ＲＣＤ，则八ｚ）＝∑Ｃ如吨九七）＇（：∈曰（七））（２．１），其中ｃ。＝去ｈ百芝舅丽髫（毛）＝￡≯（２．２）（，ｐ：ｌ（ｚ－ａ）（ｋ）ｌ－－－ｐ，Ｖｐ：Ｏ＜ｐ她，、
ｎ＝０，１，…）且展开式唯一。（２．１）称为八彳）在点ａ的Ｋ一幂级数展开式。
＝去ｈ芒‰蛳骊ｆ∈巩Ｉ篙等Ｉ—Ｉ泌烈帅姐芒‰＝而‰＝器证：Ｖｚ∈Ｂ（ｋ），必存在一个椭圆周Ｃ：Ｉ（卜ｎ）（尼）Ｉ甲（Ｖｐ：Ｏｇｏ＜Ｒ），傲在其内部。由Ｋ一积分公式…鳅三）
。ｉ忑二西妄南＝奄受簧万主［苦三簧筹］，因上级数在ｃ上关于ｆ是一致收敛的级数。由定理１．１得州＝去ｋ器珊）＝扣∥㈩‘去ｆｆ篙‰矾）［１］＝丕掣ｎ∽∥㈤＝弛训‰）其帕掣＝去ｈ芒％蛳），（栅㈡２…）
下证唯一性以彳）∑ｃ７。ｚ－ａ）“（后），（彳∈Ｂ（后）），由定理１．６（２）得ｃ’。新：；（Ⅱ胁，＝ｑ，（ｎ＝０，１，２，…ｏ
显然（２．１）的右边级数的收敛Ｋ一半径不小于Ｒ，它的最大值如何，可由和函八ｚ）在其收敛椭圆周上的性质来确定。
定理２．２若∑ｃ。（ｚ一口）“（矗）的收敛Ｋ一半径Ｒ＞Ｏ，且和函姒孑）＝∑ｃ。（ｚ一口）“（后），ｚ∈Ｂ（ｋ）：Ｉ（ｚ一口）（｜｜｝）Ｉ＜Ｒ，则
．尺三）在ｃ。：Ｉ（ｚ一口）（忌）Ｉ＝Ｒ上至少有一个奇点。
证：假设Ｂ（ｋ）内存在函数及ｚ），使兀ｚ）－－－－－ｆ（ｚ）（彳∈Ｂ（ｋ）），且其在Ｂ（ｋ）的边界Ｇ上处Ｋ一解析。此时Ｑ上每一点都为某圆０的中心，而Ｆ（ｚ）在圆０是Ｋ一解析的。
由有限覆盖定理，在这些圆０中可选取有限个圆将Ｃ。覆盖，设有限个圆构成的区域为Ｇ，ＣＲ到Ｇ的边界的距离为ｐ０。于是只ｚ）在比曰（Ｊ｜｝）较大的同心椭圆域Ｂ’（后）：ｉ（ｚ一口）（后）Ｉ＜Ｒｗ内Ｋ一解析。于是以ｚ）在Ｂ７（后）内可展成Ｋ一幂级数。因只ｚ）＝－ｙ（ｚ）（ｚＥＢ（ｋ）），从而只ｚ）＝∑ｑ（ｚ—Ｄ）“（后）甙ｚ），而Ｆ（ｚ）的收敛Ｋ一半径不小于月巾（＞尺），这与题设矛盾。
进而得确定展开式收敛Ｋ一半径Ｒ的方法：命题设，（：）在点提Ｋ一解析，６是八彳）的奇点中距。最近的一个奇点，则八彳）在点ａ的幂级数展开式的收敛Ｋ一半径Ｒ＝Ｉ（ｂ－ａ）（ｋ）Ｉ。
综合定理Ｉ．６０）与定理２．１得Ｋ一解析函数的一个等价描述。
定理２．欢ｚ）在区域Ｄ内Ｋ一解析车瓠ｚ）在Ｄ内任一点诃展成ｚ一口）（南）的幂级数。
２．２几个常用初等Ｋ一解析函数的展开式由定理２．１及级数的相关性质易得如下几个初等Ｋ一解析函数…
的幂级数展开式。
ｈ“¨＝至≯班２－ｓｉ枷）＝曼ｎ＝０揣础广．３．ｃ。姗）＝墨器础）ｈ；（在ｌ￣３札Ｉ＜＋比４．以１＋ｚ（．ｊ｝））的主值支如（１忆（后））：量土量Ｌ彳“（．｜｝），ｌｎ，（１忆（．
｜｝））：２１７ｒ“至生尘Ｌｚ４（后），（ｋ（后）ｋ１，ｌＥｚ）；５．（１忆（｜｜｝））８
总第６４期张建元．强鞍敷，刘承萍。等Ｋ一解析函敬的■级数展开式第８誊：ｌ＋ａｚ（后）＋旦！号亏Ｌ∑ｚ２（ｋ）＋…＋！墨！二１２二掣ｚ４（后）＋…，（ｔｚ（ｋ）ｌ＜１）。
在以上５个幂级数展开式中，我们只对１、４的真实性进行讨论，其余的类似。由初等Ｋ一解析函数的性质㈤知：ｘ，ＩＴＶｎ∈Ｎ有（ｅｚ‘ｋ））Ｉ（‘ｎ｝）＝ｅｚ（ｋ）（Ｉ（彳（忌）ｌ＜＋∞）；饥（１忆（．｜｝））怒：（一１）州（ｎ一１），／（１＋（彳（ＪｊＩ））“，（Ｉ（彳（后）ｋ１）由定理２．１，展开式中１、４成立。
２．３Ｋ一解析函数零点的孤立性及唯一性定义２．１（１）设尺彳）在Ｋ一解析区域Ｄ内一点ｎ的值为零，则称口为只ｚ）的一个Ｋ一篇析零点；（２）设Ｋ一解析函粼ｚ）≠Ｄ，（ｚ∈Ｄ）．口∈Ｄ，若ｊｍ∈Ｎ，使酬口）矿（。）（ｎ）＝…彰了¨（口）＝Ｄ且尤ｍ，Ｊ（ｏ）≠ｏ。则称口颛ｚ）的ｍ阶零点，ｍ称为零点口的阶。
定理２．４Ｋ一解析函数八ｚ）以。为ｍ阶零点车砜三）＝（ｚ—ｏ）”。（后）妒（ｚ），其中妒（彳）在点ｎ的邻域Ｋ一解析且９（口）≠０（由定理２．３与定义２．１可得其真实性，进一步有零点孤立性）。
定理２．５若“ｚ）≠Ｄ在Ｉ（ｚ－ａ）（／￡）Ｉ姐内Ｋ一解析以口）＝Ｄ，则必有ａ的某个邻域以ｚ）在其中无异于口的零。
人才激励机制证：设口瓤孑）的ｍ阶零点，由定理２．４有以ｚ）＝（ｚ吨）“‘（五）妒（彳）而妒（２）在Ｉ（ｚ一口）（后）Ｉ＜Ｒ内Ｋ一解析。妒（口）≠Ｄ，于是了Ｂ（ａ，ｒ）（后）：Ｉ（ｚ一Ⅱ）（＿｜｝）Ｉ＜ｒ，（ｒ＜Ｒ）使在其中妒（ｚ）≠Ｄ，故八ｚ）在其中无异于ａ的零点。
推论２．１设（１ｆ（ｚ）在口（尼）：Ｉ（ｚ一口）（矗）Ｉ＜尺内Ｋ一解析；（２）在Ｂ（ｋ）内郁ｚ）的一零。４ＹＯ［Ｚｎｌ，（Ｚｎ≠口）收敛于ｏ，贝帜ｚ）在Ｂ（ｋ）内必恒为零。中秋月圆
推论２．２设＿ｆ：（ｚ）∈“Ｄ（ｋ））（扛１、２），Ｄ内有一个收敛于ａ∈Ｄ的点列／驯，（Ｚｎ＃ａ），在其上＾（彳）锹（ｚ）等值，贝眠（ｚ）锨（ｚ）在Ｄ内恒等。
注：①用定理２．５可得推论２．１～２．２的真实性，此两个推论称为Ｋ一解析函数的唯一性定理；②推论中的Ｄ内点列可换ｆｌＪＤ内某一子区域或子弧或实轴（当Ｄ－Ｃ时）结论仍成立。
２．４最大模原理引理２．１若函数八ｚ）在Ｂ（后）：Ｉ（ｆ吆。）（七）Ｉ姐内解析。在Ｉ（ｆ吃。）（丘）Ｉ≤Ｒ上连续，贝岍彳。）＝
（２仃）。１舻以ｚｏ．氓ｅｉｏ（矗。１））棚最叭ｚ）在中一ｂｚ。的值等于它在椭圆周上的值
的算术平值。
证：ＣＲ：Ｉ（ｆ－－Ｚ０）（后）Ｉ－Ｒ，ｆ（｜｜｝）－ｚｏ（ｋ）＝Ｒｅｉ９即净。＋Ｒｅ“（ｋ一）（Ｄ≤ｐ≤２７ｒ）２，髫（忌）＝ｉＲｅ乞９。由Ｋ一积分公式，参变量代换公式…鳅ｚｏ）＝去ｋ岽斋蟛（班去聊ｚ。砒‰’）枷。
引理２．２颧。）在区域Ｄ内Ｋ一解析，下列条件等价：（１）在ＤＰｑｆ（ｚ）－ｃ（ｃ为常数）；（２）在Ｄ内厂（。）（：）兰ｏ；（３职三）Ｉ在Ｄ内为常数；（４）冗砜ｚ）或Ｉ呱ｚ）在Ｄ内为常数。
证：设厂（彳）＝“（名，ｙ）＋ｉｖ（ｘ，Ｙ），其中比（菇，），）＝Ｒ积ｚ）ｖ（ｘ，，，）＝Ｉ积ｚ）。
１）证“（１）ｄ２）”（１）号（２）以彳）毫ｃ显黜（＾）（ｚ）－Ｏ（ｚ∈Ｄ），下证（２）ｊ（１）：Ｉ｛ｔＣ－Ｒ－Ｋ条件‘２３矿（。）（彳）＝叱＋劫。＝ｖ／ｋ－ｉｕ／ｋ＝Ｏ得ｕｘ＝Ｕｙ＝Ｖ。铆，＝Ｄ。由数学分析知Ⅱ（石，ｙ），移（石，），）在Ｄ内为常数，故在Ｄ蝴三）－Ｃ，即（２）ｊ（１）。
２）证“（１）ｄ３）”：ｚ∈Ｄ时以ｚ）；ｃｊ抓ｚ）ｌ三ｒ（ｒ≥ｏ为实常数）显然成立，即有（１）
号（３）。下证（３）ｊ（１）：因贝彳）Ｉ‘＝Ⅱ２抑２＝ｃ２，若ｊ，（ｚ）Ｉ＿ｏ显拟彳）：Ｄ（ｚ∈Ｄ）．若ｃ≠Ｄ，即ｆ仰２＝ｃ２≠Ｄ。瞅ｚ）在Ｄ内Ｋ一解析，上式两边分别对ｘ，磁分：
ｕ
ｕ
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ｖ
ｖ２ｕｕ＋２ｖｖａｌｌ，＋ｔ。Ｖｔｔ旭方程绡有解．驴～
２
２
２
，。一ｏ，，芦把Ｒ麟件得方程组．｛ｕ篆彤刊：ｔｂ
＝
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。＝ｏ，，＝ｏ．由ｃ—Ｒ—Ｋ条件得方程组：｛５，’，、因Ｋ…“ｌ＝ｎ‘切＝ｃ≠ｏ，方程组有解：“，＝Ｈ，
ｌ。ｘ＝ＵＩ尼秽ｕ
＝ｏ』＝坠屹＝ｌｕｙ＝Ｙｘ部，＝ｏ故八ｚ）三ｃ（彳ｅＤ）。
３）证“（１）ｄ４）”：显然（１）号（４）。下证（４）等（１）：区ｔｕ（ｘ，），）兰Ｍ。（或ｖ（ｘ，ｙ）兰影。）（ｚ∈Ｄ），由Ｃ—Ｒ—Ｋ条件：得叱一，刮，刮，＂－０，姒ｚ）兰ｃ（ｚ∈Ｄ）。
总第６４期自然科掌大理学院学报
定理２．６（最大模原理）设函数反：）在区域Ｄ内Ｋ一解析，则抓ｚ）Ｉ在Ｄ内任何点都不能达到最大值。除非Ｄ内
“ｚ）兰Ｃ。
证由条件了Ｍ＞Ｏ，贝石）Ｉ≤肘，（ｚ∈Ｄ），假设了二。∈Ｄ有抓乃）ｌ划，任作ｊＢ（％，Ｒ）（Ｊ｜｝）ＣＤ，边界Ｇ：（ｚ吆。）（｜｜｝）＝尺Ｐ／ａ（ｏ≤ｐ≤２７ｒ），由引理２．】抓％）：（２７ｒ）－１肌彳ｏ＋Ｒｅ“（ｋ＿１））瑚即Ｍ：抓％）ｌ≤（２７ｒ）－１伊』，（三。＋尺ｅ／Ｂ（后一））ｌａＯ。而抓ｚ０＋
Ｒｅｉ８（ｋ－１））Ｉ≤肘则必有抓ｚ。＋Ｒｅｉ８（Ｉｊ｝一））Ｉ－Ｍ（ｏ≤口≤２仃）（反证法）。由尺的任意性得以ｚ）在日（Ｚ＂０Ｒ）（Ｊ｜｝）ｃＤ内恒有ｊ，（ｚ）ｌ三Ｍ。由引理２及唯一性定理鳅ｚ）－ｃ（ｃ为常数），故厂（ｚ）在Ｄ内为常数。
推论２．３若（１狄ｚ）在有界区域Ｄ内Ｋ一解析，在历＝Ｄ＋加上连续；（２ｍ＞Ｄ，妖ｚ）ｌ≤Ｍ，（ｚ∈历），则刚ｚ）为常数外，以ｚ）ｔｏｔ，（ｚ∈Ｄ）。
证明：假设满足条件的函数八名）－≠Ｃ（ｚ∈Ｄ，Ｃ为常数）且存桠。∈Ｄ使以彳。）Ｉ．肘，但由定理２．６妖％）Ｉ≠肘，形成矛盾。故Ｊ八彳）Ｉ＜Ｍ，（：∈Ｄ
３结束语
在前面１至２部分，我们对Ｋ一解析函数的幂级数展开式及其零点的孤立性与唯一性定理、最大模原理进行了研究，因ｋ＝±１时，Ｋ一解析函数ｃ３分别为解析函数（６）与共轭解析函数ｉ７－ｓ）。
即解析与共轭解析函数都是Ｋ一解析函数的特殊情况。因此以上所得结论包含了解析函数与共轭解析函数中的相应结论。
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（责任编辑蒋康）
车轮为什么是圆的K-解析函数的幂级数展开式嗨
作者：张建元， 张毅敏， 刘承萍， 姜锐武， Zhang Jianyuan， Zhang Yimin， Liu Chengping ， Jiang Ruiwu
作者单位：昭通师范高等专科学校数学系，云南昭通,657000
刊名：
大理学院学报
英文刊名：JOURNAL OF DALI UNIVERSITY
年，卷(期)：2009，8(4)
被引用次数：0次
1.张建元复变函数的K-积分[期刊论文]-云南师范大学学报(自然科学版) 2009(01)
2.张建元K-解析函数及其存在的条件[期刊论文]-云南民族大学学报(自然科学版) 2007(04)
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8.张建元共轭解析函数的Riemann边值问题 1996(03)
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