Gδ集和Fσ集
l8高等函授1994年第5期
G集和F集
何
开集与闭集作为开区间与闭区问的推
广，是直线上最基本的集合类型.直线上还有
更多的集合不是开集或闭集，这自然促使我
折垃圾桶们用这些最基本的集合去表示或构造其它的
集合，由此得到Borel集的概念.在Borel集
合簇中,G集和集是最基本，最重要的两
类集合.为了说明这点，以下除了介绍G集,
F集的一些重要性质外，还要介绍G集,F
集在弄清一般的Lebesge可测集结构中起
到的重要作厢，以及如何用G集,F集讨论
实函数的分析性质，例如可测性，连续性与可
微性等等.
1.G集，集
定义设ECSR，如果是可数个闭集
的并集，则称曰为F集，如果E是可数个开
集的交集，则称E是集.
由定义容易得到G集,F集的如下简
单性质:
(1)有限个或可数个G集的交集是G
集,
(2)有限个或可数个F集的并集是F
集,
(3)若E是G集，则E的余集曰是
F集；若E是F集，则.~Cd/E是G集.
例l开集是G集.闭集是集.
证设是开集，记G.一E(『i≥1)，则E
—
nG.，所以是G集.类似可证闭集是'
-l
集.
例2直线上的可数点集是F集.
证设E足可数集.ECR,
则E一{l,2.…,,…)耳毒性
...E—U{n.)，由于直线上的有限点集是
闭集，故每个单点集{o.}(n≥1)是闭集，从而E是集.
例3无理数集是G集.
证记为有理数集.则无理数集为R
一
Q三，因Q是可数集，故由例2,Q为
集，从而，由简单性质(3),Q是G集.
例d设{,.(z))是定义在R上的连续
函数列，证明点集
{z;1im,.(z)>0}
o
是F集.
证因,.(z)在上连续(n≥1)，故
V∈R,E[z:,.(z)≥"]是闭集(n≥1).为
证点集{z:,.(z)>O是集，我们先证
一∞品牌评估
{z:lim,.()>0)一UUNE[z:,()
…t—I.V—l-一N
1
≥÷]……(*)
事实上，若z∈右边，则jo,
∞∞1
使z∈UNE:,.(z)≥]
翻译英文怎么说
.
'
.jⅣ0,
使z∈NE:,(z)≥÷]
此表明，当n≥Ⅳ.时?,-(z)≥,
因此,.
,
.(z)≥'>0
…0^0
...z∈左边.
反之，若∈左边，则,.()>0，记" :,(z)，则j.≥l，使>；去，取s.一专∞. u一
(a--忐)，则至多有有限个n,
使,.()≤"一￡o
(否贝0,j{,..(z))c{,.(z)).
高等函授1994年第5期l9 使,.』(z)≤一80
那么,U~---.,.(z)≤,.,(z)≤一80<, 矛盾)
.
'
.
jⅣ≥l，当≥N时,
,.(z)>；一e.=丢(+)
亲密的反义词
>；丢(+ko)一1
.
'
.
z∈nz:,.(z)≥].
■曩'v0
从而z∈UUn[z:,.(z)≥÷]±IⅣ一l^=
因此,{z:ljm,.(z)>0)
…1
一
UUn[z:,.(z)≥÷]
再证{z:limf.(z)>0)是集，事实上,
因,.(z)连续(≥1)故对每个,[z:,.(z)
≥÷]是闭集(≥1)，由闭集的性质,n [:,.(z)≥÷]是闭集，从而Unf:,.'v—
h=V
(z)≥÷]是'集(≥1)，再由F集的简单
性质(2).
UUn刀[z:,(z)≥÷]l—l—l^一N
是F集，再由(*)式,{z:lira,.()>0)是
集.
军语
B8打e定理设c是集,
即一U
F(>1)是闭集，苦每个皆无内点，则汉蒙翻译
也无内点.
证(反证)若刀有内点，设为zo，则
￡;o>0，使闭邻域B(zo,6o)一{z;Jz—zoJ ≤.)cF，因没有内点，故]zEB(z0,
0)，且z'.，又因是闭集，故](O<
l<1)，使
(z,)n一j2『
同时有(zl,1)CB(z0,6o)，再从一B(z51)
出发类似的讨论用于:，则可得B(zz,z)n
F：一，同时有
鹿鸣岛
B(z2,2)C二B(l,6I)
1
此处可要求o<r5:<；寺，如此继续做下去，可
得点列{z)与正数列{fj，使得对每个自然
数
B(z±,±)C二B(}一I,r;±一1)
且B(z,)n一,
1
其中o<<÷,
由于当z>；时,z∈B(z5),
1
故lz一z!<<÷
即{z)是柯西列(基本列).从而{z)收敛.
记z=liraz，则对每个自然数j::
Iz—z.I≤lz—,i+Iz一zl
<l—zI+(1>)
令z一∞，则{z—I≤.这说明zEB(z,
fj)，从而zF(≥1).因此,，但这与
∈B(±,f5I)C二B(±一l,f;I—1)C二…C二疗(0.,,0) CE矛盾，故无内点.
例5证明中的可数稠密集不是G
集.
证设是中的可数稠密集，则
—
