相机标定（Cameracalibration）Matlab——棋盘格标定原理，
流程
计算机视觉----相机标定
相机标定概念：图像测量过程以及计算器视觉中，为确定空间物体某点的三维⼏何关系位置与其在图像中对应点之间的相互关系，必须建⽴相机成像的⼏何模型，模型的参数就是相机的参数。求解参数的过程称为相机标定
开源代码参考
火烧赤壁
龟汁狗肉–Intel’s OpenCV library:
–Matlab version by Jean-Yves Bouget:
–Zhengyou Zhang’s web site:垃圾分类日记
实验步骤：
1.打印⼀张棋盘格A4纸张（⿊⽩间距已知），并贴在⼀个平板上
2.针对棋盘格拍摄若⼲张图⽚（⼀般10-20张）
3.在图⽚中检测特征点（Harris特征）
4.利⽤解析解估算⽅法计算出5个内部参数，以及6个外部参数
5.根据极⼤似然估计策略，设计优化⽬标并实现参数的refinement
相机成像过程涉及坐标变换
包含世界坐标系(Xw,Yw,Zw)，相机坐标(Xc,Yc,Zc)，平⾯坐标(x,y)，像素坐标（u,v）.
1.1图像坐标系
坐标系中，每个像素坐标都是像素来表⽰的，但是像素表⽰不能反映图像中的物理尺⼨，所以把像素坐标转换为图像坐标。像素坐标系的原点平移到图像的中⼼，就定为坐标系的原点，图像坐标系x，y分别与像素坐标系的u，v轴平⾏，⽅向相同。相机中感光器件每个像素物理尺⼨dx*dy，则图像坐标系中的坐标（x,y）与像素坐标系中的坐标（u,v）之间的关系可以表⽰为：
改写成其次矩阵形式为：
1.2相机坐标系
相机坐标系以相机的光轴作为z轴，光现在相机的光学系统中⼼位置就是原点Oc，相机坐标系Xc，Yc分别于图像坐标系X，Y轴平⾏。相机坐标原点与图像坐标系的原点之间距离OcOf之间的距离f，即焦距。
相机坐标系 ⽴体⼏何坐标系
由图中的⼏何关系能够得到：
1.3世界坐标系
世界坐标系图像与真实物体之间的映射关系。也就是真实物体尺⼨与图像尺⼨的映射关系。相机坐标系到世界坐标系的变换公式为：
其中R=RxRyRz,T=[tx ty tz]T，分别是旋转矩阵和平移矩阵。
相机的内参和外参
水墨大埝
外参：摄像机的旋转平移属于外参，⽤于描述相机在静态场景下相机的运动，或者在相机固定时，运动物体的刚性运动。因此，在图像拼接或者三维重建中，就需要使⽤外参来求⼏幅图像之间的相对运
动，从⽽将其注册到同⼀个坐标系下⾯来.
内参：下⾯给出了内参矩阵，需要注意的是，真实的镜头还会有径向和切向畸变，⽽这些畸变是属于相机的内参的。由前⾯步骤得到像素坐标系到世界坐标系映射关系：
即：
其中，fx=f/dx,fy=f/dy,f是相机的焦距。RT是外参，矩阵K是内参，包含5个未知数，标定的时候，如果物体距离相机不同位置，那么我们必须在不同位置对相机坐标定。简单理解就是当物体离相机近的时候成像效果⼤，实际代表尺⼨就⼩。因此每⼀个位置都要去标定。
图像的畸变以及矫正
汽车的英语
2.1径向畸变：
透镜作为中⼼的原点，往外是透镜的半径⽅向，光线越靠近中⼼位置，畸变越⼩。径向畸变矫正公式：
（x,y）是理想⽆畸变的坐标
2.2切向畸变
镜⾯与成像平⾯不平⾏，就产⽣畸变。类似于透视变换。矫正公式：
作⽤于真实图像后的矫正模型
畸变就是距离的变化，⽽距离的变化反应到坐标值上就是加减的关系。
相机的标定原理与⽅法
在图像测量过程以及机器视觉应⽤中，为确定空间物体表⾯某点的三维⼏何位置与其在图像中对应点之间的相互关系，必须建⽴相机成像的⼏何模型，这些⼏何模型参数就是相机参数。在⼤多数条件下这些参数必须通过实验与计算才能得到，这个求解参数的过程就称之为相机标定（或摄像机标定）本实验采⽤张正友标定法对相机进⾏标定。在张⽒标定中⽤于标定的棋盘格是三维场景中的⼀个平⾯，成像平⾯的像是另⼀个平⾯。知道了这两个对应点的坐标，就可以求解得到两个平⾯的单应性矩阵H..其中，标定棋盘是特质的，交点坐标是已知的，通过⾓点的提取算法得到，这样就可以得到棋盘平⾯和图像平⾯的单应性矩阵H。通过上⾯的相机模型，令
H是成像平⾯和标定棋盘格之间的单应性矩阵，通过对应点解的H后，可以通过上⾯的等式得到相机内参数K，以及外参旋转矩阵R和平移向量t。假设棋盘格所在的平⾯为世界坐标Z=0的平⾯，这样的棋盘格任意⼀点P的世界坐标为（X,Y,0）。所以第三⾏r3的数据可以被省略。↓
由于每个单应性⽅程能提供两个⽅程，内参数矩阵包含5个⽅程，要求解⾄少需要3个单应性矩阵，使⽤⾄少三幅棋盘格对图⽚进⾏标定，改变相机与标定板之间的相对位置来得到三个不同的图⽚，通过图像得到关于内参数的两个等式，令
对称B是⼀个对称矩阵，未知量只有6个，将6个未知量写成向量的形式
令hi为单应性矩阵的第i个⾏向量，则有：
故：
结合上⾯两式重写矩阵可以推导出：
上⾯是取得约束的约束等式，假如n幅图像，则V是2n×6“的矩阵。Vb=0最后，使⽤SVD求解最⼩⼆乘，得到相机的各个内参数
以及外参数。
注意: 当观测平⾯ n ≥ 3 时，可以得到b的唯⼀解
当 n = 2时, ⼀般可令畸变参数γ = 0
肺火大
当 n = 1时, 仅能估算出α 与 β, 此时⼀般可假定像主点坐标 u0 与 v0 为0实验结果?：
两个照⽚：
地道酬善
发现出现了虚数，没有得到唯⼀解
⽤三个：
四个：
五个：（得到的结果越来越精确）
消除径向畸变
张⽒标定法只关注了较⼤的径向畸变，设（u，v）是理想⽆畸变的像素坐标，
是畸变后的像素坐标，使⽤下⾯式⼦表⽰径向畸变：
K1,K2分别表⽰径向畸变的系数，径向畸变的中⼼和相机中⼼是在相同的位置。
铅笔手绘
假设y=0，则有：
和上⾯类似，利⽤最⼤似然估计取得最优解，利⽤LM的⽅法估计使得下⾯式⼦是最⼩值的参数值
得到畸变参数之后，现将图像进⾏去畸变处理。然后⽤去畸变后图像坐标估计相机的内参数
数据采集，（12张图） 确定⾓点范围
⾓点提取 :
