第53卷第2期2021年4月
Vol.53No.2
Apr.2021南京航空航天大学学报
Journal of Nanjing University of Aeronautics&Astronautics
降雨条件下飞机尾涡演化数值模拟研究
周金鑫1，陈迎春1,2，李栋1，张泽宇1，潘卫军3
（1.西北工业大学航空学院，西安710072；2.中国商用飞机有限责任公司，上海200126；
3.中国民航飞行学院空中交通管理学院，广汉618307）
摘要：降雨作为一种气象条件，与飞机尾涡相互作用，改变自身与尾涡的动力学特性。高强度的尾涡导致后机难以着陆、复飞甚至坠机等后果，因此尾涡的演化进程对评估后机的飞行安全有重要意义。为了分析尾涡与降雨的相互干扰，基于欧拉⁃欧拉多相流模型，研究了降雨条件下的尾涡演化特性。对于多相流模型中的空气相模拟，采用大涡模拟湍流模型，雨相通过两个标量方程控制其动力学输运，两相间的
耦合利用动量源项实现能量的传递。分析了降雨对环量、涡量和涡核附近速度分布、下沉速度等尾涡演化特征量的影响。结果表明：降雨加速了环量的衰减，减小了涡心最大涡量，使速度分布趋于平滑，改变了尾涡下沉规律。另外，尾涡也影响了雨滴的下降轨迹和浓度分布。
关键词：飞机尾涡；降雨条件；多相流；数值模拟；尾涡演化
中图分类号：V211文献标志码：A文章编号：1005⁃2615（2021）02⁃0320⁃09
Numerical Simulation of Aircraft Wake Vortices in Rainy Conditions
ZHOU Jinxin1，CHEN Yingchun1，2，LI Dong1，ZHANG Zeyu1，PAN Weijun3
（1.School of Aeronautics，Northwest Polytechnical University，Xi’an710072，China；95年多大
2.Commercial Aircraft Corporation of China Ltd，Shanghai200126，China；
3.Department of Air traffic Management，Civil Aviation Flight University of China，Guanghan618307，China）
Abstract:The interaction between rainfall and aircraft wake vortices changes their dynamic characteri
stics，and the dynamic evolution of wake vortices，which has an important impact on the safety of wake encounters. Aiming at the interaction between wake vortices and rainfall，this study investigates the evolution characteristics of wake vortices in rainy conditions bad on the Euler-Euler multipha flow model.For the air pha simulation in the multipha flow model，the large eddy simulation turbulence model is ud.The dynamic transport of rain pha is controlled by two scalar equations.The two phas are coupled through the momentum source term to realize the energy transfer.The influence of rainfall rate on the evolution characteristics of wake vortices，such as circulation，vorticity，velocity distribution near the vortex core and sinking velocity，is analyzed.The results show that rainfall accelerates the decay of the circulation，reduces the maximum vorticity of the vortex core，smooths the velocity distribution，and affects the descent process of wake vortices.In addition，the prence of wake vortices also affects the trajectory and concentration distribution of rain.
Key words:aircraft wake vortex；rainy condition；multipha flow；numerical simulation；evolution of wake vortices
DOI：10.16356/j.1005⁃2615.2021.02.021
基金项目：国家自然科学基金（U1733203）资助项目。
收稿日期：2020⁃08⁃31；修订日期：2021⁃03⁃19
通信作者：李栋，男，教授，博士生导师，E-mail：*************。
引用格式：周金鑫，陈迎春，李栋，等.降雨条件下飞机尾涡演化数值模拟研究［J］.南京航空航天大学学报，2021，53（2）：320⁃328.ZHOU Jinxin，CHEN Yingchun，LI Dong，et al.Numerical simulation of aircraft wake vortices in rainy condi⁃tions［J］.Journal of Nanjing University of Aeronautics&Astronautics，2021，53（2）：320⁃328.
第2期周金鑫，等：降雨条件下飞机尾涡演化数值模拟研究
尾涡是飞机产生升力的副产品，是一对反向旋转的涡流。当后机遭遇前机的高强度尾涡时，会对其飞行姿态产生不可忽视的影响，如发生滚转，使其无法改出，这对处在起飞和降落阶段的后机来说是致命的。因此，尾流影响着机场容量与进近阶段的飞行安全[1]。国际民航组织规定了相对保守的尾流间隔，其制定依据主要是基于常见的气象条件对尾涡演化的影响规律，如中等或较弱强度的大气湍流和温度分层等干净大气条件。为了缩减尾流间隔，数值模拟方法被应用到尾涡演化的研究中，Gerz等[2]在不同的速度分量方向采用不同的能谱来初始化湍流场，通过更换计算域尺寸及网格尺寸的方法来研究尾涡演化过程。Hennemann等[3]基于大涡模拟结果提出尾涡变形与大气湍流等级和温度分层有关，也受到涡对的下降速度和涡核半径的影响，改变涡核尺寸直接影响尾涡强度的演化。Han等[4]通
过添加人工外部力的方法产生湍流初始场，并在此基础上研究尾涡的演化过程。林孟达等[5]采用自适应网格，基于大涡模拟研究了不同大气湍流强度和温度分层下的尾涡演变规律。可见，大气湍流和温度分层对尾涡演化有重要影响。然而，对于降雨等特殊的气象条件在尾涡演化中起到的作用，国内外的相关研究较少。
目前，考虑降雨条件的尾涡研究，主要通过对尾涡场中雨滴的雷达观测或模拟来反演和监控尾涡的强度和位置。Barbaresco等[6]利用高分辨雷达观测了降雨率分别为1、5、20mm/h进近阶段的飞机尾涡，得到了尾涡的多普勒谱宽。Schneider等[7]建立了尾涡反演的经验模型，利用雷达扫描得到雨滴多普勒频谱反演了尾涡的环量。但由于分辨率的限制，雷达观测只能的获得尾涡宏观的速度和位置信息，无法捕捉降雨条件下尾涡的演化细节。在国内的研究中，国防科技大学在研究雨雾天气的尾流雷达信号模拟方面做了很多工作，如Li等[8]对尾涡附近雨滴的速度和加速度进行了估计，提出了一种基于垂直指向雷达环量反演方法来监控尾涡；屈龙海[9]研究中建立了雨滴运动方程并忽略其对尾涡的影响，基于二维尾涡速度场实时更新雨滴的位置信息，通过对尾涡雷达信号模拟来研究其强度。然而，雨滴与尾涡运动是耦合的，两者存在动力学上的相互作用，雨滴对尾涡演化存在一定程度的影响，在计算中不可简单地忽略。因此，为了相对准确地捕捉降雨条件下尾涡的演化规律，雨滴与尾涡的相互作用需要予以考虑，这无论对补充特殊气象条件下尾流间隔数据，还是为尾涡的雷达观测提供理论支持都有实际意义。
本文引入了多相流模型，通过添加空气相与雨相之间拖拽力考虑了尾涡与降雨的相互作用，利用数值模拟方法研究了不同降雨强度条件下，尾涡演化过程中环量、涡量和涡核附近速度分布和下沉速度等特征量演变规律，也分析了尾涡对雨滴的分布浓度及运动轨迹的影响。
1控制方程
实际中，空气中的雨滴或雾滴是以离散的形式存在，而采用欧拉多相流方法，各相被假设为连续介质且是相互渗透的，因此体积分数将作为待求解未知量出现在控制方程中。欧拉方法中的各流动相的输运需要满足连续性和动量方程，不同相的耦合作用通过施加相间拖拽力实现。
1.1空气相方程
怀孕白带褐色对于空气相，也就是尾涡流场的求解采用大涡模拟，并使用动态亚格子模型封闭方程组，相间的拖拽力通过在动量方程中添加源相体现。控制方程为
∂u j
∂x j=0(1)ρ
∂u i
∂t+ρu j
∂u i
∂x j=-
∂p
∂x i+μ
∂
∂x j
(∂u i
∂x j
)-∂τij
∂x j-S
(2)式中x j（j=1,2,3）表示飞行方向、展向和垂直方向；u i表示3个方向的速度分量；ρ,p,μ分别表示密度，压力和动力黏度；τij=-u i-u j-----u i u j为亚格子应力。S为空气相与雨相间拖拽力源相，其表达式为S=ρr a r
18μC D Re
24ρr D2(u i-u r)(3)式中：下标r表示雨相；a、D和Re分别表示雨相体积分数、雨滴直径、相对雷诺数。需要说明的是，在实际降雨条件下，雨滴包含丰富的长度尺度，直径主要介于0.01~6mm之间，大致呈高斯分布[10]，本文取其平均数0.5mm。C D为阻力系数，模拟雨滴在空气中运动时受到的阻力效应，其值为
C D=24Re exp(-0.1F N+0.201F2N-0.03537F3N+
0.002537F4N)(4)式中F N=log(1+Re)。在动量方程的时间项和对流项中没有出现空气相的体积分数，这是由于雨滴相对空气的体积占比很小，为了简化方程，不考虑其对动量输运的影响。
1.2雨相方程
对于雨相的模拟，通过ANSYS Fluent UDF 添加两个标量输运方程求解
321
第53卷
南京航空航天大学学报∂a r ρr ∂t +∂(a r ρr u rj )
∂x j
=0(5)∂a r ρr u ri ∂t +∂(a r ρr u ri u rj )∂x j
=-a r ρr g +S (6)
式中，a r ρr 整体可看作为有效密度，g 为重力加速
度，也就是说源相考虑相间拖拽力和重力的影响。此欧拉多相流模型也被Huang 等[11]的风驱雨研究中所采用，其结果与Blocken 等[12]的现场测量数据吻合良好。
2
初始和边界条件
2.1
尾涡模型
根据椭圆翼假设，前机的初始环量为
Γ0=
4Mg πρVB ,b 0=π
4
B (7)
式中：Mg 为飞机重力，V 为飞行速度，B 为翼展。尾涡初始流场采用Burnham⁃Hallock 涡模型模拟，单涡流场的切向速度由初始环量Γ0、涡核半径r c 和到涡心距离r 决定，其表达式为
v θ(r )=
Γ02πr
r 2+r c 2
(8)人到中年的感悟经典句
选取中型机的尾涡作为研究对象，设尾涡参数为初始环量Γ0=200m 2/s ，涡核间距b 0=26.7m ，涡核半径r c0=0.11b 0=3m ，尾涡初始下降速度w 0=Γ0/(2πb 0)=1.19m/s ，特征时间t 0=b 0/w 0=22.4s 。将左右两个以涡核为中心的涡场叠加可得到前机尾涡速度场，如图1所示。
2.2大气湍流场
大气湍流强度对尾涡耗散进程有重要影响，因
此在降雨条件下也应予以考虑。将尾涡速度场与大气湍流场叠加作为空气相的初始条件。
初始大气湍流场可看作均匀各向同性，采用Rogallo 提出的速度场构造方法[13]。在本文中，设
大气湍流满足的目标能谱为文献[14]提出的修正的冯卡门能谱
E (k )=A 2/3K
k e (k /k e )4[1+(k /k e )2]
17/6
exp [-2(k /k kol )2](9)
式中：k e 为波峰波数，取为(2π/100)m -1；k kol =(ε/ν3)1/4为Kolmogorov 波数。参数A 与K 的乘积
由以下关系式确定。
2ν
∫
∞k 2E (k )d k =ε
大气湍流场在边长为256m 的立方体网格上生成，3个方向的网格数均为256，网格尺寸1m 。网格能分辨的最大波数为（2π/256）m -1，能分辨的
最小波数为πm -1，本文目标能谱的惯性子区被包含在区间[2π/256，π]m -1中，说明大气湍流场的计算域的边长与网格尺寸选择合理。首先在谱空间构造初始大气湍流场，谱空间速度分布为
u (k )=
1
k
k 21+k 2
2æèçççö
ø
÷÷品德英语
÷α(k )kk 2+β(k )k 1k 3β(k )k 2k -β(k )kk 1-β(k )(k 21+k 22)(10)式中：α(
k exp (i θ1)cos ϕβ(
k ⋅exp (i θ2)sin ϕ，θ1，θ2和ϕ为[0，2π]之间服从均匀概率
密度分布的随机数。再通过傅里叶变换，将谱空间速度场转换为物理空间速度场
儒家十三经
u (x )=
∑k 1
∑k 2
请原谅我
∑k 3
u (k )exp (i k ⋅x )
(11)
当波数处于能谱惯性子区时，均匀各向同性湍流特性只由唯一参数湍动能耗散率ε决定，为了能与其他研究结果进行对比，将其量纲为一后ε∗=(εb 0)1/3/w 0。大气湍流速度场生成后，将其插值到
尾涡计算域上。本文选取湍动能耗散率ε*=0.05来表示中等强度湍流
（能谱如图2所示），作为降雨条件下尾涡演化的背景大气环境。
图1
初始切向速度v θ分布
Fig.1
Profile
党委信息工作of initial tangential velocity v θ
图2
ε∗=0.05大气湍流初始能谱
Fig.2
Energy spectrum of ambient turbulence for ε*=0.05
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第2期周金鑫，等：降雨条件下飞机尾涡演化数值模拟研究2.3雨相初始与边界条件
雨滴在下降过程中，受到自身重力和空气阻力
的作用，当下落雨滴速度增加到一定水平时，重力
与阻力平衡，这时雨滴可认为是匀速运动。对于本
文给定的雨滴直径D=0.5mm，其最终速度可由
以下经验公式计算[15]。
v r=-4.323(D-0.03)
u r=w r=0
(12)
将此作为雨相的速度初始值。
雨相的初始体积分数由以下公式计算。
a=Rf
v r
(13)
式中：R为降雨率，本文取3个等级的降雨强度，分
别为R=0，5，10mm/h；f为某一直径的雨滴占总雨滴数的比例，由于本文选取了雨滴直径均数，故f=1。
选取计算域尺寸L x×L y×L z=8.5b0×8.3b0×12.4b0，其中x，y和z分别表示飞行方向、展向和垂直方向。3个方向的网格尺寸均为∆=0.5m，涡核半径与网格尺寸的比值r c0/Δ=6。需要注意的是，由于大气湍流场的生成网格与尾涡演化计算网格的尺寸不同，需将前者的速度场插值到后者的网格上。由于
尾涡演化中会产生Crow不稳定性变形，其变形波长约为8b0，因此飞行方向尺寸8.5b0是足够的。对于空气相，计算域的顶部和底部采用零梯度边界条件，即∂(u,v,w)/∂z=0，其他边界采用周期边界条件。而雨相的上边界给定速度入口，其值为前文的雨滴最终速度，下边界为零梯度边界，即∂(u r,v r,w r)/∂z=0，其他边界与空气相相同。空间和时间离散分别采用中心差分格式和二阶迎风格式，计算时间步长取0.01s，保证CFL（Cou⁃rant number）数小于0.5。
3降雨条件下的尾涡演化分析
为了分析网格对尾涡耗散的影响，设计了5个不同网格尺寸的二维大涡模拟算例，主要考察尾涡的切向速度对网格的敏感性。5个算例的涡核半径内包含的网格数分别为r c0/Δ=2.5，5，6，10和12，其中r c0/Δ=6为本文研究降雨条件尾涡演化的网格分辨率。图3显示了t*=1时刻尾涡的切向速度分布。可以看到，网格分辨率r c0/Δ=2.5产生很大的数值耗散，切向速度峰值下降到了初值的57%。网格分辨率r c0/Δ=6的峰值为0.95，而当网格尺寸进一步减小时，网格数值耗散不再明显下降，说明本文采用的网格分辨率足够，同时也没有过度的提高计算成本。
在干净大气中，尾涡的演化与耗散可分为两个
阶段[16]，在尾涡形成与发展的初期，其强度的衰减较慢，尾涡基本处在直涡或微小变形阶段，而在其发展的第2阶段，尾涡由于Crow长波不稳定性出现严重的变形，其强度也迅速减弱，直涡逐渐发展
为涡环。
本文首先计算了无降雨条件（即R=0mm/h）的尾涡演化情况。在计算中，包含雨相的两个方程（式（5）和（6）），但给定一个极小的雨相体积分数a r。虽然此时是无降雨情况，但这里如果不考虑雨相方程，只计算空气相的大涡模拟方程，或是给定雨相体积分数为0，是无法评估文本多相流方程的合理性的。本文计算了3个不同大气湍流度、R= 0mm/h条件下尾涡演化情况，图4显示了中等强度（ε*=0.05）和高强度（ε*=0.23）大气湍流下的尾涡结构。
尾涡的环量反应了其强度。这里环量的计算方法是取11个圆面（以涡心为圆心，半径为5~ 15m）涡量的面积分的平均值，积分涡量的方向为前机飞行方向，再用t=0时刻的初始环量对其量纲为一[17]
Γ∗5-15=111∑r=515(∫0rωdA)/Γ0(14)图5为尾涡环量随量纲为一时间（t*=t/t0）的演化，可以看到不同的背景大气湍流强度对初期尾涡耗散速率几乎没有影响，而对尾涡进入快速耗散的时间影响明显，该时间随湍流度的增大而减小。通过与文献[3]基于单相流的尾涡环量演化结果对比，可以看出本文结果与其吻合较好。
为了进一步验证本文结果的可靠性，本文采用了雷达回波模型来计算尾涡中雨滴的回波信号来与雷达观测结果对比，模型表达式为
s(t)=∑k A(k)exp(-j2πD(k)λ)(15)式中t为采样时间，k为雨滴编号，
由于该回波模型图3t*=1时二维算例不同网格分辨率的切线速度Fig.3Tangential velocity of two-dimensional cas under different gird sizes for t*=1
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第53卷
南京航空航天大学学报是基于离散的雨滴回波信号，因此在雨相插入了离散点，并根据雨相速度场进行实时更新。A 为信号幅度，D 为雨滴到雷达的距离，λ为雷达波长。通过对256个原始信号采样点进行傅里叶变换，得到尾涡场中雨滴的多普勒谱，如图6（a ）所示。从图6中可以读出，雨滴的多普勒宽度约为8m/s ，它反映了尾涡的速度范围。图6（b ）为文献中采用X 波段雷达并经过数据处理得到A320尾涡周围雨滴多普勒谱[6]，其中横轴为多普勒速度，纵轴为量纲为一能量，本文只呈现出了其大致趋势，将能量的幅度波动细节忽略。从图6中可以看出，本文结果与现场观测结果的能量幅度值和多普勒速度的范围有区别，这是因为两者的量纲为一和雷达扫描方式
不同，但是两者的多普勒宽度很接近，也就是尾涡的速度范围相近，说明本文方法能对雷达观测有较好的模拟效果，也证明了本文数值模拟方法的可靠性。
对于有降雨的情况（即R =5mm/h 和10mm/h ），本文设定了中等强度的大气湍流条件。图7
为
图6
本文模拟与雷达观测的多普勒谱对比。
Fig.6
Comparison of Doppler spectrum between simulation and radar
measurement
图4
涡量等值面ω=2/s （左：t *=3，中：t *=4，右：t *=5）
Fig.4
错觉Iso⁃surface of vorticity with ω=2/s (left ：t *=3,middle ：t *=4,right ：t
*=5)
图5降雨率R =0mm/h 条件的环量演化Fig.5
Evolution of circulation under R =0mm/h
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