第41卷第6期2o2o年11月
吉首大学学报(自然科学版)
Journal of Jishou University(Natural Sciences Edition)
Vol.41No.6
Nov.2o2o
文章编号：1oo72985(2()2o)()6()()15()6
含参DC复合优化问题值函数的Frechet次微分
科技绘画
肖程凤，胡玲莉
(吉首大学数学与统计学院，湖南吉首4160oo)
摘要：利用次微分相关性质，并引入新的约束规范条件，对含参DC复合优化问题的值函数的Frcchct次微分进行了估计.
关键词:Frcchct次微分；值函数；I)C复合优化问题
中图分类号：()224文献标志码：A DOI：1o.13，138/jki.jdzk.，l
1问题的提出
约束优化问题在最优化理论中占重要地位.许多学者研究了目标函数是凸或DC函数、约束条件是任意多个(可能无限)凸或DC不等式的约束优化问题，得到了相应的Farkas引理、Lagrange对偶及最优性条件等结论16］.
为了刻画非凸约束优化问题的最优性条件和稳定性，通常需要研究值函数广义次微分的性质.设X, y,Z1Z2是Banach空间，C是X X Y上非空凸子集，T是任意(可能无限)指标集，P：X X Y—Z1X Z2是真K-凸映射，f：乙X Z2—=R U{+x}是真凸K-增函数,g,f：X XY—R V t e T是真凸函数.考虑一类特殊的含参DC复合优化问题的值函数，其表达形式为电视怎么搜索频道
“(x)：=inf{(f■p)(x,y)—g(x,y)},(1)
y W F(x)C G(x)
其中几何约束为
F(x)：=y e y：(x,y)e c},(2)不等式约束为
G(x)：={y e Yf t(x,y)C o,e T}.(3)当9为单位算子时，Dinh等［6］在f,g,f,(t e T)是下半连续函数、C是闭集的情况下，通过闭性条件建立了含参DC优化问题值函数的Frechet.次微分的上估计；方东辉等⑺在函数不一定下半连续、集合不一定是闭集的情况下，利用弱于文献［6］中闭性条件的约束规范条件建立了值函数Frechet.次微分的上估计.受这些研究的启发，笔者拟引入新的约束规范条件，建立(1)〜(3)式中定义的值函数的Frechet.次微分的估计式.
2记号与定义
设x*y*z；分别是x YZ1Z2的共轭空间,x＞表示泛函x*e x*在点x e x的值,
“收稿日期：o2o o6o6
基金项目：国家自然科学基金资助项目(11861。33)；湖南省研究生科研创新项目资助(CX2o2o)64)召唤兽歌词
通信作者：胡玲莉(1994—)，女，湖南吉首人，吉首大学数学与统计学院助教，研究生，主要从事最优化理论与方法研究.
16吉首大学学报(自然科学版>第41卷
即<x*x>=x*(x).设Z是X的非空子集，记Z的内部、相对内部、闭包、凸包和凸锥包分别为int.Z,
『i Z cl Z co Z和cone Z.设W是X*的子集cl W表示W的弱*闭集.用B和B*分别表示X和X*上的闭单位球，C U X X Y是凸集K U Z1X Z2是闭凸锥Z1X Z2是K定义的序空间.定义Z】X Z2上的序为：若y_x G_K，则y W k x.非空集合Z的对偶锥和示性函数分别定义为
Z■:={x*G X*：〈x*,x〉$0,V x G Z},
$Z(x)：={0+X G Z，其他.
凸子集D在点J G D的法锥定义为
N(z);D)：={x*G X*:〈x*，—z〉W(),V z G D}.
设T是任意(可能无限)指标集R表示实元数组入=(t>G T的空间，且其中只有有限个儿#0.用
虎滩乐园表示R T>上的非负锥，即
R T：={入t>G T G R T>：t>0,V t G T}.
对于X上的子集族{St：G T}，勺定=X.
设f是X上的广义实值函数，定义f的有效定义域、上图和共轭函数分别为
dom f：={x G X〈f(x)<+X},
epi f：={(x,)G X X R：f(x)W r},
f*(x*):=sup{<x*,x〉一f(x)：x G X }V x*G X*.
显然,pi f*是弱*闭集.当f是凸函数时，f在点x G dom f的次微分定义为
■f(x):={x*G X*:f(x)+〈x*,y_x〉W f(y),V y G X}.
当f(x)#0时，称f在点x次可微.特别地，由法锥定义可知N(Z)=■告z(>V x G Z.一般地，f：=f(x,y)在点(x,y)相应的偏次微分分别表示为■x f(x y)和■y fCx,y).设O U X X Y，点(x,y) G O，则法锥N(x；Z)相应的投影分别为
N X((xy);O)：={x*G X*：3y*G (x*y*)G N((xy);O)},
N y((x y);O)：={y*G Y*：3x*G X*s.t(x*y*)G N((xy);O)}.
设G：X M Y是定义在X上满足G(x)U Y的集值映射，定义G的定义域和图分别为
dom G：={x G X:G(x)#0},
gph G:={(x,y)G X X Y：y G G(x)}.
设函数°：Y f R对于V xy G Y，若当y W x时皿(y)W°(x)则称函数。是K增函数.设函数卩：X f Y，对于V x1,x2G X,G［0,］有
(p(tx1+(1_t)x2)W k Z x1)+(1_t)<p(x2),
则称函数卩是K凸函数.设0：X f R U{士x}是实值延拓函数,x。G dom0且满足/(x。)<+「X 根据文献［8］定义0在点x°的£次微分为
-0(x)一 0(x o)一(x*x一x o〉、
3e0(x0):={x*G X*：lim inf----------------n-------------n----------------上一£}£0.
x*x n II x
_x0II
当x0罕dom0时,0(x0)=0.当£=0时，称0(x0)：=90(x0)为0在点x0的mchet次微分.由0在点x(J的FMchet次微分定义，有
x0)是0的最优解30G90(x0).(4) 3值函数Frdchet次微分估计
设
(f。0)(x,)(fC(p Cx,y))
{+X其他,
(x9y)G dom cp,
第6 期肖程凤，等：含参DC 复合优化问题值函数的Frcchct 次微分17则fy 是真凸函数.用4表示系统｛x y ) G
y ) W0, V t G T ｝的解集，即A ：=｛(x y ) G C ：
ft(xy ) W0,V t G T ｝.定义算子 M ：X M Y 为M (x ) ： = ｛y G F (x ) H G(x )：“(x )= (f ■ p)(x,y )—g(x,y )｝.
梦见买葡萄若无特殊说明，均假设 dom(f ■ p — g ) H A # 0 ,dom M # 0.用 T (x ,y (J )表示点(x (J ,y 0)G X X Y 的 活动指标集 * 即 T (x 0 , y 0) ：= ｛ G T ft (x 0 y 0) = 0｝.定义(x ｛)y 0) G gph M 和 y * G Y * 的 KKT 乘子 集为
A (x (J y 0 y
):=｛G R +T ":y * G U 6(0P )(x 0, y ())十 N y ((x (), y ());C )十
0G f (p (x 0 , y n ))= 心 6y f t (x 0 ,y 0)｝
.
(5)t G T (x 0 * 0为了研究含参DC 复合优化问题的值函数的FCchet 次微分的上估计式，引入以下约束规范条件：定义 1 ( i )设点(x 0 y ) G dom(f ■ p — g ) H A ，若
- ( (■ (f ■ p — g +$A )(x 0,y 0)U H 1 U 1 U 0(0卩)(x 0 ,y 0)— (x *,y *)十x * . y * )GB g (x r|. y n ) V ( P G f ( p (x y 汐)
N((x0 *0);C )十 = 入 t f t (x 0 y ) ] ] ,
(6)
t G T (x 0 * 0 丿丿则称系统｛fpg *C ；f t ：t G T ｝在点5*
0)满足F-(BCQ)条件.
(ii )设点(x 0 ,y 0)G A ，若N ((x 0 , y 0); A ) = N ((x 0 , y 0); C "十 cone( U
■f t (x 0 y 0)),tGT(x 0 - y )
则称系统｛a f t ： G T ｝在点(x 。, y 。)满足(BCQ)条件[9].
(iii )设点(x 0 y ) G A H p —1 (dom f )，若
■ (f o p +$A )(x 0，y 0)= U
灵溪洞■(pp) (x 0 *0)十 N ((x 0，y 0);C )十P G f ( p ( x 0 , y 0 )cone ] U ■九(x 0, y 0) ] ,
(7)l )T<x ”.
丿则称系统f,p ,C ；ft ：t G T ｝在点(x 0*0)满足(CBCQ)条件[0].
引理11 假设存在点(x 0*0)G p T(dom f ) H int A ，使得f 在p (x 0*0 "处连续，或存在点G * y 0 ) G p_' (dom f ) H A ，使得f 在p (0 * *0 )处连续且p 在(x 。，*0 )处连续.若系统P c ft ： G T ｝在点 (x 0* y ”)满足(BCQ)条件*则系统f * p , Scff.t G T ｝在该点满足(CBCQ)条件.
命题1 设(x 0, y 0)G A ，若系统f * p , S c f t :t G T ｝在点(x 0, *0)满足(CBCQ)条件，则系统f * p ,g,8c-,ff.t G T ｝在该点满足 F-(BCQ)条件.
证明 假设系统f p ,c f t ： G T ｝在点 G y )满足(CBCQ)条件，即(7)式成立，则由F-(BCQ) 条件定义可知要证明命题成立，只需证明(6)式成立即可.显然，当g(x 0，y 0)=0或■ff ■ p — g 十 S a ) (x 。* *0 ) = 0 时 *(6)式自动成立.下面假设 g (x 。* *0 ) # 0 ,b(f ° p — g 十 S A ) (x 0 , *0 ) # 0 * p G ■ f ° p — g +S A )(x 。，y 0).由于f ° p +S A 和g 均为凸函数，因此由文献[1]中的定理3. 1可得
p G
H (■(f ° p +S A )(x 0, y 0) — (x *, y *)).
x * - y G g ( x 。. *。)又(7)式成立*故
p G
H f U ( U ■Pp ) (x 。，y 。)一 (x * * y * )十(x *. y *)G g(x 。*0 V
V P G ?f (p (x 0 - y 。))N ((x 0 * y 。)；C )十 = 心f tx
。* y 。)] ] *tGT(x 0 - *。
丿丿于是(6)式成立*结论得证.
由引理1和命题1可得以下推论：
18吉首大学学报(自然科学版)第4 1卷
推论1 假设存在点(x o)y ) e pT (dom f ) Q int 4 ，使得f 在p (x o),y o))处连续，或存在点(x o ,y o)) e pT (dom f ) Q A ，使得f 在p (x o ),y o ))处连续且p 在(x (J ,y (J )处连续•若系统｛c ； f t ： e T ｝在点(x (J , y o )满足(BCQ)条件，则系统｛,,，c f t ： e T ｝在该点满足F-(BCQ)条件.
定理1 若系统｛,,，c f t ： e T ｝在点(x o y o ) e gph M 满足F-(BCQ)条件，则对于V Y > o 有
合“(x o )匚Q
)e g ( x o • y o U 0e f (p (x o ■y o )■x (0p ) ( x o), y o ) — x + N x (( x o , y o ) ; C ) +
U *
入 e A ( x o • y o y )r l E xaf t x f e T (x n • y n )J-
(8)+ y B
证明 若3“(x o)) = 0或g (x o)y ) = 0，结论显然成立.下设3“(x o)) H 0且g (x o),y o)) H 0.任取点(x o), y o)) e gph M Q dom g ,u * e “(x o))和Y > ().由“在点x o)的FCchet 次微分定义可知，存在 n > o 使得
“ (x ) — “ (x o)) 一 U * ,x 一 x o)〉+ Y I x 一 x o)I $ o V x e x o)+ n B . (9)
注意到点(x o ,y ()) e gph M ，则有 “ x o ) = f ( (x o),y ()) ) 一 g (x o ,y ()).对于任意点(x ,y ) e A ，有 “(x ) C f (p (x ,y ) ) — g (x ,y ).结合(9)式可知，对于任意点(x ,y ) e A Q ( (x o + n B ) X Y )，有
f (p (x ,y )) —
g (.x ,y ) 一 f (p(x o ,())) + g (x o),y o)) —〈u * ,x 一 x o 〉+ Y I x 一x o)I $ (). (1()) 定义函数
h ：X X Y — ■为
h (x , y ) ： = f (p (x ,y ) ) — g (x ,y ) —〈u * ,x — x o)〉+ Y I x — x o)I ,
则由(1())式可知
h(x o),y o))C h(x,y ),V(x,y ) e A Q ((x o)+ n B ) X Y ).
由 (4) 式可得
o e 3(h +$A Q (x (.+n By x.Y ) ) (x o ? y o ). (11)
注意到点(x o)y )是集合(x o)+ n B ) X Y 的内点，故该集合的示性函数在点(x o),y o))连续，从而
3(h + 5 a q (呂+凉以丫))(x o),y o)) = ■ (h + g ) (x o), y ()). (12)
根据函数h 的定义和文献［1］中的命题2.2，可得■ (h + $A )(x o),y o)) = 9(f ■ p —g + $a ) (x o),y o)) — (u * ,())+ y B* X {()}.
(13)结合(11)〜(13)式和系统{fpg ,c f t ： e T }在点(x o y )满足F-(BCQ)条件，可得
o e 3(f 。p — g + 5 a ) )x o ,y o)) — (u * ,()) + y B * X {()} U
Q f U ( U ■(0p)(x ：),y o )—
y *)e gx o y ) l a g r T l 0e f p (o y )〉
(u * + x * , y *) + N ((x o , y o) ； C ) +
E A t f t (x o y )丿丿 + y B * X {()}.
t e t ( x o , o >
丿丿注意到对于V t e t ，有
U ■(p ) (x o , y o ) U U 6x (0p) (x o , o ) X U 6y (0p) (x o ,o ),
0 ( p ( x n • y n )) 0 € ■/( p ( x n • y n )) 0 € ■/( p ( x n • y n ))■ft (x o)y ) U B x f t (x o)y ) X ■y ft (x (J y ),
全民摆摊
N ((x o , y o)) ; C ) U N X ((x o , y o)) ; C ) X N y ((x o , y o)) ; C ),
因此对于V(x * , y * ) e g (x o, y o )存在a e R T ，使得
U * e U自己怎么做蛋糕
■工(p ) (x o ,y o )— x *+ N X ((x o , y o)) ; C ) +E ARxft (x o , y 0) + Y B < 0€fpx o y o "$ € T (x n • y n )y * e U ■y (p) (x o ,y ()) + N y ((x 0 y ) ;C ) + E Atdf t (x o), y o)).1 0€f (p (x oi y o "$ e t ( x “ ,o )结合 5) 式可知
第6 期肖程凤，等：含参DC 复合优化问题值函数的Frcchct 次微分19
u * G * A
,)G 9g (x Q .y y
f U 6 (0p)(x 0 y ) — x * + N X ((x 0,y 0);C ) +I B G f ( p ( x 0 . y 0 ) >U f Y J 9f t (x 0,y 0)] + y B * 0 ,
故(8)式成立.证毕.
由定理1可得如下推论：
推论2 设x 。G dom M,y (l 是含参DC 复合优化问题
min (f 。p ) >x 。,y ) — g (x 。,y )
s. t. y G F (x 0 ) A G (x 0)的最优解.若■以x 。) # 0且系统｛f,p ,g ，C ；f t ： G T ｝在点(x 。,。)满足F-(BCQ)条件，则对于 )G 9g(x 。，y 。)和 y > 0，存在 u * G X * 和 J G R (>，使得+ x * G U
(0p )(x 0 ,y 0) + N x ((x 0,y 0);C ) + > X t 9x f t (x 0 ,y 0) +y B *,BGfp(0,0>> t Y ”，”) 15)(14)
V(x * y
u *G U
(p)(x 0 ,0)+ NY ((x 0，y 0)；C ) + Y Jt 9y f t (x 0 y 0)."> lGT<x 0 y ” >
1、命题1、推论2和引理1，可得以下结论：
若系统｛f,P ,Sc-,ft ：t G T ｝在点(x 0,y 0)G gph M 满足(CBCQ)条件，则对于 V y >0, (8)
由定理推论3
式成立.推论4
2,ft ： G X * 和 J G 推论5t G T }在点(x 0 , y 0设x 0 G dom M ,y 0是含参DC 复合优化问题(14)的最优解.若(x 0) # 0且系统f ,p , T ｝在点(x (), y ())满足(CBCQ)条件，则对于 V(x * , y *) G 3g(x () , y ())和 Y > 0 ，存在 u * G ，使得(15)式成立.
设(x 。，y 。) G gph M d p -1 (dom f ) A int 4 .若函数 f 在 p (x 。，y 。)处连续，系统｛Scift ：
)满足(BCQ)条件，且■ (f o p +S 4)(x 0, y 0) = U
■((p )(x 0, y 0)+N ((x 0, y 0);4),
B G fp (x n y n )>则对于V y > 0, (8)式成立.
注1 令p 为单位算子，则(1)式可以转化为文献［7］中的值函数，即
“(x )= inf {f(x,y ) —g(x,y )}.
y G F(x ) A G(x >此时，本研究中的F (BCQ)条件转化为文献［7］中的F (BCQ)条件，即
A f U ［((x 。，。)- (x *,y *) +
> G 9g ( x 0 , 0> \ A G >
\■ ( _ g + 几)(x 。，y 。)U y N((x 0 y ) ;C ) + Y
J9ft (x 0 y ) ] ] •
Z G T (x n . y > 丿丿由此可知，定理1推广了文献中的结论.
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