“功”的计算立体化复习
（江西省浮梁一中 江西·景德镇 程毓敏 333400）
做功是能量的转化过程，功是能量的转化量度。功的计算在功能关系问题以及在高中物理中占有十分重要的地位，也是高考中重点考查的内容。对于功的计算则没有一个“万能的公式”，在实际问题中应根据不同的情况，相应的采用不同的方法来求解，因此很多学生在处理做功的问题时常常感到困难，不知如何下手。高考复习阶段，可对“功”的计算采用立体化复习，归纳起来，有三种方法：
一、直接利用求功公式计算
1．恒力做功：可用公式W=FScosθ直接计算，其中S为力的作用点对地面的位移，θ为力F和位移S之间的夹角。
例1.一个人通过一个动滑轮用恒力拉动物体A，已知恒力为F，与水平地面夹角为θ，如图，不计绳子的质量和滑轮间的摩擦，当物体A被拉着向右移动了S时，人所做功为（ ）
改造火星A、FS B、2FS
C、FS（1+COSθ） D、无法确定
解析：本例中求“人所做的功”即人用力F作用在绳的端点P所做的功。由图知，当物体A被拉着向右移动了S时，绳端点P的位移S’= EMBED Equation.3 ，力F与S’的夹角为 EMBED Equation.3 ，则力F对绳端点P所做的功为 EMBED Equation.3 ，答案选D.
2. 变力做功转换为恒力做功
2.1对象转换：将变力做功转换为恒力做功，即可应用公式W=FS·cosα求解
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例2. 如图3所示，一个人用恒力F=80牛拉绳子的C端，绳子跨过光滑的定滑轮将一个静止的物体由位置A拉到位置B，图中H=2.0m，求此过程中拉力对物体做的功。
解析： 物体在运动过程中，绳作用在物体上的拉力方向不断变化，属变力做功的问题。如果把力F的作用点C作为做功对象，求绳子拉物体的变力之功便转化为求人拉绳子的恒力之功。
物体由A运动到B的过程中，绳C端位移为：
S=H（1/sin30°-1/sin53°）=1.5m。
2.2过程转换：物体做曲线运动时的变力功问题，可用微元法将曲线化为直线，把变力功问题转化为恒力做功问题。
例3. 如图4所示，磨杆长为L，在杆端施以与杆垂直且大小不变的力F。求杆绕轴转动一周，力F做的功。
解析：磨杆绕轴一周，力的方向始终在变，不能直接用W=FScosα计算。将圆周分成无限个小段，在每一小段弧长可以认为等于对应的弦，且力F的方向不变，可求得元功△W=F·△S，再累加求得杠转一周力F做功W=F·2πL。
2.3转换为平均作用力求功
如作用于物体的力是变力，且该力随物体位移呈线性变化，则可以求出该变力的平均作用力 EMBED Equation.3 ，由 EMBED Equation.3 求功，相当于计算恒力功。
例4．用质量为5kg的均匀铁索从10m深的井中吊起一
质量为20kg的物体，在这个过程中人至少要做多少功?(g取10m/s)
解析：由于拉吊的过程中，铁索的长度逐渐缩短，而其重力不能忽略不计，故人的最小拉力(物体匀速上升时的拉力)也在逐渐减小。由题意可知，该拉力大小与铁索缩短的长度之间的关系为线性关系。
保持健康英语开始拉铁索时，拉力F1=Mg+mg=250N
铁索全部拉完时，拉力F2=Mg=200N
所以人拉力平均值为F=(F1+F2)／2=225N，
力的作用点的位移为10m，
则人拉力做功的最小值W=FS=225×10J=2250J
3.恒定功率做功：
如功率恒定时，用公式 EMBED Equation.3 等效替代变力功，是计算变力功的常见方法。
例5.输出功率保持10kW的起重机起吊质量为500kg的静止重物，当重物升高到2m时，速度达到最大，若g取10m/s，则此过程所用时间为多少?
解析：由P=Fv知：起重机的输出功率恒定时，物体速度增大的同时它所提供的拉力是减小的。所以货物速度V最大时F=mg，故 P=mgv
得v=P／mg=2m／s
从起吊到重物速度达到最大的过程中，只有起重机的拉力和重力对物体做功，拉力为变力，其功率
恒定，故拉力功可由W=Pt替代，根据动能定理
Pt-mgh=mv2／2得：t=1.1s
4.恒定压强做功：
对液体、气体做功，若压强恒定，可用公式 EMBED Equation.3 直接计算
例6.人的心脏每跳一次大约输送8×10-5 m3的血液，正常人血压（可看做心脏输送血液的压强）的平均值为1.5×104 Pa，心跳约每分钟70次．据此估测心脏工作的平均功率约为_____W．
解析：心跳一次，心脏做功 EMBED Equation.3 =1.5×104×8×10-5J=1.2J
则每分钟心脏做功W总=1.2×70=84J
心脏工作的平均功率约为 EMBED Equation.3
5.电场力做功：可用公式 EMBED Equation.3 直接计算，既适用于匀强电场的恒力做功，也适用于非匀强电场的变力做功。
二、利用功能关系计算低碳标语
1.重力做功等于重力势能的减少，即 EMBED Equation.3
例7．如图5所示，链条的总长度为L，总质量为m，开始时链条有 EMBED Equation.3 L在光滑水平桌面上，而 EMBED Equation.3 L长度垂在光滑桌边外．若要把链条的悬挂部分拉回桌面，则至少要克服重力做功_______J
解析：把链条的悬挂部分拉回桌面，则至少要克服重力做功 EMBED Equation.3
2.弹簧弹力做功等于弹性势能的减少。
3.电场力做功等于电势能的减少。
4．除重力（和弹簧弹力）以外的力对物体所做的功，等于物体机械能的增量，
5．一对滑动摩擦力所做功的代数和的绝对值等于摩擦所产生的内能，即 EMBED Equation.3 。
6．磁场中的功和能是通过安培力做功来量度的。
6.1通电导线在磁场中受到安培力的作用而驱动，此时安培力
做正功，能的转化是由电能转化为机械能。
6.2电磁感应现象中，感应电流在磁场中受到的安培力作了多少功就有多少电能产生，而这些电能又通过电流做功转变成其他能，如电阻上产生的焦耳热Q = WA
例8.、如图6所示，倾角θ=300，宽度L=1m的足够长的U形平行光滑金属导轨，导轨电阻不计，固定在磁感强度B=1T的范围充分大的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面斜向上。用平行导轨功率恒为6W的牵引力F牵引一根质量为m=0.2Kg，电阻R=1Ω的金属棒ab由静止沿导轨向上移动，当ab移动S=2.8m时，获得稳定速度，在此过程中金属棒产生的焦耳热为5.8J（不计一切摩擦，g取10m/s2）.问：金属棒从静止达到稳定速度所需的时间是多少？
解析：对导体棒受力分析如图7所示，可知导体棒达到稳定速度时：
EMBED Equation.3
据功能关系，导体棒克服安培力做功:
WA = Q =5.8J
又据动能定理：合外力做的总功等于动能的增量
Pt-mgh-WA= EMBED Equation.3 mv2
解得V=2m/s ，
联立求解得：t=1.5s.
7．所有力做功的代数和（总功）等于物体动能的增量，即（动能定理）。
如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，用动能定理求功是行之有效的。
?例9.质量为m的物体放在水平转台上，它与转台之间的摩擦因数为μ，物体与转轴相距R，物块随转台由静止开始转动。当转速增大到最大时，物体即将在转台上滑动，此时，转台己开始做匀速转动，在这一过程中，摩擦力对物体做的功为（ ）
A.0 B.2πμmgR C.2μmgR D.μmgR/2
解析：很明显，用直接求功法解此题很困难，但由于物体在转速最大时，它做圆周运动的向心力正好是它受到的最大静摩擦力，即有：μmg =mv2／R，可以求出它的最大速度，而整个过程只有静摩擦力对物体做功，故根据动能定理可以求出摩擦力对其做的功：W=mv2／2=μmgR／2。故选D。
例10. 质量为2kg的均匀链条自然堆放在光滑的水平面上，用20N竖直向上的拉力提起此链条，已知整个链条离地瞬间的速度v=7m/s，求拉力F所做功W之值。（取g=10m/s2)
解析： 作用在链条上的拉力虽然是恒力，但链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大，故作用在整个链条上的合力为逐渐减小的变力，链条做变加速运动，难以应用牛顿定律求解。若用功能原理处理运动全过程，则可化难为易。设链长为L，则其重心向上位移H=L/2，根据动能定理， EMBED Equation.3 ，
即 EMBED Equation.3 ①
又由功的定义 W= FL 即L=W/F ②
将式②
代入式①，解得：W= 98J。
小结：利用动能定理可以求变力做功，但不能用功的定义式直接求变力功，并且用动能定理只要求始末状态，不要求中间过程。这是动能定理比牛顿运动定律优越的一个方面。
三、.F-S图像法求功
如果力F随位移x的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标系内画出F-S图象，图象下方与坐标轴所围的“面积”表示功。图象求功具有形象、直观、简捷的特点。
例11. 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，如图8。问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等）
解析：因为阻力 EMBED Equation.2 ，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出 EMBED Equation.2 图象，如图8所示，函数线与x轴所夹阴影部分面积的值等于F对铁钉做的功。
由于两次做功相等，故有： EMBED Equation.2 （面积）
即 EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
小结：一个看似复杂的变力做功问题，用常规方法无从下手，但通过图象变换，就使得解题过程简单、明了。可见，图象法是一个很好的解题方法，值得掌握。
高中物理"功的计算立体化复习"在我们教学中已收到良好的效果，它不仅较好地达到复习能量规律分析物理问题，还能较好地训练学生的思维方法，通过分析、归纳、演绎、渗透、想象、迁移等把握事物的内部联系，培养学生的各种能力。
作者介绍：程毓敏，江西省浮梁一中物理高级教师，
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图2
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图3
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图5纯水
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图6 图7
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图8
图9
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