实数基本定理及闭区间上连续函数性质证明
§1.关于实数的基本定理
一子列定义1在数列EMBEDEquation.DSMT4中，保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列，就称为EMBEDEquation.DSMT4的子列，记为EMBEDEquation.DSMT4。子列的极限和原数列的极限的关系
定理1EMBEDEquation.DSMT4若EMBEDEquation.DSMT4，则EMBEDEquation.DSMT4的任何子列EMBEDEquation.DSMT4都收敛，并且它的极限也等于EMBEDEquation.DSMT4。
注：该定理可用来判别EMBEDEquation.DSMT4不收敛。例：证明EMBEDEquation.DSMT4不收敛。
推论：若对任何EMBEDEquation.DSMT4：EMBEDEquation.DSMT4都有EMBEDEquation.DSMT4收敛，则EMBEDEquation.DSMT4在EMBEDEquation.DSMT4的极限存在。
二上确界和下确界上确界的定义，下确界的定义
定理2非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界。
定理3单调有界数列必收敛.
三区间套定理区间套:设EMBEDEquation.DSMT4是一闭区间序列.若满足条件
ⅰ>对EMBEDEquation.DSMT4,有EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4;
ⅱ>EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4.
则称该闭区间序列为为区间套.
注：区间套是指一个“闭、缩、套”区间列.(都不是).
例：EMBEDEquation.DSMT4和EMBEDEquation.DSMT4都是区间套.但EMBEDEquation.DSMT4
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定理4设EMBEDEquation.DSMT4是一闭区间套.则存在唯一的点EMBEDEquation.DSMT4属于所有的区间。
注：区间套中的任何一个条件去掉，定理一般将不成立。
四致密性定理
定理5任一有界数列必有收敛子列。
推论若EMBEDEquation.DSMT4是一个无界数列，则存在子列EMBEDEquation.DSMT4。
五Cauchy收敛原理
定理6数列EMBEDEquation.DSMT4收敛EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4当EMBEDEquation.DSMT4时，有EMBEDEquation.DSMT4。
注：定理可通过数列本身来判别它收敛还是发散。 李鸿章传读后感
例：设EMBEDEquation.DSMT4，证明EMBEDEquation.DSMT4发散。
例：设EMBEDEquation.DSMT4，证明EMBEDEquation.DSMT4收敛。
关于熊猫的作文 六有限覆盖定理复盖:先介绍区间族EMBEDEquation.DSMT4.
定义(复盖)：设EMBEDEquation.DSMT4是一个数集,EMBEDEquation.DSMT4是区间族.若对EMBEDEquation.DSMT4使得EMBEDEquation.DSMT4,则称区间族EMBEDEquation.DSMT4复盖了EMBEDEquation.DSMT4,或称区间族EMBEDEquation.DSMT4是数集EMBEDEquation.DSMT4的一个复盖.记为EMBEDEquation.DSMT4若每个EMBEDEquation.DSMT4都是开区间，则称区间族EMBEDEquation.DSMT4是开区间族.开区间族常记为EMBEDEquation.DSMT4.
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定义(开复盖)：数集EMBEDEquation.DSMT4的一个开区间族复盖称为EMBEDEquation.DSMT4的一个开复盖,简称为EMBEDEquation.DSMT4的一个复盖.
子复盖、有限复盖、有限子复盖.
例：EMBEDEquation.DSMT4复盖了区间EMBEDEquation.DSMT4,但不能复盖EMBEDEquation.DSMT4。
定理7闭区间EMBEDEquation.DSMT4的任一开复盖必有有限子复盖。
注：在定理的条件中，若EMBEDEquation.DSMT4不是开区间集，或EMBEDEquation.DSMT4为非闭区间，则从EMBEDEquation.DSMT4中就不一定能选出有限个区间来覆盖。
§2闭区间上连续函数性质的证明
一有界性定理定理1闭区间EMBEDEquation.DSMT4上的连续函数必定有界。
注：开区间上的连续函数既可能有界，也可能无界。
二最大值和最小值定理定理2闭区间EMBEDEquation.DSMT4上的连续函数必定有最大值和最小值。
三零点存在定理定理3EMBEDEquation.DSMT4在闭区间EMBEDEquation.DSMT4连续，
且EMBEDEquation.DSMT4，则EMBEDEquation.DSMT4在EMBEDEquation.DSMT4内至少有一个根。
证法一(用区间套定理);证法二(用确界原理);证法三(用有限复盖定理)。
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四一致连续性定理定理4闭区间EMBEDEquation.DSMT4上的连续函数EMBEDEquation.DSMT4必定一致连续。
戒指戴法含义 证法一(用区间套定理);证法二(用致密性定理)。 原来这就是爱情
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