第六章 微分中值定理及其应用
§1拉格朗日中值定理和函数的单调性
例1 设函数 EMBED Equation.3 内可导，在[a,b]上连续，且导函数 EMBED Equation.3 严格递增，若 EMBED Equation.3 证明，对一切 EMBED Equation.3 均有
EMBED Equation.3
证人 用反证法，若 EMBED Equation.3 在区间 EMBED Equation.3 上分别应用拉格朗日中值定理， EMBED Equation.3 使得
EMBED Equation.3
这与 EMBED Equation.3 为严格递增相矛盾。
例2 设函数 EMBED Equation.3 在 EMBED Equation.3 内可导，并且 EMBED Equation.3 ，试证：若当 EMBED Equation.3 时，有 EMBED Equation.3 则存在唯一的 EMBED Equation.3 使得 EMBED Equation.3 ，又若把条件 EMBED Equation.3 减弱为 EMBED Equation.3 ，所述结论是否成立？
分析 因为 EMBED Equation.3 ，若可以找到某点 EMBED Equation.3 ，使得 EMBED Equation.3 则由 EMBED Equation.3 的严格递增性，并应用连续函数的介值定理便可证明存在唯一的 EMBED Equation.3 ，使得 EMBED Equation.3
证 EMBED Equation.3 在 EMBED Equation.3 上应用拉格朗日中值定理， EMBED Equation.3 ，使得
EMBED Equation.3
于是
EMBED Equation.3
由于 EMBED Equation.3 ，因此当x充分大时总可使得
不妨设 EMBED Equation.3 ，所以 EMBED Equation.3 上严格递增；在 EMBED Equation.3 上应用连续函数的介值定理，则 EMBED Equation.3 ，且 EMBED Equation.3 是唯一的。
假设 EMBED Equation.3 满足 EMBED Equation.3 ，结论可能不成立，例如函数
EMBED Equation.3 ，
满足 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ，但因 EMBED Equation.3 恒小于0，故在 EMBED Equation.3 中不存在 EMBED Equation.3 ，使得 EMBED Equation.3 =0
下面是对函数 EMBED Equation.3 应用值中值定理的实例，因为函数
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
在 EMBED Equation.3 上满足拉朗日中值定理的条件，于是它存在 EMBED Equation.3 。使得
活血胶囊
EMBED Equation.3
在上式中令 EMBED Equation.3 ，由
EMBED Equation.3
可知 EMBED Equation.3 因而 EMBED Equation.3 ，这看起来似乎与 EMBED Equation.3 不存在相矛盾，试分析其原因。
解首先应当注意：上面应用拉格朗日中值定理中的 EMBED Equation.3 是个中值点，是由函数f和区间[0,x]的端点而定的，具体说是与x有关。
上面的推理过程到 EMBED Equation.3 为止都是正确。当由此得到 EMBED Equation.3 时，必须把 EMBED Equation.3 看作是由x而确定的中值点才是正确的；但若把 EMBED Equation.3 作为连续趋于零的变量得到 EMBED Equation.3 ，那是错误的。
例4 证明 EMBED
Equation.3 是x的严格递增函数，而 EMBED Equation.3 是x严格递减函数。
证 设 EMBED Equation.3 则有
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3 ，
其中最后等式是对函数ln y在区间 EMBED Equation.3 上应用了拉格朗日中值定理，由此得到
EMBED Equation.3
于是 EMBED Equation.3 在R上严格递增，这样 EMBED Equation.3 也是x严格递增函数，同理可证 EMBED Equation.3 是x的严格递减函数。
例5 设 EMBED Equation.3 定义在 EMBED Equation.3 上，而且n阶可导。证明：若 EMBED Equation.3 ，则 EMBED Equation.3 ，
分析 当n=1时，需证，若 EMBED Equation.3 由解释解惑问题1中严格单调性判别法可知上述结论是对立的。对一般的n，可以从 EMBED Equation.3 与 EMBED Equation.3 ，利用拉格朗日中值定理证得 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ，以此类推可以证得结论，下面例6就是它的应用。
证 EMBED Equation.3 ，在 EMBED Equation.3 应用拉格朗日中值定理， EMBED Equation.3 ，使得
EMBED Equation.3
因为 EMBED Equation.3 所以 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ，继续上述证明步聚n-2次，可得 EMBED Equation.3 ，最后对 EMBED Equation.3 上应用拉格朗日中值定理，有
EMBED Equation.3 ，
于是证得
EMBED Equation.3
证明不等式
鸽子汤回奶还是催奶
EMBED Equation.3
证[证法一]设 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
且
EMBED Equation.3
由范例5可知 EMBED Equation.3 ，即
EMBED Equation.3
[证法二]由本节例5（教材上册第124页）可知
EMBED Equation.3
设 EMBED Equation.3 ，
EMBED Equation.3
所以F（x）严格递增，于是
EMBED Equation.3
即
EMBED Equation.3
注 应用类似方法可证
EMBED Equation.3
请读者补写证明，本题是利用函数的单调性证明不等式的典型例子。
例7 试利用导数极限定理证明：导函数不能具有第一类间断点
分析 如果导函数具有第一类间断点 EMBED Equation.3 ，则 EMBED Equation.3 与 EMBED Equation.3 都存在，由于函数f（x）在点 EMBED Equation.3 处连续，由单侧导数极限定理，有 EMBED Equation.3 因此，不难推出点 EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 的可去间断点和跳跃间断点都是不可能的。
证 首先用反证法证明导函数 EMBED Equation.3 不能有可去间断点，若点 EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 的可去间断点，则 EMBED Equation.3 存在；而 EMBED Equation.3 在点 EMBED Equation.3 连续，故由导数极限定理，有
EMBED Equation.3
这与
点 EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 的可去间断点相矛盾。
再用反证法证明 EMBED Equation.3 不能具有跳跃间断点。若 EMBED Equation.3 有跳跃间断点 EMBED Equation.3 ，则存在左、右邻域 EMBED Equation.3 在这两个邻域上连续，且 EMBED Equation.3 存在，于是 EMBED Equation.3 上满足单侧导数极限定理的条件，即有
EMBED Equation.3
由于 EMBED Equation.3 ，因此， EMBED Equation.3 ，这与 EMBED Equation.3 在点 EMBED Equation.3 处可导矛盾，综上证得导函数不能有第一类间断点。
例8 设n为正整数
EMBED Equation.3
证明方程 EMBED Equation.3 在（-1，1）中恰好n个相异实根。
分析 罗尔中值定理的重要应用是：当 EMBED Equation.3 为可导函数时，可以利用方程 EMBED Equation.3 的根本情况讨论方程 EMBED Equation.3 的根的分布。若 EMBED Equation.3 ，是方程 EMBED Equation.3 的根，即 EMBED Equation.3 ，由罗尔定理， EMBED Equation.3 ，即在 EMBED Equation.3 的两个根之间必存在 EMBED Equation.3 的一个根，由于方程 EMBED Equation.3 有两个n重根 EMBED Equation.3 ，因此，可以逐次应用罗尔定理证得结论。
证 因为 EMBED Equation.3 为方程 EMBED Equation.3 的n重根，于是该方程有2n个实根，现要证明 EMBED Equation.3 有n个相异的实根。
EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
方程 EMBED Equation.3 以x=0为单根， EMBED Equation.3 重根，因为 EMBED Equation.3 ，由罗尔定理， EMBED Equation.3 使得 EMBED Equation.3 于是 EMBED Equation.3 有两个单根；又因
EMBED Equation.3
其中 EMBED Equation.3 为二次多项式，故方程 EMBED Equation.3 还有两个n-2重根 EMBED Equation.3 。
由此可推测当导数增高一次，相异单根增加一个，但重根 EMBED Equation.3 各下降一次，现用归纳法证明相应结论。
若 EMBED Equation.3 有k个不同单根
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
由罗尔中值定理， EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ，
EMBED Equation.3
其中 EMBED Equation.3 次多项式，即 EMBED Equation.3 有两个 EMBED Equation.3 重根 EMBED Equation.3 ，当k=n-1时， EMBED Equation.3 正好有n个相异实根。
§2 柯西中值定理和不定式极限
例1 设函数 EMBED Equation.3 上连续，且在（a,b）内可导，则在（a,b）内存在点 EMBED Equation.3 ，使得
EMBED Equation.3
分析 本命题比柯西中值定理少了 EMBED Equation.3 不同时为零以及 EMBED Equation.3 两个
条件，而结论是以乘积形式出现的，因而应当变换辅助函数。
EMBED Equation.3
然后应用罗尔中值定理
证 作辅助函
数
EMBED Equation.3
满足，
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
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EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
即F（a）=F(b)；F（x）在[a,b ]上连续，在（a,b）内可导，由罗尔中值定理， EMBED Equation.3 即
EMBED Equation.3
注 又若 EMBED Equation.3 不同时为零， EMBED Equation.3 ，则 EMBED Equation.3 （不然将导致 EMBED Equation.3 ），于是得出
EMBED Equation.3
此即为柯西中值定理，这说明以前所设辅助函数不是唯一的。
例2 设 EMBED Equation.3 上连续，在（a,b），使得
EMBED Equation.3
分析 这类命题是要证明存在两个中值点 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ，使得 EMBED Equation.3 ，不妨先找出 EMBED Equation.3
然后此式改写为
EMBED Equation.3
再由拉格朗日中值定理， EMBED Equation.3 使得
EMBED Equation.3
于是 EMBED Equation.3 使得
EMBED Equation.3
例3 设函数 EMBED Equation.3 上连续，在（a,b）内二阶可导，则存在 EMBED Equation.3 使得
EMBED Equation.3
分析 本题可以利用柯西中值定理证明，设两个函数F，G为
EMBED Equation.3
有 EMBED Equation.3 然后在[a,b]上对F,G应用柯西中值定理，本题也可用拉格朗日中值定理证明，下面分别给出两种证法。
证[证法一]设
EMBED Equation.3
有
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
F（x），G(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导， EMBED Equation.3 不同时为零，于是可以应用柯西中值定理， EMBED Equation.3 ，使得
EMBED Equation.3
再在 EMBED Equation.3 应用格朗日中值定理， EMBED Equation.3 使得
EMBED Equation.3
于是有
EMBED Equation.3
[证法二]作辅助函数
EMBED Equation.3
于是
EMBED Equation.3
在 EMBED Equation.3 上对 EMBED Equation.3 应用拉格朗日中值定理， EMBED Equation.3 ，使得
EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
再在 EMBED Equation.3 上对 EMBED Equation.3 应用拉格朗日中值定理， EMBED Equation.3 ，使得
EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
注 所证等式在计算方法课程的差分格式中是一个基本公式
例4 求下列极限：
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
解（1）这是 EMBED Equation.3 型的不定式，应用洛必达法则，有
EMBED Equation.3
（2）这是 EMBED Equation.3 型的不定式，当b为正整数时，多次应用洛必达法则后，有
EMBED Equation.3
当b为正实数时， EMBED Equation.3 时有
EMBED Equation.3
上面已证得
EMBED Equation.3
由函数极限的迫敛性可得
EMBED Equation.3
（3） EMBED Equation.3
注射器 由（1）（2）可
知：当 EMBED Equation.3 时，有
EMBED Equation.3
记为
EMBED E
***[JimiSoft: Unregistered Software ONLY Convert Part Of File! Read Help To Know How To Register.]***
n.3 时，作变换 EMBED Equation.3 得
EMBED Equation.3
于是 EMBED Equation.3 成立
EMBED Equation.3
§3 泰勒公式
例1 求极限：
（1） EMBED Equation.3
（2） EMBED Equation.3 .
解 (1)利用函数 EMBED Equation.3 带有佩亚诺型余项 EMBED Equation.3 的麦克劳林展开，有
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3
于是
EMBED Equation.3
(2)当 EMBED Equation.3 充分大时，利用 EMBED Equation.3 的带有佩亚诺型余项 EMBED Equation.3 的麦克劳林公式
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
这样，就可求得
EMBED Equation.3 .
例2 若 EMBED Equation.3 在点 EMBED Equation.3 的某个领域上有 EMBED Equation.3 阶连续导函数，试由泰勒公式的拉格朗日型余项推导佩亚诺型余项公式.
证 因为 EMBED Equation.3 具有 EMBED Equation.3 阶连续导函数，由泰勒公式，有
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
因为导函数 EMBED Equation.3 在点 EMBED Equation.3 的某个领域上连续，所以 EMBED Equation.3 ，当 EMBED Equation.3 时, EMBED Equation.3 .由此可得
EMBED Equation.3 ,
于是有
EMBED Equation.3 ,
朝歌夜弦
即
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
上面推导说明，当导函数 EMBED Equation.3 在点 EMBED Equation.3 的某个闭领域内外连续时，可以得到 EMBED Equation.3 ，这与佩亚诺型余项的结论是一致的.
节约用电标语
例3 设s为弧长d是对应于它的弦, EMBED Equation.3 是对应于半疑弧的弦(图6-1).试确定用d与 EMBED Equation.3 表示S的近似公式
EMBED Equation.3 ,
这里A,B是待定常数，使得误差尽可能小.
解 设r是圆半径, EMBED Equation.3 为对应于弧的s的圆心角.应用带有拉格朗日型余项的泰勒公式，有
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
由 EMBED Equation.3 ，故可利用下列方程组决定待定常数A,B:
荷叶圆圆教学反思
EMBED Equation.3
于是有 EMBED Equation.3 ，即
EMBED Equation.3 .
注 一般称上述公式为惠更斯公式.
例4 用泰勒公式证明：设函数 EMBED Equation.3 在 EMBED Equation.3 上连续，在 EMBED Equation.3 内二阶可导，则存在 EMBED Equation.3 ，使得
EMBED Equation.3 .
分析 需证等式中出现二阶导数 EMBED Equation.3 与 EMBED Equation.3 在 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 的函数值，试用展开到二阶导数的泰勒公式是一种可行的途径.问题在于选取哪些点为展开式中的 EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3 ，合理的方法是取 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3 .
证 把 EMBED Equation.3 在点 EMBED Equation.3 展开到二阶导数项:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
把上面两式相加，有
EMBED Equation.3 .
不妨设 EMBED Equation.3 ，于是有
EMBED Equation.3 .
在 EMBED Equation.3 上对 EMBED Equation.3 应用达布定理, EMBED Equation.3 使得
EMBED Equation.3 ,
这样就证得
EMBED Equation.3 .
注 在本书前一节的范例3中已应用柯西中值定理和拉格朗日中值定理证明了本题，这里应用泰勒公式和达布定理是另一种证明方法.
设函数 EMBED Equation.3 在 EMBED Equation.3 上二阶可导，且在 EMBED Equation.3 上 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .证明在 EMBED Equation.3 上成立
EMBED Equation.3 .
分析 本题是用 EMBED Equation.3 的上界来估计 EMBED Equation.3 的上界.可以试用展开到二阶导数的泰勒公式寻找 EMBED Equation.3 之间的联系.
证 EMBED Equation.3 ，把 EMBED Equation.3 在点 EMBED Equation.3 处展开成带有二阶拉格朗日型余项的泰勒公式，有
EMBED Equation.3 冷饮制作
EMBED Equation.3 ,
上面两式相减后有
EMBED Equation.3 ,
再应用 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ，可得
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,
于是有不可开交的意思
EMBED Equation.3 .
说明 本题结论有一个有趣的力学解释：在2秒时间内，哪果运行路程和运动加速度都不超过1，则在该时间段内的运动速度决不会超过2.
§4 函数的极值与最大(小值)
例1 证明
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
分析 需证的不等式等价于
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,
于是可以利用验证函数 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 时的最大值来证明不等式.
证 设函数
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .不难由极值第一充分条件可知 EMBED Equation.3 是唯一的极(大)值点，因而是最大值点.
由于 EMBED Equation.3 时, EMBED Equation.3 时 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 在 EMBED Equation.3 处连续，因此 EMBED Equation.3 是严格最大值点，即
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
由此可得
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
