杂质半导体的载流子浓度
杂质半导体的载流子分布
摘 要：非简并杂质半导体的载流子浓度和费米能级由温度和杂质浓度所决定。对于杂质浓度一定的半导体，随着温度的升高载流子则是从以杂质电离为主要来源过渡到以本征激发为主要来源的过程，相应地，费米能级则从位于 杂质能级附近逐渐移近禁带中线处。费米能级的位置不但反映了半导体导电类型而且还反映了半导体的掺杂水平。
关 键 词：费米能级；状态密度；能量态；非简并结构；玻尔兹曼分布函数 引 言：
实践表明，半导体的导电性强烈地随温度而变化。实际上这种变化主要是由于半导体中载流子浓度随温度变化而变化所造成的。因此，要深入了解半导体的导电性及其他许多性质必须探求半导体中载流子浓度随温度变化的规律，以及解决如何计算一定温度下半导体中热载流子浓度的问题。半导体材料中总是含有一定量的杂质，所以研究杂质半导体的载流子分布具有重要意义。
为计算热平衡状态载流子浓度以及求得它随温度变化的规律，我们需先掌握两方面的知识：
第一，允许的量子态按能量如何分布；第二，电子在允许的量子态中如何分布；然后根据量子统计理论[1]、电子的费米分布函数f （E ）及数学计算得到非简并杂质半导体的载流子浓度。在求解过程中用到了电中性条件，由于得到数学表达式较为复杂，因此人们以温度T 为划分标准，划分为几个不同温度区域来近似讨论。分区是一种非常有用的方法，往往能够使非常复杂的问题进行简化并得到理想的结果。
1 费米能级
1.1 状态密度
概念：假定在能带中能量E~（E+dE ）之间无限小的能量间隔内有dZ 个量子
态，则状态密度g(E)为()dZ g E dE
= 。物理意义是：状态密度g(E)就是在能带中能量E 附近每单位能量间隔内的量子态数。
在k 空间中，以|k |为半径作一球面，等能面是球面的情况下，通过计算可得到，导带低附近状态密度g(E)为[2]
古登堡面*3/21/23(2)()4()n c c m dZ g E V E E dE h
π==- （1.1） ，其中*n m 导带低电子有效质量。 同理，价带顶附近状态密度
*3/21/23(2)()4()p v v m dZ g E V E E dE h
π==- （1.2） 1.2 费米分布函数和玻尔兹曼分布函数
根据量子统计理论，服从泡利不相容原理的电子遵循费米统计规律。对于能量为E 的一个量子态被电子占据的概率f(E)为[3]
01()1exp()F f E E E k T
=-+ （1.3）
当F E E -0k T 时有0exp()1F E E k T - ，所以式（1.3）可变为
0001()exp()exp()exp()F B F E E f E E E k T k T k T
==-- （1.4） 令0exp()F E A k T
=,则 0()exp()B E f E A k T
=-[4] （1.5） 称为电子的玻尔兹曼分布函数。
式（1.3）、（1.4）中的F E 称为费米能级，它和温度、半导体材料、杂质浓度和能量零点的选取有关，这是一个非常重要物理参数。正如前面所说，费米能级的位置不但反映了半导体导电类型而且还反映了半导体的掺杂水平。将半导体中大量电子的集体看成一个热力学系统，由统计理论证明[1]，费米能级F E 是系统的化学式，即
()F T F E N μ?==? ,μ代表系统的化学势，F 是系统的自由能。该式的物理意义是：
当系统处于热平衡状态，也不对外界做功的情况下，系统中增加一个电子所引起系统自由能的变化，等于系统的化学势，也就是等于系统的费米能级。
一般可以认为，在温度不是很高的条件下，能量大于费米能级的量子态基本上没有电子占据，而能量小于费米能级的量子态基本上为电子占据，而电子占据费米能级的概率在各种温度下总是1/2。
2 杂质半导体的载流子浓度取消屏保
2.1 导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度
思想：在能量E~(E+dE)之间有()c dZ g E dE =个量子态，而电子占据能量为E 的量子态的概率是f(E),则在能量E~(E+dE)之间有()()c f E g E dE 个被电子占据的量子态，即有()()c f E g E dE 个电子。然后把能量区间中的电子数相加就能得到能带中的电子总数，再除以半导体体积就能得到导带中的电子浓度。
在非简并情况下，能量E ~(E+dE)间的电子数dN 为
()()B c dN f E g E dE =
把式（1.1）、（1.5）代入上式得：
*3/21/230(2)4exp()()n F c m E E dN V E E dE h k F
π-=-- 那么单位体积中的电子数为
*3/21/230(2)4exp()()n F c m E E dN dn E E dE V h k F
π-==-- （2.1） 对上式积分，可算得热平衡状态下非简并半导体的导带电子浓度n0为
'
*3/21/2030(2)4exp()()c c E n F c E m E E n E E dE h k F
π-=--? （2.2） 积分上限C E 是导带顶能量。通过引入变数0()/()c x E E k T =-及计算，最终可解得：
00exp()c F c E E n N k F
-=- （2.3） 式中*3/2
03
(2)2n c m k T N h π=，称为导带的有效状态密度。 同理，热平衡状态下，非简并半导体的价带中空穴浓度0p 为
00exp()v F v E E p N k F
-= （2.4） 其中，*
3/203(2)
2p v m k T N h π=，v N 称为价带的有效状态浓度。
从式（2.3）、（2.4）可知，导带中电子浓度0n 和价带中空穴浓度0p 随着温度T 和费米能级F E 的不同而变化。
2.2 杂质能级上的电子和空穴
可以证明[2~3]电子占据施主能级的概率是：
01
()11exp()D D F D f E E E g k T =-+ （2.5）
空穴占据受主能级的概率是：
01
()11exp()A F A A f E E E g k T =-+ （2.6）
式中的D g 的事施主级的基态简并度，A g 是受主能级的基态简并度。一般情
况下，D g =2，A g =4。
由于施主浓度N D 和受主浓度N A 就是杂质的量子态密度，那么可得到： 施主能级上的电子浓度n D 为：
0()11exp()2D D D D D F N n N f E E E k T
==-+ （2.7） 受主能级上的空穴浓度p A 为：
达芬奇笔记
0()11exp()4A A A A F A N p N f E E E k T
==-+ （2.8） 那么根据式（2.3）、（2.4）可以得到：
电离施主浓度D n +为：
012exp()D D D D D F N n N n E E k T
庆祝的近义词+=-=-+- （2.9） 电离受主浓度A p -为北京西山国家森林公园
014exp()A A A A F A N p N p E E k T
-=-=-+- （2.10） 2.3 n 型半导体的载流子浓度
在只含一种施主杂质的n 型半导体中，由电中性条件可得：
00D n n p +=+
等式左边为导带中的电子浓度，右边为价带中的空穴浓度和电离施主浓度之和。将式（2.3）、（2.4）和（2.9）代入到上式可得：
000exp()exp()12exp()c F F V D C v D F E E E E N N N E E k T k T k T
---=-+-+- (2.11) 从上式求F E 的一般解析式是比较困难的，必须通过一些方法来简化求解。 基于温度T 的分区模型。半导体内的载流子主要由两个途径产生：本征激发和杂质离子的电离。不同的温度下，本征激发和杂质离子电离的情况不同。这样就有助于我们简化问题，通过近似得到想要的结果。
1. 低温弱电离区
温度很低时，只有很少的施主杂质被电离，本征激发的电离子就更少了，可以忽略不计，也就是导带中的电子全部由电离施主杂质所提供。那么会有
00exp()12exp()c F D C D F E E N N E E k T k T
--=-+- （2.12） 由于D n +远比D N 小，所以0exp()1D F E E k T
-->>，最终可解得： 0()ln()222C D D F C
E E k T N E N +=+ (2.13) 上式就是低温弱电离区费米能级表达式，它与温度、杂质浓度以及掺杂何种原子有关。
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将式（2.14）代入到（2.4）中可到低温弱电离区的电子浓度为：
1/21/2000()exp()()exp()2222D C C D D C D N N E E N N E n k T k T
-?=-= (2.14) 式中D E ?=C D E E -为施主杂质能级。由式（2.15）可知0n 随着温度的升高呈
指数上升。
记叙文知识点2. 中间电离区
温度继续升高，当2c D N N >后，式（2.14）的第二项为负，这是E F 降到
2
C D E E +以下。当温度升高到使F D E E =时，施主杂质有1/3电离。
3. 强电离区
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温度继续升高，使得大部分杂质都电离，此时D D n N +≈。此时费米能级F E 位于D E 之下。强电离时，式（2.12）可化简为：
0exp()c F C D E E N N k T
--= （2.15） 解得费米能级F E 为
0ln()D F C C
N E E k T N =+ （2.16） 可见，费米能级F E 由温度和施主杂质浓度所决定。它们的关系
如图1所示。
图1 硅的费米能级与温度、杂质浓度的关系[5]
从图中可以看出，在一定温度T 时，D N 越大，F E 越向导带方向靠近。当D N 一定时，温度越高，F E 越往本征费米能级i E 靠近。
在强电离区，电子浓度0n 为
0D n N =
这时杂质浓度与温度无关。这一范围称为饱和区。
4. 过渡区
当半导体处于饱和区和完全本征激发区之间时称为过渡区。于是电中性条件是：
00D n N p =+ （2.17）
那么可以得到[6]：
0()2D F i i
N E E k Tarsh n =+ （2.18） 联立方程（2.18）、（2.19），并泰勒展开可解得：
20i D D
n n N N =+ (2.19) 5. 高温本征激发区
继续升高温度，使本征激发的本征载流子远多于杂质电离产生的载流子数。这是电中性条件是00n p =。这是费米能级F E 接近禁带中线，载流子浓度随温度升高而迅速增加。
