Laplace变换法
本章介绍线性电路过渡过程的第二种方法—变换法。所谓变换法法，早在初等数学中就已经知道，比如要计算的ab值，一种简单的方法是应用对数进行计算， 其基本思想是不直接对“数”本身进行计算，而是对"对应的数"进行简单的计算，这就是最简单的变换法。取对数的运算就是作变换，对数的值就是原来数的变换象，取反对数的运算就是反变换。在第八、第九章中计算正弦交流电路的相量法实质上也是一种变换法，其中的相量就是正弦量的“变换”象，应用相量法就可使原来正弦量的计算变为相量（复数）的计算。在数学中，为了求解微分方程，可用适当的“算子”（Operater)或积分变换将原微分方程变成代数方程，通过简单的代数运算进行求解；然后进行反变换，这种方法成为算子法或运算法，现在常用的有傅立叶变换、拉普拉斯（Laplace)变换和Z变换。本章采用拉普拉斯（Laplace)变换法。
Laplace变换的定义、性质
定义：
1、傅立叶变换：当一个时间函数f(t) 既满足狄里赫利条件，又满足绝对可积条件时，其傅立叶变换成立。正、反变换分别为：
2、由傅立叶变换到Laplace变换：
学习雷锋小报
在电气工程和无线电工程中，常见的函数一般均满足狄里赫利条件，但通常不满足绝对可积条件，因此不能直接进行傅立叶变换。分析函数不满足绝对可积条件的原因是当t→∞时，函数f(t)不衰减，或不但不衰减，反而增长。为了使f(t)变的绝对可积，选一个指数衰减因子——
在电路理论中，常常把换路的瞬间记为t=0，然后研究t＞0的过渡过程。这就是说，激励是从t=0开始作用于电路的，响应也应定义在t≥0。因此，傅立叶变换中积分的下限考虑到由0-到0+可能发生的跃变，故定义为0-。即
利用拉氏变换的定义计算下列各题。
【例13-1】求单位冲激函数的拉氏变换式。
【例13-2】求单位阶跃函数和延时的阶跃函数的拉氏变换式。
【例13-2】求衰减的指数函数的拉氏变换式。
*对于常见函数的拉氏变换式可以记住，也可以查拉氏变换表。
拉氏变换的性质：（证明略）
利用拉氏变换的性质，可以简化函数的拉氏变换的计算。宝宝不开心
回到初相恋性质1°：唯一性。象函数F(S)与半开区间 [0，∞）的时域函数f(t)存在一一对应的关系。
性质2°：线性性质。
设L[f1(t)]=F1(S)，L[f2(t)]=F2(S)
则：L[A1 f1(t)±A2 f2(t)]= A1 F1(S) ±A2 F2(S)
【例13-3】求下列表达式的拉氏变换式。
性质3°：时域导数性质。
【例13-4】
性质4°：时域积分性质。
【例13-5】求斜坡函数的拉氏变换式。
性质5°：时域平移性质（延迟性质或时滞定理）。
性质6°频域平移性质。
性质7°
卷积定理。
运算电路
在高等数学中，拉氏变换法是将给定的微分方程变换为相应的关于S代数方程。在电路理论中，微分方程不是给定的，是根据换路后的电路结构列出来的，而列微分方程是一个比较烦琐的过程。因此电路的拉氏变换法从画运算电路开始，同时引入运算阻抗的概念，列出运算形式方程并求出运算形式的解，即象函数，再经过反变换得到时域形式的解。
无源元件的运算电路：
1、电阻：选择电阻两端的电压、电流为关联参考方向，如图1-1-2。u(t)=Ri(t)。对该方程两边取拉氏变换得到：
U(S)=RI(S) 可见，电阻的电压、电流的欧姆定律的形式未变。电路如图13-2-1。
艾糍2、电感：选择电感两端的电压、电流为关联参考方向，如图1-2-5。其电压、电流之间关系方程为：
电感的运算电路如图13-2-2。Li(0-)或i(0-)/s称为电感的附加电源（或内电源）。
注意：（1）电感两端的电压由两部分组成。（2）附加电源的参考方向。
3、电容：选择电容两端的电压、电流为关联参考方向，如图1-2-3。其电压、电流之间关系方程为：
电容的运算电路如图13-2-3。Cu(0-)或u(0-)/s称为电容的附加电源（或内电源）
4、互感：电路如图13-2-4(a)，电压、电流参考方向如图。
U1(S)=SL1I1(S)-L1i1(0-)+SMI2(S)-Mi2(0-)
U2(S)=SL2I2(S)-L2i2(0-)+SMI1(S)-Mi1(0-)
运算电路图如（b）。
基尔霍夫定律的运算形式：
三、象函数的求法：
以R、L、C串联电路为例，如图13-2-5（a）。运算电路如(b)。
【例13-6】 求（a）中换路后电流、电压的运算形式。
关于谷雨的谚语
点虫虫【解】首先计算t=0-的状态，确定附加电源。
步骤：（1）计算初值。（2）画运算电路。（3）列方程。（4）求象函数。
Laplace反变换
在电路理论中，所得到的响应象函数通常是关于S的有理分式。对于此类表达式可用部分分式法展开成部分分式的形式。设
则反变换为：
【例13-7】求下列表达式的拉氏反变换。
用Laplace变换法（运算法）解线性电路
一、求图例13-7(a)电路的零状态响应uC(t)。
二、求图例13-8(a)电路中，开关打开后电感的电流及电感两端电压。
天冷的句子分析：从电路结构可以看出，i2(0-)=0，i1(0-)=5A。当开关打开后，两个电感变为串联，i2(0+)=i1(0+)≠0。因此两个电流均发生跃变。如果用经典法求解比较麻烦，用运算法则不必考虑这些。
根据换路前的状态，画出运算电路(b)。
求图例13-8(a)电路中，换路后 开关两端电压uk(t)。
本章必做作业：13-4，13-5，13-6，13-8，13-10，13-11，13-12，13-13，13-16
，13-17，13-20，13-21。
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