数学物理中一维泊松方程基本解的两种求法
周文杰，潘婷，章礼华*，马业万
（安庆师范大学物理与电气工程学院，安徽安庆246133）
摘
要：一维泊松方程的基本解在数理方法教材中较少分析讨论。本文通过分析三维和二维泊松方程基本解及其
电势物理意义，分别运用类推法和积分解法，得出一维泊松方程基本解，即一维无界空间格林函数的表达式。所得结论对于泊松方程基本解的学习以及应用于定解问题的求解具有重要的参考意义。
关键词：一维泊松方程；基本解；格林函数DOI ：10.13757/jki34-1328/n.2019.02.025
中图分类号：O411.1
文献标识码：A
文章编号：1007-4260(2019)02-0115-03
Two Methods for Getting Fundamental Solution of One-Dimensional Poisson Equation in Mathematical Physics
ZHOU Wenjie,PAN Ting,ZHANG Lihua,MA Yewan
(College of Physics and Electrical Engineering,Anqing Normal University,Anhui 246133,China)
Abstract:The basic solution of one-dimensional Poisson equation is ldom discusd in common reference books of Methods of Mathematical Physics .In this paper,the fundamental solution for three-dimensional and two-dimensional Poisson equation is analyzed and as well as the physical meaning of its electric potential.The basic solution of one-dimensional Pois-son equation are given by the analogical and analytical method respectively.It is also called one-dimensional unbounded ca of the Green ’s function.The conclusions obtained in this paper are helpful for learning of the fundamental solution of Poisson equation and the application to the solution of definite solution problem.
王维相思
Key words:one-dimensional Poisson equation;fundamental solution;Green ’s function
泊松方程是一个在理论物理和机械工程等领域应用广泛的二阶椭圆型偏微分方程，含该方程的定解问
题通常均可采用格林函数法进行求解。在物理上，求解泊松方程的边值问题本质上可以归结为求相对应的格林函数，然后通过将求得的格林函数代入相应的泊松方程解的积分公式，就可以得到该定解问题的解。利用格林函数法求解时，需要用到与之相对应的基本解。数学物理上通常将不同维度下无界空间的格林函数称为该维度上泊松方程的基本解。在国内外众多数学物理方法教材和参考文献中，如姚端正教授和德国顾樵教授在他们各自编写的数学物理方法教材中均着重讨论了三维和二维无界空间格林函数，并给出了十分详细的求解方法及解的结果[1-2]，张宏浩教授针对三维无界空间格林函数也给出了详细的傅里叶积分法求解过程[3]，但针对一维无界空间格林函数都鲜有讨论，显式的表达式也较为少见。为此，本文将在分析讨论三维和二维泊松方程基本解的基础上，分别采用类推法和积分解法，给出一维无界空间格林函数的表达式。
收稿日期：2019-03-11
基金项目：安徽省高等学校省级质量工程项目（2018zygc062）和安徽省自然科学基金项目（1708085MA10，1808085MA20）作者简介：周文杰（1998—），男，安徽宣城人，安庆师范大学物理与电气工程学院物理学专业学生。
E-mail ：
通信作者：章礼华（1975—），男，安徽太湖人，安庆师范大学物理与电气工程学院教授，研究方向
为量子光学。
nowthatE-mail ：zhanglh@aqnu.edu
2019年6月第25卷第2期
安庆师范大学学报(自然科学版)
Journal of Anqing Normal University(Natural Science Edition)
Jun.2019Vol.25No.2
安庆师范大学学报（自然科学版）2019年
1类推法求一维泊松方程的基本解
1.1三维泊松方程的基本解
三维泊松方程的基本解，即三维无界空间格林函数G ()M ,M 0是下述含有三维δ函数的非齐次方程
ΔG (M ,M 0)=-δ(M -M 0)
（1）
的解，其中三维的δ函数可以表示为δ(M -M 0)=δ(x -x 0,y -y 0,z -z 0)，M =M (x ,y ,z )，M 0=M (x 0,y 0,z 0)，-∞<x ,y ,z <+∞。
为了求解三维无界空间上泊松方程（1），考虑到空间对称性，通过选取球坐标系（选择源点M 0为坐
标原点），利用傅里叶变换法[2]，可求得上述无界空间泊松方程（1）的基本解为
G (M ,M 0)=1技术水平
4πr
,
（2）其中r 为场点M 到源点M 0的距离，即r =||MM 0。
所得的基本解（2）即三维无界空间格林函数G (r )=1
4πr
，与单位点电荷在三维空间任意r 处所形成的
电势函数φ=1
4πεr
相对应，其中ε为介电常数，这恰是三维空间下泊松方程基本解的电势物理意义。
1.2二维泊松方程的基本解
二维泊松方程的基本解，即二维无界平面所对应的格林函数满足下述含有二维δ函数的非齐次方程ΔG (M ,M 0)=-δ(x -x 0,y -y 0)
（3）
的解，其中二维δ函数可以表示为δ(M -M 0)=δ(x -x 0,y -y 0)，
M =M (x ,y )，M 0=M (x 0,y 0)，-∞<x ,y <+∞。选取源点M 0为坐标原点，在极坐标系下对（3）式求解[1]，可得二维无界平面上的格林函数为
G ()M ,M 0=12πln 1
r
,（4）
其中r 为二维平面上场点M 到源点M 0的距离，也即二维泊松方程的基本解为G ()r =12πln 1
r ，它与垂直
于XOY 平面的具有单位线密度的无限长线电荷在r 处所形成的电势函数φ=12πεln 1
r
相对应，其中ε为
介电常数，这也正是二维泊松方程基本解的电势物理意义。
1.3类推法求一维泊松方程的基本解
基于上述结果，下面从格林函数为势函数的物理意义出发，通过类推给出一维泊松方程的基本解。
无界空间格林函数在三维情形下表示放置于坐标原点的单位点电荷在三维空间任意r =||MM 0=
()
x -x 02
+()y -y 02
+()z -z 02
处所形成的电势，在二维情形下表示线密度ρ=1的垂直于XOY 平面的
无限长线电荷在r =||MM 0=
()
x -x 02情人节情话简短
+()y -y 02
处所形成的电势。单位点电荷可以看作是线密度
ρ=1的无限长线电荷在原点处的投影，
而线密度ρ=1的无限长线电荷可以视为面密度σ=1的无限大面电荷的投影。结合电磁学的知识[4]，面
密度σ=1的垂直于x 轴的无限大面电荷在一维空间任意r 处产生的电势函数为φ=-r /2ε，其中ε为介电常数，r =||MM 0=
()
x -x 02
=||x -x 0。再结合三维和二维泊
松方程基本解的表达形式和物理意义，可以类推给出一维泊松方程
d 2G (x -x 0)
d x 2
=-δ(x -x 0)（5）
的基本解，即一维无界空间格林函数，可以用面密度σ=1的垂直于x 轴的无限大面电荷在一维空间任意r 处形成的电势函数来表示，也即（5）式的基本解可以表示为
·
·116
第2期G (r )=-r
2=-||x -x 02
,（6）
其中r 表示x 轴上点到平面的距离。将上述分析讨论的结果总结如表1所示。
表1三维、二维和一维情形下电势函数和格林函数
电荷
三维
（单位点电荷）二维
（无限长单位线电荷）一维
（无限大单位面电荷）
电势函数φ=1
4πεr
一剪梅舟过吴江
φ=
12πεln 1r
φ=-
r 2ε
格林函数G ()r =14πr
G ()r =
12πln 1r
G ()r =-
奶奶的英语怎么说r 2
2积分法求一维泊松方程的基本解
一维泊松方程的基本解即一维格林函数满足的泊松方程为
ΔG =-δ(x -x 0)，或d 2G
d x
2=-δ(x -x 0)。
（7）由δ函数的性质[5-6]
可得
∫
-∞x
δ(x -x 0)d x ={
1x >x 0
0x <x 0,
（8）即
∫
-∞
x
δ(x -x 0)d x =H (x -x 0)，其中H 函数即为阶跃函数。对（7）式进行积分，有如下的解
G ()x ,x 0=-()x -x 0H (x -x 0)+()x -x 0C 1()x 0+C 2()x 0,
（9）
其中x 0在物理上表示源点，考虑到G 在物理上表示势函数，取x 0处为零电势参考点，则C 2()x 0=0。
又由对称性可得G ()x 0+x ,x 0=G ()x 0-x ,x 0,x ≥0。根据阶跃函数的性质，有-x +xC 1()x 0=-xC 1()x 0，
解得C 1()x 0=12，则可得到格林函数为G ()x ,x 0=-()x -x 0H ()x -x 0+1
2
()x -x 0，即
G ()x ,x 0=-||x -x 02=-r 2
，
其中，r 为x 轴上的点到过源点x 0且垂直于x 轴的平面的距离。
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综上所述，本文分析了三维和二维泊松方程基本解的电势物理意义，并运用类推的方法得出了一维泊松方程基本解，即一维无界空间格林函数的显式数学表达式。在此基础上，通过直接积分法求解一维泊松方程基本解，与类推法得出的结果完全一致。该方法对于泊松方程基本解的学习和应用于定解问题的求解具有重要的参考价值，也有利于加深学生对格林函数的整体理解。参考文献：
[1]姚端正，梁家宝.数学物理方法[M].北京：科学出版社，2010.[2]顾樵.数学物理方法[M].北京：科学出版社，2016.
[3]张宏浩.泊松方程格林函数的傅里叶积分求解[J].大学物理，2015,34（12）:14-15.[4]赵凯华，陈熙谋.电磁学[M].北京：高等教育出版社，2011.[5]赵炳林.格林函数方法的力学模型[J].大学物理,1985,1(12):1-1.[6]梁昆淼.数学物理方法[M].北京：高等教育出版社，2010.
周文杰，潘婷，章礼华，等：数学物理中一维泊松方程基本解的两种求法
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