角形中任选一个图形（如图4），先用直线把它
分成两部分，再通过平移形成新的几何图形。
图4
这个活动，是以构造新图形为目标，将平移运动作为一种学习的应用工具和载体去解决问题。动手前，鼓励学生先思考：选择哪个图形？怎么分割？怎样移动？可以形成什么图形？然后才是有目的的分割和
平移。而在解释为什么选择平行四边形、为什么这样分就可以通过平移构造出长方形（平行四边形）、为什么不能拼成其他图形的过程中，学生继续从平移的角度观察图形，结合平移运动的本质反思梯形、三角形等图形特征。
在分割、平移图形的过程中，帮助学生在头脑中建立表象，实现在不操作的前提下，想象图形重构的样子，形成想象的经验，再通过语言描述自己想象的结果，不仅巩固了平移这一运动，明确了平移和平行的关系，也利用图形特征，借助平移运动，再次寻找平行四边形和其他图形间的联系。
参考文献：
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［2］王光明，范文贵.新版课程标准解析与教学指导解读（小学数学）［M ］.北京：北京
师范大学出版社，2012.
【本文系北京市海淀区教育科学“十三五”规划一般课题“基于小学生空间观念培养的图形运动教学策略”（编号：HDGH20190573）的研究成果之一】
（作者单位：北京市海淀区中关村第一小学）
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“用字母表示数”一课在苏教版教材五年级上册，但学生在中低年级就开始用符号表示数了，低年级用图形等符号代替数，引导学生探索规律；中年级用字母表示运算律。俗话说，学以致用，可为何没学就用了？为何会用了还要学？了解学生对符号的认知差异，以及帮助学生获得不同的提升，这是设计这节课前教师要做的思考。
一、
符号
“用”得早，
用得如何
“用字母表示数”是小学阶段学生发展数学符号意识的重要契机，《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称2022年版课标）中也明确说明符号意识主要是指能够感悟符号的数学功能，它是学生形成抽象能力和推理能力的经验基础。
（一）教学内容的设计螺旋上升。
不同版本的教材对用字母表示数的渗透素材都设计得十分丰富，通过与学生的交流以及教学实践中的经验积累，我认为小学数学教材中用字母表示数的学习大致分为三个时期：
1.懵懂感受期。第一学段教材结合数与计
算等教学内容编排了用符号表示数的算式，如6×（
）=42，再如竖式谜等。
比如，2022年版课标中的一个例子，如图1。图1
懵懂感受期中教材更加关注符号的多样性，即引导学生感悟无论用数字、字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同。
2.过渡适应期。第二学段用字母表示规律、从化温泉
计算公式和简单的数量关系，如s =vt 等。这些内
容的设计，是为了引导学生感受字母表示的
44
——“用字母表示数”教学思考及实践
◇潘
越
简洁。
3.理解学习期。第三学段系统学习用字
母表示数，要求学生在具体的情境中掌握用字母表示事物的关系、性质和规律的方法，感悟用字母表示的一般性，引导学生关注两个相关联量之间变化的趋势，能根据一个量确定另一个量。
比如，2022年版课标中就给了两个例子，如图2
。
图6
图2
组织观念综合来看，无论哪个年级，学生对符号的理解都同时具有具体的成分和抽象的成分，它们之间的权重随着年级升高以及心智成熟而发生变化。
（二）学生认识字母但不理解字母。在教学“用字母表示数”一课之前，还与学
生交流了以下问题：
师：之前学的那些算式为什么用字母来表示？字母有什么用？
生1：比如5+A =10，A 表示的数我们不知道，所以请字母来帮忙。
生2：这个A 就是方程中的未知数。生3：用字母表示也很简洁，一看a +b =b +a 就知道是加法交换律。
师：用图形表示可以吗？比如用●+▲=▲+●。
生3：可以是可以，但没有字母方便。生4：我们之后还会学π表示圆周率，这个小数是无限不循环的，写不完就用一个字母表示。
不难看出，学生知道符号和数是有区别的；能够利用字母表示已经发现的规律，但很难主动运用符号概括一般规律；能够在具体的情境
中解释字母的含义，较难理解符号也能参与运算。值得欣喜的是，学生对字母的“简洁性”理解深刻。
基于此，在本节课中，依托“联想与推理”来理解字母的一般性是这节课的重心。
二
、字母
“学”得晚，
突破什么（
一）表达多元，符号更具简洁性。1.表达方式丰富。
学生经历了符号多元的经验积累后，数学符号的表达形式是很丰富的，教师可以激发其
用字
母表示
综漫之老子是直的数，
简洁表达的内需，驱动学生借助符号简化自然
语言。教师出示了摆一个三角形需要3根小棒，两个三角形6根小棒的图例后，引导学生根据三角形的个数与小棒根数的关系，尝试表示小棒的根数，作品呈现如图3。
图3
这正如史宁中教授指出的：应鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数量关系和变化规律，这是发展学生符号意识的重要因素。文字、图形及字母等数学符号都是学生能够理解并接受的表达形式。
带名字的情侣网名2.打通符号壁垒。
龙鱼学生用丰富的表达形式表示了小棒的根数后，教师可以抖出“包袱”，追问学生是否要分类，将学生思维中对不同形式符号的割裂暴露出来。
师：（指着图3）给这些作品分分类吧。生：我们分三类，文字一类、图形一类、字母一类。
生：两类就行了，图形和字母可以合并。师：有人分三类，有人分两类，都有道理，还有其他想法吗？
生：我们组觉得所有作品都可以打包成一类，不管是文字、图形或字母，都表示三角形的
个数。
生：对，它们都是一种符号，只是数学中我们更常用字母表示数。
从学生的讨论中不难看出，将数学中不同形式的符号割裂开，认为它们“各自为营”不是少数人的理解，文字代表数是代数形成的早期形态，也是学生最熟悉的，数量关系式就是从文
字符号开始的。从文字代表数再到图形最后到字母，打通符号间的壁垒，这就由“数”扩展到了“式”。
3.梳理常见的字母。
从物品到数字是数学表征的一次飞跃，字母则在抽象中再次抽象，学生理解了字母的简洁性、一般性以及概括性后，应适当引导学生梳理常见字母并分类，从而帮助学生更好地理解字母的含义，真正将这一内容作为开启儿童代数思维的钥匙。大致会有以下几种情况：①字母π、e 和Φ等著名常数，表示一个确定的数。
②数轴上的点A ，表示一个确定的数。③方程中的字母x ，表示一个未知数。④含有字母的式子，如3a ，可以表示一个关系，也可以表示一个结果。⑤公式或规律中的字母，如a +b =b +a ，表示一般规律。
⑥数量关系式中的字母，如s =vt ，表示相关联量之间的关系。
弗赖登塔尔在其著作《作为教育任务的数学》中指出：字母作为数学符号有两种情况，一是字母作为专有名词，如π等；二是作为不确定名词。学习了“用字母表示数”一课后，学生既能理解字母的未知性，也能感悟字母的不确定性，这促进了学生理解符号表达的现实意义。
（二）形式简洁，字母更具概括性。1.字母拥有包容性——包容变化。小学阶段的用字母表示数，学生更习惯将字母看作未知数，所以在“用字母表示数”一课的教学中要依托问题情境，激发学生运用符号表示一般数的需求，如在引导学生表示小棒的根数时，可以追问：“能用简洁的方式表示出小棒的根数吗？”学生理解可以用3
a 表示后，追问
这里字母a
可以表示哪些数。
师：
用含有字母的式子
3a 来表示小棒根数，字母a 是什么意思？可以表示哪些数？
沂岭46
生：a就是三角形的个数，可以是1、2、3、4、5……
生：大数也可以，如99、100000等。
生：任何一个数都可以。
生：不对，是正整数，个数是0就没有意义，小数也不行。
a可以表示的数越举越多，最终发现举不完，感受无限、无穷的思想，而这些数都可以被一个小小的字母囊括，借助信息技术设计将这些数都收向字母的动画效果，满天繁星闪烁之后露出晴朗的夜空，这很具有冲击力，如此就驱动学生将字母表示具体数类推为可以表示任意数，感受字母的不确定性。
2.字母更有概括性——概括不变。
学生自主表示小棒根数的过程中，有两个作品十分有趣，值得推敲：一个是b=3a，另一个是3a=3×a。两个作品都不约而同地想要构建成等量关系的形式，等式的左边都表示小棒的根数，右边表示计算的过程，即三角形个数乘3。学生就此展开讨论。
师：看明白这两个作品了吗？有什么想法？
生1：在含有字母的式子中乘号可以省略不写，可以写成3a=3a。
生2：不如直接用3a表示。
生3：那不就不知道3a表示的是什么了吗？
生4：我们就是在表示小棒根数的，所以3a 就可以表示小棒的根数。
师：有道理，从3a中你还能读出来什么？
生5：3a也可以表示三角形个数乘3，所以还表示小棒根数是三角形个数的3倍。
生4：也就是3a既表示小棒根数，也表示小棒根数和三角形个数之间的关系。
师：a表示的数一直在变化，在不断变化中有什么是永远不变的？
生6：三角形的个数和小棒根数之间的关系是不变的。
教师重视引导学生理解含有字母的式子既能表示结果又能体现关系，作为结果，字母可以表示一类数展现出不同结果，而关系
则是借助字母概括出变化数据中拥有的一般规律，即若干事物的共同属性。基于学生生成的作品，通过对具体例子的观察、分析，可以归纳出小棒根数与三角形个数之间的关系。
字母具有包容变化的简洁性，更有概括不变的一般性。
（三）代数开端，更是函数的起点。
1.字母在不同情境中范围不同。
“用字母表示数”一课被定位为小学阶段“代数”的种子课，它是代数的起点，不只是因为字母符号的出现。早在《几何原本》中就出现了字母，但并没有体现出代数思维，而在《九章算术》中，就运用了代数的观念来求解方程，但并没有使用字母。也就是说，字母的使用不是代数的充分必要条件，“分析+概括”才是代数思维的核心。学生理解字母可以表示一类数后，应当引导学生在不同的情境中比较字母不同的取值范围。
师：字母a在表示三角形个数时可以代表任意的正整数，这里用280-a表示剩余路程，a 可以是哪些数？
生1：也可以是任意正整数。
生2：不行，有范围，只能在0到280之间，不能超过总路程。
生3：行驶的路程和三角形的个数不同，可以是小数，也可以是分数。
师：a表示三角形的个数可以无限大，表示已行路程的时候却有范围，那第一个a是不是可以表示更多的数？
生4：不是，把这条路看作线段，线段上任意一个点a都能表示，也是无数个。
师：真厉害！我们以前使用过的字母都可以表示什么数呢？
生5：内角和公式中用n表示多边形的边数，这个n是大于等于3的整数。
生6：用字母表示运算律时什么数都可以，甚至负数都行，字母真厉害！
学生理解了不同情境中，
同样的字母可以
表示不同含义，表示的数也会根据情境的变化
而产生变化，这为之后学习正比例、反比例以及更多函数知识打下了基础。
2.关注量与量之间的变化关系。
代数思维常用符号来表示规律，表示量与量之间相等、不等和变化的关系，通过符号与符号之间的运算来“一类一类”地解决问题，进行一般性运算和推理。
在学习“用字母表示数”时，应该帮助学生理解两个量之间的关联性，比如用3a 表示小棒的根数，随着a 增大，3a 也会增大。再比如用280-a 来表示剩余的路程，随着a 的增大，280-a 会越来越小。借助信息技术还原开车的真实情境，学生拉动小车，充分感受这条公路的长限制了a 的范围，也在拖拽的过程中深刻感受已行的路程和剩下的路程之间的关联变化。
代数思维初期的教学，应该让学生在活动中体悟“变量”“函数”等一系列数学思想。
3.感悟字母可以参与运算。
字母可以参与运算是借助符号进行推理的一个重要基础，大部分老师认为字母的教学是为“简易方程”服务的，但2022年版课标中将方程的内容从小学阶段移除了。方程使已知数与未知数处于同等地位参与列式和运算，这为研究问题和解决问题带来便利，从这个角度看有些遗憾。但算术思维是对具体的数的运算，而代数思维的对象除了数的运算还有变量，方程中的未知数解出的值依然是定值，加深了学生对符号表示未知性的理解，但阻碍了学生感悟符号的一般性。
在教学中字母可以参与运算的思想也可以
不及物动词有哪些
渗透，如用280-a 表示剩余路程时，a 一直在变化，280-a 也会随之变化，可当a 的值确定了，280-a 的值也就确定了，在变化中感受不变，感受代数的思维，这为中学的学习奠定了基础。三、符号有利于表达，更帮助学生拥有数学
的眼光观察世界
化，核心素养的解释中，符号意识是拥有“数学的眼光”的表现。明明符号在表达上的简洁性极强，为何没有归为“数学的语言”？
我认为，符号是代数的一个重要基础，它不仅仅是让学生会使用严谨的数学语言系统，更多的应该是提供培养学生数学抽象、数学建模等素养的活动经验，让学生学会用多种方式表达一般化的数学规律等。到了更高的年级，逐步能够利用数学符号建立模型或者法则，在解决问题的过程中，实现数学符号作为现实世界与数学世界之间联结的价值。
“代数不是一门或两门孤立的课程，而是一种连贯的思维与问题解决的方式，应该从小学开始，延伸到整个数学教育。”从小到大，从易到难，从简到繁，从用到理解，从数量关系升华为用字母来表示，“用”在“学”之前，这是尊重儿童数学思维发展的设计，也是提升儿童符号意识的重要路径。
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（作者单位：南京师范大学附属小学）
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