【教学定位】
数据的收集、整理与表达包括数据的收集，也包括用统计图表、用平均数和百分数等统计量表达数据。统计量常常用于“估计总体数据特征”，如表示集中程度的平均数、中位数、众数等，再如表示离散程度的标准差、方差、极差、百分位数等。
百分数在实际生活中有着广泛的应用，统计中经常使用百分数，百分数有利于表
达、比较与判断。百分数是两个数量之间倍数关系的刻画和表达，它一方面可以对人数
占比、成分占比、利率等确定性数据进行刻画和
表
达，
另一
方面
也可以对投篮命中率、
降雨天数的占比等随机数据进行统计表达与刻画。
教学中需要强化“用百分数表达随机数据”的理解。生活中有很多事件统计的结果是随机的，如学生每分钟踢毽子的个数、篮球运动员投篮的命中率、一个地区一年的降雨天数等数据都具有随机性。在进行数据收集和统计时，若数据统计达到一定数量，就能发现其中的规律或特征（当统计数据达到足够
多的数量时，还能发现数据的稳定性）。同时，可以用百分数直观刻画两个量之间的倍数关系，从而帮助学生作出判断和决策，如确定“踢毽子”的达标线、判断哪位运动员的投篮水平高、判断下周哪些日子适合举行室外活动等。
为此，需要教师创设真实的问题情境，在学习过程中，帮助学生感受现实生活中存在大量数据，并通过数据统计帮助学生理解生活中的不确定现象，体会借助百分数进行判断与决策的意义，为数据观念的形成奠定经验基础。辉县西沟
如何帮助学生理解“用百分数表达随机数据”呢？本节课基于现有教材，在学生常规学习百分数意义的基础上，通过真实情境驱动，帮助学生进一步理解百分数可以表达随机数据，刻画不确定现象，体会百分数的统计意义。本节课的学习目标如下：
1.在基于真实问题情境深度思考的过程中，经历“用百分数表达随机数据”的过程，感悟百分数的统计意义，能根据数据统计得到的百分数作出判断或决策。
2.经历数据收集、整理与分析的过程，进一步增强用数据分析的方法解决实际问题的
——“用百分数表达随机数据”的教学思考
◇朱德江
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意识，发展数据分析观念，提高数学学习的兴
趣。
【教学实践】
学习活动一：说说百分数的含义情境问题1：说说下面两个百分数的含义。（1）2021年奥运会上，中国获得金牌38枚，约占中国奖牌总数的43%。
（2）601班男生人数是女生人数的80%。结合问题情境1，展开下面的学习过程。
师：谁来说一说，什么是百分数？
生1：百分数表示一个数是另一个数的百分之几。
生
空灵歌曲2：百分数有百分号。
生3：百分数又叫作百分率或百分比。师：（呈现情境问题1）你能解释一下这两个百分数的意义吗？
同桌先说一说，
再全班交流。
生1：43%表示38枚金牌占中国获得的奖牌总数的43%。
生2：中国获得的奖牌总数的43%是金牌的数量。
师：说得很清楚，那么第二个问题中80%的含义呢？
生：男生人数是女生人数的80%。师：想一想，这两个百分数表示的意义有区婴儿便秘怎么办什么方法最有效
别吗？
生：
第一个问题中的43%
表示的是部分与整体的关系，
第二个问题中的80%
表示的是部分与部分的关系。
师：今天这节课我们要进一步学习百分数，看看百分数还可以表示什么。
［分析与思考］通过回顾解读百分数，激活学生已有的“用百分数表达确定现象”的认识，为后续学习以及对比理解奠定基础。
学习活动二：足球比赛中用“抛硬币”决定选边
情境问题2：足球比赛时，裁判员通过抛硬币决定球队“选场地”或“先开球”，为什么大家
都认同这是公平的呢？
结合情境问题2，展开下面的学习过程。师：（呈现情境问题2）在足球比赛中，我们经常看到通过抛硬币决定选择场地，你认为公平吗？
生1：因为硬币的厚薄是相同的，正面朝上和反面朝上的可能性是相同的，所以是公平的。
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生2：我认为是公平的，因为抛硬币是随机的，谁也不能作弊。
生3：抛硬币只有两个结果，正面朝上或反面朝上，可能性都是50%，所以是公平的。
师：确实，从理论上说正面朝上与反面朝上的可能性是相同的，但实际抛硬币是这样的吗？我们一起做实验试一试，操作体验一下，看看是不是都是50%。
学生同桌合作开展抛硬币活动，并记录在学习单（如图1）上。
图1
活动反馈：
（1）呈现三份学习单（如图2），请同桌讨论后说说自己的想法。
图2
师：结合这些数据，说说你的想法。生1：我们抛10次的结果也是正面朝上70%，反面朝上30%，不一定正好各一半。
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生2：会不会因为抛的次数太少了？
（2）现场汇总三个小组的数据（如图3
）及全班数据，请学生继续观察、思考和发表观点。
图3
师：看了三个小组汇总的数据，及全班汇总的数据，现在你又有什么想法？
生1：越来越接近50%了。
生2：看来“抛硬币”不太可能正好是50%。
（3）呈现数学家试验数据（如图4
）[1]，进一
步引导学生观察、思考和发表观点。
图4
师：历史上很多数学家做过“抛硬币”的试验，做得次数非常多，看了这些试验数据你又有什么发现和想法？思考下面两个问题（如图5），小组内交流一下。
问题1：通过“试验分析”，你明白为什么大家认同通过“拋硬币”决定球队选场地是“公平”的了吗？
问题2：用百分数表示正面朝上或反面朝上出现的可能性，你有什么体会呢？
图5
为自己大声喝彩生1：我认为数学家的试验结果基本都接近50%，相差的可以忽略不计，所以是“公平”的。
生2：次数越多试验结果才会越准确。生3：用百分数表示比较直观，容易比较。
师：我们从刚才自己的试验，再到观察数学家的试验数据，发现抛硬币的结果是随机的，但试验次数足够多时，可以发现出现正面朝上或反面朝上的可能性都接近50%，数据波动越来越小，这个差距可以忽略不计了，所以大家都认同用抛硬币的方法选场地是公平的。
［分析与思考］如何让学生对“用百分数表达随机数据”产生真实的体验，从而形成深刻的感悟呢？本节课采用“抛硬币”试验，导引学生参与活动过程。在刻画不确定事件时，常常“用频率估计概率”，在“抛硬币”试验中，通过足够数据的试验，可以发现硬币正面朝上或反面朝上出现的可能性在50%附近波动，从而理解“50%”的统计意义，体会“抛硬币”决定选边的“公平性”。
学习活动三：
投篮命中率
情境问题3
：浙江广厦队的胡金秋是CBA 篮球联赛2020—2021赛季投篮命中率最高的国内运动员。（如表1）
表1
根据数据思考讨论：
（1）预测胡金秋运动员2021—2022赛季投篮的命中率，你认为选择哪一个数据作参照更合适？你预测他的命中率大约是多少？
（2）李运动员2020—2021赛季投篮的命中率是40%。你能预测胡金秋和李运动员2021—2022赛季投篮的命中率谁高吗？
结合情境问题3，展开下面的学习过程。师：浙江广厦队的胡金秋是CBA 篮球联赛2020—2021赛季投篮命中率最高的国内运动员，如果要你预测2021—2022赛季的投篮命中率是多少，你需要什么数据？
生：需要上赛季的投篮命中率是多少。师：（呈现上述表格和问题）老师这里找到
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了两个投篮命中率的数据，请四人小组根据数据讨论这两个问题。
（学生讨论后，请四人小组阐述观点）
组1：我们小组选择66%这个数据做参照，因为选择总场次和总命中率会更准确一些。
生1：我有一个问题，为什么你们不用最后一场的92.3%做数据预测，这是上赛季最后一场，说不定2021—2022赛季都这样准了呢？
组1：因为一场比赛可能会命中率特别高，也可能会特别低，会预测不准。
生1：投篮手感每场不一样，可能这场非常好，而另一场手感不好，比如有一场他投了10个，只命中了1个，他的投篮命中率就下去了。
生2：可以借助刚才“抛硬币”的50%来解释，刚开始我们每人抛了10次，数据相差比较大，后来看到抛的次数是1万多次、2万多次，就越来越接近50%了。
师：现在大家都同意他们选择“66%”这个数据吗？（学生点头同意）下面请汇报第二个问题。
组2：我们认为2021—2022赛季的投篮命中率是胡金秋高，因为这个赛季李运动员的投篮命中率是40%，而胡金秋的投篮命中率是66%，相差比较大。大家同意我们的观点吗？
法国现任总统生1：我同意，因为胡金秋的投篮命中率超过一半，而李运动员不到一半。
生2：我有个疑问，前面说到运动员的投篮手感是不一样的，如果2021—2022赛季李运动员不断练习，手感爆发，比胡金秋高了呢？
组2：这个可能性也是有的，但就如前面说的那样，胡金秋的投篮命中率超过一半，而李运动员不到一半，相差比较大，所以我们预测胡金秋的投篮命中率更高一些。
师：大家看，这个66%是多少场比赛得到的数据？（51场）这个李运动员的40%也是几十场比赛得到的数据，你们觉得这个数据波动会不会很大？
生：（
齐）不会。
师：如果你们觉得一个赛季的数据还不足以说明问题的话，还想要什么数据？
生：上上个赛季。
师：老师查找了三个赛季的数据（如图6），先观察数据，再说说你的想法。
图6
组1：现在我们更能预测2021—2022赛季胡金秋的投篮命中率比李运动员高了，因为胡金秋三个赛季都在60%以上，而李运动员都在40%左右。
师：也就是相关数据越多，越有利于我们判断和预测。如果只有一场比赛的数据，大家都认为不够稳定，而51场比赛得到的66%已经可以用来预测了，但还可以找到多个赛季的数据，这样我们的判断和预测会更有把握。
师：刚才我们学习理解了“抛硬币”问题中50%的含义，还学习理解了投篮命中率66%、40%等百分数的含义，能说一说今天我们学习的百分数与以前学习的百分数有什么区别吗？
生1：今天学习的百分数是要通过多次试验才能得到的。
生2：以前学习的百分数是确定的，如一个班的男生人数是女生人数的百分之几，而今天
学的百分数表示的是不确定的。
师：是的，这是很大的区别，
我们是怎样用
百分数表示这样的不确定事件的呢？（
师生一起
讨论交流，然后呈现下面的流程图，如图7，过
程略）
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作
图7
师：这就是今天学习的“用百分数表达随机数据”，这是一件很有意思的事，本来一件不确定的事，通过数据统计，也能用一个百分数来描述了，并能基于数据进行判断或预测。
［分析与思考］为了帮助学生进一步体会“用百分数能有效刻画不确定现象，依据数据能帮助人们作出判断和决策”，本环节创设了“投篮命中率”的真实情境，采用了真实的数据，以预测与判断的问题驱动学生思考，并通过“整个赛季与一场比赛的命中率”“两位运动员一个赛季的命中率”两组数据的对比思考，激活学生的认知冲突，在对比和辨析中感悟“多次试验后统计得到的百分数”更具有稳定性，能有效刻画随机现象，并帮助人们作出判断和决策。从实际教学过程看，学生的思维活跃、感悟深刻，有效达成了学习目标。
情境问题4：根据天气预报下周降雨概率如表2。
表2
星期降雨概率周一
周二
20%
周三
周四
50%
周五
车水马龙什么意思70%
周六
90%
周日
下周选一天组织50米体质测试，如果由你决定的话，你准备选哪一天？说说你是怎么想的。
结合情境问题4，展开下面的学习过程。
师：（先呈现问题）如果体育老师想下周选一天组织50米体质测试，你建议选哪一天？需要考虑什么问题？
生：需要考虑天气问题，特别是看哪几天可能下雨。
师：（呈现数据）老师查找了下周的降雨概率预报，选择哪一天呢？说说你的想法。
生1：我认为选周三，周三的降雨概率是0，说明是晴天。尽管周一也是晴天，但周日刚结束，可能精力不足，周三可以充分准备。
生2：我认为应该选周一，因为周二有20%的降雨概率，万一下雨了，场地比较湿滑就不能跑了。
师：确实周一和周三都可以选择，但因为学校周一和周三有其他活动，所以体育老师想选择周二上午，你认为可以考虑吗？
生：也是可以的，与周四、周五比，周二降雨概率最小。20%的降雨概率可能会上午不下雨，而下午下雨，所以可以看看周二分时的降雨概率。
师：的确如此，可以看周二分时降雨概率再作出判断。像这样，生活中我们可以通过查找各种数据帮助我们作出判断和决策。关键是大家要学会思考解决这个问题需要什么数据、到哪里查找数据、如何分析数据等。
满天星的图片师：用学到的知识解决生活中的问题，这就是“学数学，长智慧”。
［分析与思考］本环节为应用环节，创设了“降雨概率”的真实情境，以“选择适合的时段开展50米体质测试”的问
题驱动
，引
导学
生应用百分数进行判断或决策，
产生真实、丰富的思考，深化“用百分数表达随机数据”的理解。
参考文献：
[1]陈水明.抛硬币，正面朝上的概率越抛越精确？[J].小学数学教师，2014（12）:71-73.
[2]张丹.小学生如何学习数据分析[M].上海：上海教育出版社,2020：23-24.
[3]朱德江.重塑学习：小学数学深度学习课堂样态新探八讲[M].上海：华东师范大学出版社,2021：9-12.
（作者单位：浙江嘉兴市南湖区教育研究培训中心）WJ
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