转速环PI参数整定详解（三）——转速环开环传函特性及其整定策略（有最终推导结果公式）
3 转速环开环传函及其特性
转速环的传递函数框图中各个环节的来源，在前两个⽂章已经详细说明。接下来就应该对转速环的开环传递函数特性进⾏分析，及其整定策略进⾏详细的探究了。
以上为转速环的传函框图，经过计算可得开环传递函数为（电流环等效于1/3Ts*s+1），转速环的传递函数是⼀个典型⼆型系统，对于典型⼆型系统⽽⾔，要想保证系统性能，仍然是保证中频带的斜率为-20db，中频带宽也需要满⾜系统稳定性、准确性和快速性要求。为了能够更加具体分析⼀个典型⼆型系统具体的性能，则需要对其幅频和相频特性进⾏分析。我想⼤家对于⾃动控制原理这门课肯定不陌⽣，幅频和相频分析能够准确的给出⼀个系统性能指标，因为我们从胡寿松这本⾃动控制原理教材为基础，⼀点⼀点对转速环的性能进⾏分析。
对转速环的开环传函进⾏推导，其过程如下，注意下图第⼀项就是 PI调节器的传递函数。
注意：我们求 PI 的思路，就是先把⼀个响应效果符合预期效果的 KN 和 taoN 计算出来，再反过来推算PI 调节器的 Kp 和 Ki
4 三阶传函的幅频相频图（转速环也是三阶）
在得到转速环的开环传递函数之后，根据前⽂系列⾃动控制原理⽂章中对于⼆阶系统的开环特性分析，我们也应对转速环进⾏开环分析。那么对于转速环⽽⾔，其分析思路与他类似。转速环是⼀个三阶系统，根据上节推导出来的转速环开环传递函数Gopen，可以得到转速环的开环系统框图。系统框
图如下图所⽰：
对于这个地⽅的分析，我们仍然按照⼆阶系统的⽅式分析。有以下⼏个特点：
1、有两个纯积分环节，幅频特性初始斜率为-40dB，初始相位⾓度为-180°。
2、转折频率分为1/0.00004 = 25000rad/s、1/taon。
设开环增益为1，taon为0.01。因此可以得到其相幅特性曲线，如下图所⽰。这⾥解释⼀下，两个转折频率有所不同，第⼀个转折频率是微分环节的转折频率100rad/s，第⼆个转折频率为惯性环节的转折频率25000rad/s，微分环节会导致幅频特性的曲线斜率减⼩，相频幅值上升，所以会在图中出现相频曲线凹凸的地⽅，⽽这个凹凸的范围就是所谓的中频带宽。第⼀个红点左侧是低频带，两个红点中间是中频带，第⼆个红点右侧是⾼频带。
在⾃动控制系统⾥⾯，有两个⾮常关键的结论：中频带宽决定了系统的响应速度，⽽截⽌频率的相位裕度决定了系统的稳定性。那么对于电机控制系统⽽⾔，设计参数的过程就是对这两个指标进⾏优化。下⾯就对具体的电机转速环的参数进⾏设计。
5 转速环具体参数设计
中频带宽和截⽌频率的相位裕度是我们转速环设计的指标。截⽌频率处的相位裕度⽐较好确定，⾄少
为45°，且越⼤越好。那么转速环⼀般需要多⼤的带宽呢？这个我认为是根据采样频率定的，⽐如采样时间为0.00001s，那么惯性环节的转折频率就是
1/0.00004=25000。⽽lg25000 = 4.39。考虑到低频带宽也需要⾄少为1.5的宽度，那么我们的转速环带宽就可以设计为2.5即可。lg25000 - lg x = 2.5。经过计算，微分环节的转折频率 x = 80，那么taon = 1/80 = 0.0125。如果采样频率更⾼的话，可以相应的把中频带宽设计得更宽⼀些，这个就看我们的系统了，其计算⽅法是⼀致的。
第⼀步：设计中频带宽，计算taon。
寒潮预警信号其计算公式如下所⽰：
那么在确定了taon之后，中频带宽也就确定了
第⼆步：设计相位裕度，计算开环增益。这个计算开环增益，我们要取个巧，因为我们知道相频曲线的最⾼点，肯定是相位裕度最⼤的点。并且这个点也是两个转折频率的中点，如果我们将截⽌频率恰好设计到两个转折频率的中点，就能保证相位裕度为最⼤值。
⽐如我们刚刚说的第⼆个转折频率 lg25000 = 4.39(4.4)，⽽第⼀个转折频率为 lg80 = 1.9。那么中点的位置就是 1.9+2.5/2=3.15。
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那wc和KN⼜有什么关系呢？这⾥我直接给出来吧。
最终得到关系式：
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根据 KN 、 taon 和 转速环PI调节器 Kp 和 Ki 之间的关系可得（补充⼀下：因为我的系统近似是4Ts，这⾥将4Ts看作⼀个量Tsm，其实也有时候不⼀定是 4Ts）：
6 转速环反馈效果
根据带宽h，Ts还有电机参数，算出来的参数带⼊系统中看看效果。在0.1秒施加额定转矩，可以看到转速效果较好的跟随。幅频特性也整定到了我们需要的效果了。
⼩结：
从上⾯的分析，我们再来个回溯，从调节PI调节器的过程中Kp 和 Ki 的变化回溯到幅频曲线性能。毕竟我们调试的时候调试的是Kp 和 Ki ，就再探究⼀步，探究到底，看看我们调试过程中对Kp和Ki的修改到底对系统造成了什么影响。
黄龙寺第⼀步：拆解PI 调节器
第⼆步：分析变化增⼤ KN ==> 幅频曲线向上移动，截⽌频率 wc 增⼤ 增⼤ taoN ==> 1/taoN 减⼩ ==> 转折频率左移 ==> 中频带宽变宽减⼩ KN ==> 幅频曲线向下移动，截⽌频率 wc 减⼩
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我的好心情减⼩ taoN ==> 1/taoN 增⼤ ==> 第⼀个转折频率右移 ==> 中频带宽变窄
不同 KN taoN 系统的幅频相频特性曲线图，从图中可以看出符合上述结论。
观察 KN = 1e5 taoN = 0.0126 和 KN = 1e6 taoN = 0.0126 KN的仿真结果，可知增⼤会使得幅频曲线上移，截⽌频率 wc（幅频曲线与0轴的交点）变⼤，但是相频曲线不变化，从⽽也导致了截⽌频率处的相位裕度不再是最优点90°，减⼩了约30°。
观察 KN = 1e6 taoN = 0.0126 和 KN = 1e6 taoN = 0.00126 KN的仿真结果，可知增⼤ taoN，会使
得第⼀个转折频率左移，幅频曲线转折点提前，因此相对于 KN = 1e6 taoN = 0.0126 的截⽌频率更⼩，在 taoN = 0.00126 时截⽌频率 wc 更⼩，相频曲线变化明显，中频带变窄，系统相位裕度整体降低。
第三步：推导 KN、taoN 与 Kp 、Ki 的关系
从上⾯的传递函数分析我们可以发现⼀个关键问题，KN和taoN同时决定了系统的性能，调节Kp和Ki轻松的成语
会相应引起这个两个参数的变化。所以⼤家看，这就是为什么要进⾏那么多⽂章的分析，且⾮要对KN和taoN抓着不放，因为KN和taoN这两个变量能够单独决定系统的单⼀某个性能，但是Kp 和 Ki不⾏，我们如果把这个KN 和 taoN分析透彻了，那Kp 和 Ki是不是都解决了。
经过推导，KN 、taoN 和 Kp Ki关系如下：
通过对上式进⾏分析，可得到以下结论：
增⼤ Kp 不变Ki ==> taoN 增⼤，KN不变==> 1/taoN 减⼩ ==> 第⼀个转折频率左移（第⼀个转折频率由 1/taoN 决定） ==> 中频带宽变宽，同时导致截⽌频率 wc 增⼤（原因：斜率为 -40dB 的持续时间变短）
减⼩ Kp 不变Ki ==> taoN 减⼩，KN不变 ==> 1/taoN 增⼤ ==> 第⼀个转折频率右移（第⼀个转折频率由 1/taoN 决定） ==> 中频带宽变窄，同时导致截⽌频率 wc 减⼩（原因：斜率为 -40dB 的持续时间变长）
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增⼤ Ki 不变Kp ==> taoN减⼩，KN 增⼤ ==> 幅频向上移动，第⼀个转折频率右移 ==> 中频带宽变窄，截⽌频率的变化决定于增⼤幅度
减⼩ Ki 不变Kp ==> taoN增⼤，KN 减⼩ ==> 幅频向下移动，截⽌频率 wc 减⼩ ==> 中频带宽变宽，截⽌频率的变化决定于减⼩幅度
第四步：实验改变 Kp 、Ki 的对幅频特性相频特性影响。
今天先分析到这⾥，明天把具体调节Kp和 Ki的过程中幅频曲线变化的情况，以及阶跃响应的结果，这将更为直接的对Kp和 Ki 对系统的影响进⾏分析。留个底留个底。
（1） Kp =0.4，Ki = 31时，幅频相频曲线如下图所⽰，这是我整定过的，从图中可以看出截⽌频率 wc 处具有最⼤的相位裕度，此时中频带宽为 2.5 。
