求线性时不变系统的平衡点，并判断其稳定性
题目：
已知系统：X'=AX+Bu, y=CX+Du
（1） 计算系统的平衡点，即获取系统在阶跃输入下的平衡点，
（2） 并考察平衡点的稳定性（求特征值）
讲解：
（1）求平衡点
(a). 线性化：将状态空间所描述的线性系统输入输出关系由下式表示：x’=Ax+Bu
y=Cx+Du
其中：x 代表状态矢量
y代表输出矢量
u代表输入矢量
A,B,C,D为系统线性化的状态空间矩阵
刘文华书法 如创建用于线性化的系统模型名为lmod，并保存为”lmod.mdl”.
在命令窗口输入命令 [A B C D]=linmod(‘lmod’)就可以获得系统的常微分方程 lmod的状态空间线性模型，返回系统线性化的状态空间矩阵。
[A B C D]=linmod(‘lmod’)
（[A,B,C,D]=LINMOD('SYS') obtains the state-space linear model of the
system of ordinary differential equations described in the
block diagram 'SYS' when the state variables and inputs are t
to the defaults specified in the block diagram.）
（b）由状态方程转成LTI对象(transfer state equations to LTI object)：一旦数据形成了状
态空间形式或者转变成了LTI对象，就可以使用Control System Toolbox函数进行进一步的分析。
利用ss函数可将上面线性化的系统转成LTI对象，命令格式为：
sys=ss(A,B,C,D)
(c) 绘制波德图:(Bode plot drawing) 用bode 函数可绘制波德图，（相位、幅值与频率的关系图）
bode(A,B,C,D) 或 bode(sys)majoy
BODE(SYS) draws the Bode plot of the LTI model SYS (created with
either TF, ZPK, SS, or FRD). The frequency range and number of
points are chon automatically.
（d）线性时间响应(Linear time respon):
给一个阶跃信号(step signal)：step(A,B,C,D) 或 step(sys) 线性化阶响应
或给一个脉冲信号(impul)：impul(A,B,C,D) 或 impul(sys)线性化脉冲响应
（e）求系统平衡点(find the balance point of system)：在非线性系统中，分析评估系统稳定性或稳定状态时大多需要用到平衡点。平衡点是指所有状态导数等于零的点。若仅有部分状态导数等于零，则称为偏平衡点。
要使输出为1，并找出输入以及状态值时，可用”trim”函数来实现。
以前面创建的”lmod”模型为例：
%第一步：对状态变量x以及输入u做初步设定，并设定想要的输出值。 x=[0;0;0];
u=0;
y=[1;1];
%第二步：使用索引变量确定那些值可变，那些是固定不变的。
ix=[ ]; %任何状态值可变
iu=[ ]; %任何输入可变
iy=[1,2]; %两个输出不能变
%第三步：调用trim函数，求出系统平衡点。
[x,u,y,dx]=trim(‘lmod’,x,u,y,ix,iu,iy)
具体程序如下：
[A,B,C,D]=LINMOD('lmod') %系统线性化的状态空间矩阵
sys=ss(A,B,C,D) %由状态方程转成LTI对象
figure(1)
bode(sys) %绘制波德图，（相位、幅值与频率的关系图）
figure(2)
step(A,B,C,D) %线性时间响应
x=[0;0;0]; %设定状态变量
u=0; %设定输入值
y=[1;1]; %设定想要的输出值汽车用英语怎么说
ix=[]; %表示状态不固定
iu=[]; %表示输入不固定
iy=[1,2]; %固定第一个输出及第二个输出
[x,u,y,dx]=trim('lmod',x,u,y,ix,iu,iy) %求系统平衡点
燕麦灵A = -1 0 -2
-2 1 1
0 1 0
B = 0
1
0
C = -2 0 0
0 0 -2
D = 1
0
a = x1 x2 x3
x1 -1 0 -2
x2 -2 1 1
x3 0 1 0
b = u1楚巴
x1 0
x2 1
x3 0
c = x1 x2 x3
y1 -2 0 0
y2 0 0 -2
d = u1
y1 1
y2 0
x = 1.3333
劳动法年假规定 0.0000
-0.6667
u = 3.3333
y = 0.6667
1.3333
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0
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（2）求平衡点处的稳定性。
判定系统稳定性（Lyaponov稳定判据）
对于线性时不变系统，若系统矩阵A的特征值具有非正实部，实部为零或为负，则系统稳定。反之，系统不稳定。
>> [V D]=eig(A)
V =
0.8398 0.8398 -0.4636
-0.3230 - 0.3788i -0.3230 + 0.3788i 0.1649
-0.2087 - 0.0582i -0.2087 + 0.0582i 0.8706
D =
-1.0947 + 1.2837i 0 0
0 -1.0947 - 1.2837i 0
0 0 -2.8105
>>特征值实部均为负，故该系统稳定。
