5.4 频域稳定判据
5.4.1 奈奎斯特稳定判据
闭环控制系统稳定的充要条件是：闭环特征方程的根均具有负的实部，或者说，全部闭环极点都位于左半s 平面。第3章中介绍的劳斯稳定判据，是利用闭环特征方程的系数来判断闭环系统的稳定性。这里要介绍的频域稳定判据则是利用系统的开环频率特性)(ωj G 来判断闭环系统的稳定性。
频域稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，它是频率分析法的重要内容。利用奈奎斯特稳定判据，不但可以判断系统是否稳定（绝对稳定性），也可以确定系统的稳定程度（相对稳定性），还可以用于分析系统的动态性能以及指出改善系统性能指标的途径。因此，奈奎斯特稳定判据是一种重要而实用的稳定性判据，工程上应用十分广泛。绿红妆
1．辅助函数
对于图5-33所示的控制系统结构图，其开环传递函
数为
)()()()()(0s N s M s H s G s G =
= （5-59）
相应的闭环传递函数为 )()()()()
(1)()(1)()(000s M s N s G s N s N s G s G s G s +=+=+=Φ （5-60） 式中，为开环传递函数的分子多项式，阶；为开环传递函数的分母多项式，阶，。由式(5-59)、式(5-60)可见，)(s M m )(s N n m n ≥)()(s M s N +和分别为闭环和开环特征多项式。现以两者之比构成辅助函数
)(s N ()()()1()()
M s N s F s G s N s +==+ （5-61） 实际系统传递函数分母阶数n 总是大于或等于分子阶数，因此辅助函数的分子、分母同阶，即其零点数与极点数相等。设)(s G m 1z −，2z −，…，n z −和1p −，，…，分别为其零、极点，则辅助函数可表示为
2p −n p −)(F s )
())(()())(()(2121n n p s p s p s z s z s z s s F ++++++=L L
震荡波病毒（5-62）
综上所述可知，辅助函数具有以下特点：
易中天品三国
)(s F （1）辅助函数是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。
)(s F （2）的零点和极点的个数相同，均为个。
)(s F n （3）与开环传递函数之间只差常量1。)(s F )(s G )(1)(s G s F +=的几何意义为：F 平面上的坐标原点就是G 平面上的（0,1j −）点，如图5-34所示。
2．幅角定理
辅助函数是复变量的单值有理复变函数。由复变函数理论可知，如果函数在平面上指定域内是非奇异的，那么对于此区域内的任一点d ，都可通过的映射关系在平面上找到一个相应的点 (称为d 的像)；对于平面上的任意一条不通过任何奇异点的封闭曲线)(s F s )(s F s )(s F )(s F 'd 'd s )(s F Γ，也可通过映射关系在平面(以下称)(s F Γ平面)找到一条与它相对应的封闭曲线 (称为的像)，如图5-35所示。
'Γ'Γ
Γ
图5-35 平面与平面的映射关系
s F 设平面上不通过任何奇异点的某条封闭曲线s )(s F Γ，它包围了在平面上的)(s F s Z 个零点和P 个极点。当以顺时针方向沿封闭曲线s Γ移动一周时，则在平面上相对应于封闭曲线的像将以顺时针的方大家一起来歌词
向围绕原点旋转F Γ'ΓR 圈。R 与Z 、的关系为
P P Z R −= （5-63）
3．奈奎斯特稳定判据
为了确定辅助函数位于右半平面内的所有
零、极点数，现将封闭曲线扩展为整个右半平面。为
此，设计)(s F s Γs Γ曲线由以下3段所组成：
ⅰ– 正虚轴ωj s =：频率ω由0变到∞；
ⅱ–半径为无限大的右半圆：
θj e R s =∞→R ，θ由2π变化到2π−；
ⅲ– 负虚轴ωj s =：频率ω由∞−变化到0。提升网速
这样，3段组成的封闭曲线（称为奈奎斯特路径，
简称奈氏路径）就包含了整个右半平面，如图5-36
所示。
Γs 图5-36 奈奎斯特路径
在平面上绘制与F Γ相对应的像'Γ：当沿虚轴变化时，由式（5-61）则有
s )(1)(ωωj G j F += （5-64）
式中，)(ωj G 为系统的开环频率特性。因而将由下面几段组成：
'Γ ⅰ– 和正虚轴对应的是辅助函数的频率特性)(ωj F ，相当于把)(ωj G 右移一个单位；
ⅱ–和半径为无穷大的右半圆相对应的辅助函数。由于开环传递函数的分母阶数高于分子阶数，当时，，故有1)(→s F ∞→s 0)(→s G 1)(1)(→+=s G s F ；
ⅲ–和负虚轴相对应的是辅助函数频率特性)(ωj F 对称于实轴的镜像。
图5-37绘出了系统开环频率特性曲线)(ωj G 。将曲线右移一个单位，并取镜像，则成为平面上的封闭曲线F 'Γ如图5-38所示。图中用虚线表示镜像。
对于包含了整个右半平面的奈氏路径来说，式（5-63）中的s Z 和P 分别为闭环传递函数和开环传递函数在右半平面上的极点数，而s R 则是平面上F 'Γ曲线顺时针包围原点的圈数，也就是平面上系统开环幅相特性曲线及其镜像顺时针包围（G 0,1j −）点的圈数。在实际系统分析过程中，我们一般只绘制开环幅相特性曲线不绘制其镜像曲线，考虑到角度定义的方向性，有
N R 2−= （5-65） 其中，是开环幅相特性曲线N )(ωj G （不包括其镜像）包围G 平面（0,1j −）点的圈数（逆时针为正，顺时针为负）。将式（5-65）代入式（5-63），可得奈奎斯特判据（简称奈氏判据）：
N P Z 2−= （5-66）
式中，Z 是右半平面中闭环极点的个数，是右半平面中开环极点的个数，是G 平面上s P s N )(ωj G 包围（0,1j −）点的圈数（逆时针为正）。显然，只有当时，闭环系统才是稳定的。
2=−=
N P Z .
图5-37 )(ωj G 特性曲线 图5-38 平面上的封闭曲线
F 例5-9 设系统开环传递函数为
)
52)(2(52)(2+++=s s s s G
试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。
图5-39
幅相特性曲线及其镜像
解 绘出系统的开环幅相特性曲线如图5-39所
示。当0=ω时，曲线起点在实轴上2.5)0(=j G 。
当∞→ω时，终点在原点。当5.2=ω时曲线和负
虚轴相交，交点为。当06.5j −3=ω时，曲线和负
实轴相交，交点为0.2−。见图5-39中实线部分。
在右半平面上，系统的开环极点数为0。
开环频率特性s )(ωj G 随着ω从变化到0∞+时，
星辰闪烁顺时针方向围绕点（）一圈，即0,1j −1−=N 。
用式（5-66）可求得闭环系统在右半平面的极点数为 s 2)1(202=−×−=−=N P Z
所以闭环系统不稳定。
利用奈氏判据还可以讨论开环增益K 对闭环系统稳定性的影响。当K 值变化时，幅频特性成比例变化，而相频特性不受影响。因此，就图5-39而论，当频率3=ω时，曲线与
负实轴正好相交在（0,2j −）
点，若K 缩小一半，取6.2=K 时，曲线恰好通过点（），这是临界稳定状态；当时，幅相特性曲线0,1j −6.2<K )(ωj G 将从点（0,1j −）的右方穿过负实轴，不再包围点（），这时闭环系统是稳定的。
0,1j −例5-10 系统结构图如图5-40所示，
试判断系统的稳定性并讨论K 值对系统稳定性的
影响。
图5-40 例5-10系统结构图 图5-41 1>K
真没想到和1<K 时的幅相
特性曲线 解 系统是一个非最小相角系统，开环不稳定。开环传递函数在右半平面上有一个极点， s 1=P 。幅相特性曲线如图5-41所示。当0=ω时，曲线从负实轴点（）出发；当0,j K −∞→ω时，曲线以趋于坐标原点；幅相特性包围点（o 90−0,1j −）的圈数与N K 值有关。图5-41绘出了1>K 和1<K 的两条曲线，可见：
当1>K 时，曲线逆时针包围了点（0,1j −）的21圈，即21=N ，此时
留一点爱
0)21(212=×−=−=N P Z ，故闭环系统稳定；当1<K 时，曲线不包围点（），
即，此时0,1j −0=N 10212=×−=−=N P Z ，
有一个闭环极点在右半平面，故系统不稳定。 s 5.4.2 奈奎斯特稳定判据的应用
如果开环传递函数在虚轴上有极点，则不能直接应用图5-36所示的奈氏路径，因为幅角定理要求奈氏轨线不能经过的奇点，为了在这种情况下应用奈氏判据，可以对奈氏路径略作修改。使其沿着半径为无穷小（）的右半圆绕过虚轴上的极点。例如，当开环传递函数中有纯积分环节时，s
平面原点有极点，相应的奈氏路径可以修改如图5-42所示。图中的小半圆绕过了位于坐标原点的极点，使奈
氏路径避开了极点，又包围了整个右半平面，前述的奈氏判
据结论仍然适用，只是在画幅相特性曲线时，s 取值需要先从
绕半径无限小的圆弧逆时针转到，然后再沿虚轴
到)(s G )(s F 0→r s 0j o 90+0j ∞j 。这样需要补充小圆弧所对应的+
→=00j j s )
(ωj G 特性曲线。
图5-42 开环含有积分 环节时的奈氏路径
设系统开环传递函数为 11(1()(1m i i n v v j j K s G s s T s τ=−=)
)
+=+∏∏ 式中，v 为系统型别。当沿着无穷小半圆逆时针方向移动时，有0lim jv r s re θ→=，映射到G 平
面的曲线可以按下式求得
001lim 01lim (1)()lim (1)
j r j r m i jv jv i n v v
s re r v j j s re K s K G s e e r s T s θθ
θθτ→→−=−=→==+=
=+∏∏−=∞ （5-67） 由上述分析可见，当沿小半圆从s 0=ω变化到时，+=0ωθ角沿逆时针方向从0变化到2π，这时G 平面上的映射曲线将从)0(j G ∠位置沿半径无穷大的圆弧按顺时针方向转过2v π−角度。在确定)(ωj G 绕点)01(j ，−圈数的值时，要考虑大圆弧的影响。
N 例5-11 已知开环传递函数为
)
1()(+=Ts s K s G 其中，T ，绘制奈氏图并判别系统的稳定性。
0>K 0>
