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代数拓扑中微分形式
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微分形式是一个在微积分和拓扑学中的重要概念。它是一个多项式函数在每个点处的线性变换，可以用于描述曲线、曲面和更高维度的对象的性质。
微分形式的定义
设 $M$ 是一个 $n$ 维光滑流形，$\Lambda^k(T^*M)$ 表示 $M$ 上所有 $k$ 阶微分形式组成的向量空间。则 $\Lambda^k(T^*M)$ 中每个元素都可以表示为以下形式之一：
$$\omega = \sum_{i_1 < i_2 < \cdots < i_k} f_{i_1, i_2, \cdots, i_k} dx^{i_1} \wedge dx^{i_2} \wedge \cdots \wedge dx^{i_k}$$
其中 $dx^i$ 表示 $M$ 上某点处沿第 $i$ 个坐标轴方向的切向量，$\wedge$ 表示外积运算符，$f_{i_1, i_2, \cdots, i_k}$ 是实值函数。
微分形式的性质
1. 外积运算符满足反交换律：$\omega_1 \wedge \omega_2 = (-1)^{kl}\omega_2 \wedge \omega_1$
其中 $\omega_i\in\Lambda^k(T^*M)$，$l$ 表示 $\omega_1$ 中 $dx$ 的个数。
2. 外微分运算符 $d:\Lambda^k(T^*M)\rightarrow\Lambda^{k+1}(T^*M)$ 满足反对称性、线性性和 Leibniz 法则：
$$\begin{aligned} &d(\omega_1+\omega_2)=d\omega_1+d\omega_2 \\ &d(f\omega)=df \wedge \omega + (-1)^k f d\omega \\ &d(\omega_1 \wedge \omega_2)=d\omega_1 \wedge \omega_2 + (-1)^k \omega_1 \wedge d\omega_2 \end{aligned}$$
其中 $\omega_i\in\Lambda^k(T^*M)$，$f$ 是光滑函数。
3. 外微分的平方为零：$d^2=0$
微分形式在拓扑学中的应用
微分形式在拓扑学中有广泛的应用，下面介绍其中的两个例子。
例子一：德拉姆上同调
德拉姆上同调是一个将微积分和拓扑学结合起来的工具。它是一个从流形 $M$ 到实数域 $\mathbb{R}$ 的一系列向量空间：
$$H_{DR}^k(M)=Z_{DR}^k(M)/B_{DR}^{k-1}(M)$$
其中 $Z_{DR}^k(M)$ 表示 $M$ 上的 $k$ 阶闭微分形式组成的向量空间，$B_{DR}^{k-1}(M)$ 表示 $M$ 上的 $(k-1)$ 阶恰当微分形式组成的向量空间。
为什么excel求和总是0德拉姆上同调可以用来描述流形的拓扑性质，例如欧拉数、方向性等。
例子二：黎曼曲面
黎曼曲面是一个复一维流形。它有一个自然的微分形式 $dz$，满足 $d(dz)=0$。这个性质可以用来证明黎曼-罗赫定理：任何亚纯函数都可以表示为一个幂级数。
结语
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微分形式是代数拓扑中的重要工具之一，它可以用来描述流形的拓扑性质和几何性质。在实际应用中，我们需要深入理解微分形式的定义和性质，并学会使用它们来解决问题。
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