gamma分布_如何通俗的理解伽马（gamma）函数
如何通俗的理解伽马(gamma)函数 - 直觉，求导和⽰例
我为什么要在乎garmma分布？
使⽤伽马函数定义了许多概率分布，例如伽马分布，Beta分布，狄利克雷分布，卡⽅分布和学⽣t分布等。 对于数据科学家，机器学习⼯程师，研究⼈员来说，伽马函数可能是⼀种最⼴泛使⽤的功能，因为它已在许多分布中使⽤。然后将这些分布⽤于贝叶斯推理，随机过程（例如排队模型），⽣成统计模型（例如潜在狄利克雷分配）和变分推理。因此，如果您很好地了解了Garmma功能，您将对其中出现的许多应⽤程序有更好的了解！物品清单
1.为什么需要伽玛功能？
因为我们要泛化阶乘！
三只脚阶乘函数仅针对离散点（对于正整数-上图中的⿊点）定义，但是我们希望连接⿊点。我们想将阶乘函数扩展到所有复数。阶乘的简单公式x！= 1 * 2 … x，不能直接⽤于⼩数值，因为它仅在x是整数时才有效。 因此，数学家⼀直在寻找...
“什么样的function将这些点平滑地连接起来，并为我们提供所有实际值的阶乘?”
但是，他们找不到可以表⽰x的和，乘积，幂，指数或对数的* 有限*组合！直到…的实数.
2.欧拉发现了伽玛函数。（在18世纪）
上⾯的公式⽤于找到z的任何实数值的Gamma函数的值。 假设您要计算Γ（4.8）。您将如何解决上述
整合？ 可以⼿动计算Γ（4.8）吗？也许使⽤零件积分？病假工资如何计算
试试看，让我知道您是否找到有趣的⽅式！对于我（以及到⽬前为⽌的许多其他⼈）⽽⾔，没有快速简便的⽅法⼿动评估分数的Gamma函数。（如果您有兴趣⽤⼿解决它，这是⼀个很好的起点。） 好吧，那么就不⽤分析了。您能否实现从0到⽆穷⼤的积分-以编程⽅式添加术语“⽆限次”？
您可以通过⼏种⽅法来实现。最常⽤的两种实现是斯特林近似 和Lanczos近似。
[For implementation addicts:] For implementation addicts: the codes of Gamma function (mostly Lanczos
approximation) in 60+ different language - C, C++, C#, python, java, etc.
让我们计算Γ（4.8）使⽤计算机在已经实现的。
我们得到了17.837。 正如我们所期望的，17.837介于3！（=Γ（4）= 6）和4！（=Γ（5）= 24）之间。 （当z是⾃然数
时，Γ（z）=（z-1）！我们将很快证明这⼀点。） 与只需要正整数的阶乘不同，我们可以将任何实数/复数输⼊z，包括负数。Gamma函数连接⿊点，并很好地绘制曲线。
Confusion-buster: 我们正在积分从0到⽆穷⼤的x（NOT z）。 · x是正在集成的辅助变量。 · 我们没有将4.8插⼊x。我们将4.8插⼊z。
3. Gamma函数如何对阶乘函数进⾏插值？
如果看⼀下Gamma函数，您会注意到两件事。 ⾸先，相对于z，它绝对是⼀个递增函数。 其次，当z是⾃然数时，Γ（z + 1）= z！ （我保证我们会尽快证明这⼀点！） 因此，我们可以期望Gamma函数连接阶乘。
Gamma函数如何以当前项x ^ z和e ^ -x结束？ 我不确切知道欧拉的思维过程是什么，但是他是发现⾃然数e的那个⼈，因此他必须做很多实验，将e与其他函数相乘才能找到当前形式。
4. Gamma函数的图形是什么样的？
当x变为⽆穷⼤∞时，第⼀项（x ^ z）也变为⽆穷⼤∞，但是第⼆项（e ^ -x）变为零。
然后，伽玛函数会收敛到有限值吗？
我们可以使⽤L'Hôpital规则严格证明它收敛。但是我们也可以毫不费⼒地看到它的融合。如果您考虑⼀下，我们正在积分x ^ z（⼀个多项式递增函数） 和e ^ -x（⼀个 指数递减函数）的乘积。因为e ^ -x的值 下降快于x ^ z的值，所以Gamma函数很可能收敛并具有有限的值。 让我们绘制每个图形，因为眼见为实。
x ^ z * e ^ -x的图 让我们看⼀下Γ（4.8）的情况。
图下绿⾊阴影区域从0到⽆穷⼤，Γ（4.8）= 3.8！ Python代码⽤于⽣成上⾯的漂亮图。⾃⼰绘制，看看z如何改变Gamma函数的形状！
>>>>##### f(x) = exp(-x) graph #
>>>>####import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Create x and y
x = np.linspace(-2, 20, 100)
y = np.exp(-x)
# Create the plot
fig, ax = plt.subplots()
圆排列plt.plot(x, y, label='f(x) = exp(-x)', linewidth=3, color='palegreen')
# Make the x=0, y=0 thicker
ax.t_aspect('equal')
ax.t_aspect('equal')
ax.axhline(y=0, color='k')
ax.axvline(x=0, color='k')
# Add a title
plt.title('f(x) = exp(-x)', fontsize=20)
# Add X and y Label
plt.xlabel('x', fontsize=16)
plt.ylabel('f(x)', fontsize=16)
# Add a grid
# Show the plot
plt.show()
>>>># f(x) = x^z graph #
>>>>import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Create x and y
x = np.linspace(0, 2, 100)
y1 = x**1.3
y2 = x**2.5
y3 = x**3.8
# Create the plot
fig, ax = plt.subplots()杭州特产
plt.plot(x, y1, label='f(x) = x^1.3', linewidth=3, color='palegreen')
plt.plot(x, y2, label='f(x) = x^2.5', linewidth=3, color='yellowgreen')
plt.plot(x, y3, label='f(x) = x^3.8', linewidth=3, color='olivedrab')
# Make the x=0, y=0 thicker
ax.t_aspect('equal')
ax.axhline(y=0, color='k')
ax.axvline(x=0, color='k')
# Add a title
plt.title('f(x) = x^z', fontsize=20)
# Add X and y Label
plt.xlabel('x', fontsize=16)
plt.ylabel('f(x)', fontsize=16)
# Add a grid
超级神鸡
# Add a Legend
plt.legend(bbox_to_anchor=(1, 1), loc='best', borderaxespad=1, fontsize=12) # Show the plot
plt.show()
>>>>>>## f(x) = x^(3.8)*e^(-x) graph #
>>>>>>#import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Create x and y
x = np.linspace(0, 20, 100)
y = x**3.8 * np.exp(-x)
# Create the plot
fig, ax = plt.subplots()
plt.plot(x, y, label='f(x) = x^(3.8) * np.exp(-x)', linewidth=3, color='palegreen') ax.fill_between(x, 0, y, color='yellowgreen')
# Make the x=0, y=0 thicker
ax.t_aspect('equal')
ax.axhline(y=0, color='k')
ax.axvline(x=0, color='k')
# Add a title
plt.title('f(x) = x^(3.8)*e^(-x) ', fontsize=20)
# Add X and y Label
plt.xlabel('x', fontsize=16)
plt.ylabel('f(x)' ,fontsize=16)高昌古城
plt.ylabel('f(x)' ,fontsize=16)
梁师都# Add a grid
# Add a Legend
plt.legend(bbox_to_anchor=(1, 1), loc='upper right', borderaxespad=1, fontsize=12)
# Show the plot
plt.show()
5.伽玛函数属性
如果您从这篇⽂章中删除⼀件事，应该是本节。
> 给定z> 1 Γ（z）=（z-1）*Γ（z-1） 或将其写为 Γ（z + 1）= z *Γ（z）
让我们使⽤部分集成和Gamma函数的定义来证明它.
如果n是⼀个正整数 C（n）=（n-1）！
什么是Γ（1） ？
因此，Γ（n）=（n-1）！
您可能还已经看到表达式Γ（n + 1）= n！⽽不是 Γ（n）=（n-1）！。 这只是使右⼿边n！，⽽不是（n-1）！ 我们所做的就是将n移1。
6.使⽤Gamma函数的属性，显⽰Gamma分布的PDF积分为1。
快速回顾⼀下Gamma“分布”（不是Gamma“函数”！）：Gamma分布直觉和推导。 证明如下：
