51,081404(2014)
激光与光电子学进展
Lar&Optoelectronics Progress©2014《中国激光》杂志社
光纤光阱力计算的近似条件及误差分析
熊威肖光宗*韩翔张尧楷黄云罗晖
国防科学技术大学光电科学与工程学院，湖南长沙410073
摘要光纤光镊技术利用光纤出射的光束捕获和操控粒子，其飞速发展对光阱力的理论研究提出了更高的要求。采用射线光学模型对光纤光阱中的米氏微球所受到的光阱力进行数值模拟，讨论了光阱力计算中可采用的近似条件及其应用范围，比较了在近似条件下与直接计算情况下结果的差异，分析了微球与光纤端面之间的距离对近似计算的影响。理论分析和模拟计算表明，当微球与光纤端面之间的距离大于临界值时，可对计算模型中光束在微球表面的入射角、入射点的方位角等角度参量作近似处理，该结论为简化光纤光阱力计算提供了理论依据。
关键词激光技术；光阱力；数值模拟；光纤光镊；近似条件
中图分类号TN249文献标识码A doi:10.3788/LOP51.081404张嫂
Analysis of Approximate Conditions and Error of Trapping Forces
in a Fiber Optical Trap
Xiong Wei Xiao Guangzong Han Xiang Zhang Yaokai Huang Yun Luo Hui College of Optoelectronic Science and Engineering,National University of Defen Technology,
Changsha,Hunan410073,China
Abstract Fiber optical tweezers capture and control particles with fiber output beam.The fast development of fiber optical tweezers puts forward higher requirements to the theoretical study of trapping forces.Numerical simulation of trapping forces of Mie particle who diameter is larger than the free-space wavelength is done, the approximate conditions in trapping forces calculating and its applied range are discusd,the result of direct calculating and the result calculated under the approximate conditions are obtained and compared.Influence on approximately calculating caud by the distance between particle and fiber end is analyzed.The numerical results show that when the distance between particle and fiber end is larger than a certain value d,which is related to radius of w
aist beam,some angle parameters such as the incidence angle and the azimuthal angle can be approximated,and the conclusion provides theoretical reason of simplified fiber optical trapping force calculating.
Key words lar technique;trapping forces;numerical simulation;fiber optical tweezers;approximate
conditions
OCIS codes140.3510;170.4520;350.4855;080.1753
1引言
光镊自诞生以来就一直广受关注，它可以产生皮牛级的微小力以及实现纳米级位移的测量，因此在生物学、医学、物理学以及纳米科技等领域有重要应用[1]。
传统的光镊系统通常由一个倒置的显微镜改装而成，激光束扩束后填满显微镜物镜，在物镜焦平面形成最小的光斑以捕获微粒。光纤光镊系统是利用光纤出射的光束代替由显微物镜聚焦的光束，相比于基于显微镜的光镊系统，具有结构简单、操纵灵活、工作范围大等特点。随着垂直腔面发射半导体激光器(VCSEL)技术的进步，光纤光镊朝着微型化、多功能化发展。已有研究者将多根单模光纤组装在一个微型芯片上，实现光阱的多轴集成[2]。光阱力场的计算和分析是光纤光镊系统的理论和实验基础。
光纤光镊的飞
收稿日期:2014-01-15；收到修改稿日期:2014-03-04；网络出版日期:2014-00-00
作者简介：熊威(1990—)，男，硕士研究生，主要从事光学检测方面的研究。E-mail:
导师简介：黄云(1970—)，男，硕士，教授，主要从事镀膜和光学检测技术等方面的研究。E-mail: *通信联系人。E-mail:
速发展对光纤光阱力计算方法的理论研究提出了更高的要求。
根据微粒半径r 和入射激光波长λ的大小关系，可分别采用射线光学模型、瑞利模型和EM 模型来分析光阱力[3]，它们分别适用于米氏区(r ≫λ)、瑞利区(r ≪λ)和中间区域，相应地有多种光阱力计算方法，包括几何光学近似计算、广义洛伦兹米氏散射理论、T 矩阵方法、时域有限差分法等。射线光学模型是通过计算每一条光线与微粒的相互作用从而得到整个微粒的受力情况。由于射线光学模型只需要采用几何光学理论，因此比较简单。传统的光纤光阱力射线光学模型很多都是从Erkin 和Scott 的研究发展而来[4]，但是该模型对于不在光轴上的微粒，空间角度量的分析比较复杂，受力方向往往通过特定空间位置判断，计算比较繁琐[5]，在此基础上发展了一些新的分析方法[6]，简化了光线作用力的计算。
本文基于传统的光线追迹方法，建立射线光学模型，针对空间角度计算复杂的问题，重点研究角度量的近似方法，分析近似计算条件及产生的误差，为简化光纤光阱力计算提供理论依据。
2射线光学模型的基本原理
根据折射定律，当一束光入射到微球上时，会产生反射和折射，光子的动量就会发生改变，由动量守恒定理可知微球的动量也会发生改变，微球在一定方向上就会受到力的作用。
如图1所示，一条光线入射到微球上的某一点，入射角为αi ，微球受到的力可被分解成互相垂直的两个
部分，分别是散射力(由微球表面的反射引起)和梯度力(由微球表面的折射引起)，图中的s 和g 是沿散射力和梯度力方向的单位矢量[7]。这两个力可以分别表示为[8]
d F s =s n 1c
q s d P ,(1)d F g =g n 1q g d P ,(2)式中n 1是微球周围介质折射率，c 为真空光速，d P 是入射光线的功率。对于一束高斯光束，d P 可以表示为d P =I cos θd S =2P 0πω20exp æèçöø÷-2r 2ω2cos θd S ,(3)q s 和q g 与入射到微球上的光动量的微分有关，可以表示为[8]
q s =1+R cos 2αi -T 2cos(2αi -2αt )+R cos 2αi 1+R 2+2R cos αt
,(4)q g =-R sin 2αi +T 2sin(2αi -2αt )+R sin 2αi 1+R 2+2R cos 2αt ,
(5)式中a i ，a t 分别表示光线的入射角和折射角，R ，T
为反射率和折射率。
图1作用在微球上的光阱力
Fig.1Trapping forces on the sphere
当一束高斯光束照射到微球上时，考虑一般情况，微球中心不在光轴上，如图2所示。从光轴上A 点出射的一条光线照射在微球上的M 点，激光光束的传播方向为z 轴正向，束腰位置位于xy 平面上，与z 轴距离
为d ，z 轴穿过微球中心，
θ和φ为M 点在以微球圆心为原点的球坐标系中的方位角。任意点M 的波面曲率半径为
R a =z m éëêêùû
úú1+æèçöø÷ρm 2,(6)
春晚几点开始图2光线入射微球几何示意图
Fig.2Geometry of a sphere hit by a ray
式中z m 是M 点的z 轴坐标，ρ=πn 1w 20/λ0，
w 0是束腰半径。根据图2的几何关系可求得(1)式与(2)式中s 及g 的表达式
姜的英语
s =[]x ()r 0sin θcos φ-d +y ()r 0sin θsin φ+z L ab ||R a ,(7)
g =()R a tan γ-1éëêùûúx ()r 0sin θcos φ-d +d R a a cos γ+y ()r 0sin θsin φ+z éëêêùû
úúL ab -R a ()L ab +r 0cos θa cos γ.(8)其他参数分别可以表示为ω2=ω20éëêùû
ú1+()
z m ρ2,z m =z 0-r 0cos θ,L ab =±()R 2a -r 212,r 2=d 2+()r 0sin θ2-2dr 0sin θcos φ,a 2=d 2+()r 0cos θ+L ab 2,(9)式中w 是M 点的光斑半径，r 0是微球半径，z 0是球心的z 轴坐标，L ab 是C 点沿光轴到M 点所在垂轴平面的距离，φ是M 点的垂轴平面内偏离x 轴的角度。
利用几何光学计算后，得到粒子受到的总的光阱力为F =n 1P 04r 02π∫0πd φ∫0θmax d θsin θ×cos θ()s q s +g q g exp ()-2r 2ω2ω2
.(10)将光阱力分解成x 方向上的F x 和z 方向的F z
F z =n 1P 0c
Q z ,(11)F x =n 1P 0Q x ,(12)
其中，Q z =n 1P 0c ×2r 02π∫0πd φ∫0θmax d θsin 2θexp ()-2r 2/ω2ω2R a ×ìíîïïüýþïïq s L ab +q g tan γ×éëêêùûúúL ab -R a ()L ab +r 0cos θa cos γ,(13)Q x =n 1P 0c ×2r 02π∫0πd φ∫0θmax d θsin 2θexp ()-2r 2/ω2ω2R a ×ìíî
üýþq s ()r 0sin θcos φ-d +q g tan γ×éëêùûúr 0sin θcos φ-d æèçöø÷1-R a a cos γ.(14)
Q z 和Q x 可以看做是光阱力效率。以上是在一般情况下计算光阱力，也就是微球中心不在光轴上的情况。当微球中心位于光轴上时，d =0，由于对称性，F x 为0。(13)式可简化为
Q z =2r 02∫0θmax d θsin 2θexp ()
-2r 2ω2ω2R a ×()q s L ab -q g r 0sin θ.(15)
3近似条件及误差分析
设定微球折射率n 2=1.59，半径为5μm ，周围介质折射率n 1=1.33，使用980nm 的半导体激光器，束腰半径为5μm ，捕获激光为圆偏振光。考虑双光纤的情况，两束光相向传播，束腰位置位于光纤端面上。此时微球受力与两个光纤出射端的距离s 有关，因此在计算另一束光的轴向力时用s-z 0代替z 0。在仿真过程中对某些参量进行归一化，取D=d/w 0，S=s/w 0，Z 0=z/w 0。反射率R 和折射率T 可表示为
R =12éëêùûúsin(αi -αt )2sin(αi +αt )2+tan(αi -αt )2tan(αi +αt )2,T =1-R .
(16)
当微球完全浸没在光束中时，入射角αi 可以取到最大值αmax =π/2，此时θ取最大值θmax 。根据图2及图3可以得到
a 2=r 20+R 2a =d 2+(L a
b +r o cos θmax )2.(17)设此时θmax =θm 。利用Matlab 可得到微球受到的横向力及轴向力曲线。
3.1对θmax 的近似
观察图2，当微球位置较远，即z 0≫d 时(假设z 0>d 时此条件成立)，忽略离轴距离d 的影响，对θmax 取近
似值θmax ≈θ′m =arcos(r 0/z 0),(18)
文昌路小学将θ′m 代入(14)式及(15)式可以得到取近似值后的光阱力曲线。
3.1.1横向力计算计算横向力时，认为微球位于z 0=s /2的位置，此时两个光束产生的轴向力相互抵消。
图4是在双光束情况下，(14)式中积分上限分别取θm 和θ′m 时微球受到的横向捕获效率Q x 随微球的横向偏移量D 变化的曲线，可以看出，当S =5时，两条曲线相差很大，随着S 的增大，两条曲线逐渐靠近，到S =40时基本重合。因此，当S
较小时(z 0=S /2也较小)，
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θmax ≈θ′m 的条件是不成立的。图4不同的θmax 下计算的双光束横向捕获效率
Fig.4Transver trapping efficiency of two beams calculated with different θmax
3.1.2轴向力计算
图5是(15)式中积分上限分别取θm 和θ′m 时微球受到的轴向捕获效率Q z 随微球的轴向位置z 0变化的曲
线。微球位置在z =0附近一段范围内，两曲线是吻合的，但是曲线两端相差很大。对单光束的情况，微球受到的光阱力与S 无关，如图6所示。当z 0大于一定值时，两条曲线基本重合。可以看出，z 0较小时，θmax ≈θ′m 的条件是不成立的。
图5不同θmax 下计算的双光束轴向捕获效率
Fig.5Axial trapping efficiency of two beams calculated with different θmax
图6不同的θmax 下计算的单光束轴向捕获效率
Fig.6Axial trapping efficiency of one beam calculated with different θmax
因此，根据以上分析可以看出，当z 0大于一定的值z min 时，取θmax =θ′m 是可行的，对仿真结果影响不大。根据两个曲线图估计z min =30μm 。这是在引用论文中的各参数情况下得出的初步结论，在后面将对这个值进行详细讨论，得到其一般情况下的精确表达式。
枳壳的作用3.2对αi 与γ的近似妈妈说的话
在计算轴向力时，一般考虑微球在轴上的情况，此时d =0。考虑z 0≫d ，此时αi ≈θ，γ≈0，(15)式可以
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简化为Q ′z =2r 20ω201+()z 0/ρ2∫0π2d θq s sin 2θ.(19)将此式的结果与(15)式的结果比较，得到如图7所示曲线。对不同的微球半径r 0，(19)式计算误差也不
同。随着r 0增大，Q z -Q ′z 的值相应增大。且对同一种微球，离光纤的距离较远时，取αi ≈θ，γ≈0计算误差相对较小。
