第35卷第1期河南大学学报(自然科学版)V o.l35 N o.1 2005年3月Journa l o fH enan U n i ve rs i ty(N atura l Sc ience)M ar.2005
我们会好好的
群环到其有限共轭子群环上的射影
胡长流，刘洪星
(河南大学数学与信息科学学院，河南开封475001)
性感泳装美女图片摘 要：讨论了任意群环到其有限共轭子群环上的射影映射的有关性质，证明了一些有趣的等式，推广了M.S m ith 和D.S.Pass m an关于域上群代数的相关结论.
关键词：群环；射影；有限共轭元
中图分类号:O153.3 文献标识码:A文章编号:1003-4978(2005)01-0001-04
The Projection of a Group R i ng onto it s F.C Subgroup R i ng
HU Chang liu,L I U H ong x i n g
(C olle ge of M athe m atics and Infor m ation Science,H enan Universit y,H enan K ai feng475001,Chin
a)
Abstrac t:The paper stud ies the prope rti es of the P ro jecti on o f a G roup R ing onto it s F.C Subg roup R i ng it proves t hat so m e i nte resti ng i dentiti es genera lize the results ofM.S m it h and D.S.Pass m an.
K ey word s:group r i ng;pro jecti on m ap;fi n ite conj ugate e le m en t
1 预备知识
设R是任意结合环(不要求有单位元),G是乘法群(1G表示其恒等元),R[G]表示群G在环R上的群环. R[G]可唯一表示为: =!x G a x x，其中a x R，且仅有有限多个a x∀0.G的子集Supp ={x G |a x∀0}称为 的支集，显然Supp 是G的有限子集，并且 =0当且仅当Supp = .若 =!x G b x x是R[G]中另一元素，则 = 当且仅当a x=b x( x G),R[G]中的加法和乘法运算规则如下:
2017msi+ =(!x G a x x)+(!x G b x x)=!x G(a x+b x)x,
# =(!x G a x x)(!x G b x x)=!x,y G(a x b y)xy.
显然映射a|∃a1G给出了环R到群环R[G]的一个同构嵌入，因而R可以看作R[G]的子环.若环R有单位元1
R，易见1R1G是群环R[G%的单位元，将群G的元素x和群环R[G]的元素1R x等同看待，这时R[G]可以看作以G的元素作为基元素的自由R-模.若环R没有单位元，则群G的元素x虽然不能看作群环R[G]的元素，但是x可以作为R[G]到自身的R-模同构作用于R[G]的每一个元素 =!y G a y y R[G]，即x =x(!y G a y y)=!y G a y(xy), x=(!y G a y y)x=!y G a y(yx).显然有: , R[G],x,y G, ( x) =( )x,(x ) =x( ),( x) = (x ),( x)y= (xy),(x )y=x( y),(xy) =x(y ),( + )x = x+ x,x( + )=x +x , (x+y)= x+ y,(x+y) )=x +y .
设 R[G],g G，显然Supp g =g(Supp ),Supp g=(Supp )g.特别地，若x Supp ，则1G Supp x-1 ,1G Supp x-1.若H是群G的子群，则R[H]是R[G]的子环，显然R[H]={ R[G]|
收稿日期:2004 09 20
基金项目：河南省教育厅自然科学基金(20025100003)
作者简介：胡长流(1947-)，男，河南大学教授，研究方向：环与代数.
2
河南大学学报(自然科学版),2005年，第35卷第1期Supp H}.于是R[G]也可以看作是(左)R[H]-模，并且以R[H]作为它的一个R[H]-子模.
定义1.1 设H是群G的子群,R是结合环.称群环R[G]到其子群环R[H]上的映射H:!x G a x x|∃!
x H
a x x为R[G]到R[H]上的射影映射(简称射影).
引理1.1 (Le mm a1.1.2[1]).设H是群G的子群, , R[G],!R[H]，则
(1)H(a +b )=a H( )+b H( ), a,b R;
(2)H(! )=!H( ),H( !)=H( )!,H(!)=!;
(3) =H( )+ ，其中Supp &H= ，并且Supp( - )H;
(4)若H是群G的正规子群,x G，则H(x-1 x)=x-1H( )x.
引理1.2 (Le mm a1.1.3[1]).设H是群G的子群,Y是H在G内的左陪集代表元完全集，则 R[G]可唯一表示成有限和形式: =!y Y y y，其中 y=H(y-1 )R[H].对称地，若X是H在G内的右陪集代表元完全集，则 R[G]可唯一表成有限和形式: =!x X x x，其中 x=H( x-1)R[H].
2 R[G]的有限共轭子群环
一年十二月
设G是任意群,x G是G的任意元素.用∀x表示x在G中所在的共轭元素类,|∀x|表示∀x包含的元素个数(或基
数).若|∀x|<∋，则称x为G的有限共轭元.令((G)={x|x G,|∀x|<∋}，由群论知识容易证明,((G)是G的正规子群，称作G的有限共轭子群.记C G(x)为x在G中的中心化子，则C G(x)是G的子群.若Y是C G(x)在G内的右陪集代表元完全集，则∀x={y-1xy|y Y},x((G)当且仅当[G:C G(x)]<∋，这时有|∀x|=[G:C G(x)].
定义2.1 设G是任意群,R是结合环.称群环R[G]的子群环R[((G)]为R[G]的有限共轭子群环(或简称为F.C子群环).
对于任意g G, R[G]，易见映射: |∃g-1 g给出了群环R[G]到自身的环自同构.
拆分表格引理2.1 设G是群,R是结合环,((G)是G的有限共轭子群.则
(1)g-1(R[((G)])g=R[((G)], g G;
(2)若A是R[((G)]的理想，则g-1Ag仍是R[((G)]的理想, g G.
文献[3]与文献[4]定义了G-环和G-不变子环的概念.由引理2.1可知，群环R[G]可以看作一个G-环，其有限共轭子群环R[((G)]是它的一个G-不变子环.作者主要讨论R[G]到R[((G)]上的射影.为此，特别地用#表示该射影映射，即#=((G).下面给出几个必要的引理和概念.
引理2.2 (Le mm a4.1.3[1]).设H1,H2,),H n是群G的具有有限指数的子群，则H=H1&H2&)& H n在G内也是有限指数的，并且有[G:H]![G:H1][G:H2])[G:H n].
引理2.3 设H1,H2,),H n是群G的子群(n<∋)，若存在有限个元素x i,j G使得G=∗
i,j
H i x i,j(并集)，则一定有某一个i!n，使得[G:H i]<∋.
证明 不妨设H1,H2,),H n是G的彼此不同的子群，对子群个数n使用归纳法.当n=1时,G等于子群H1的有限个右陪集的并，因此[G:H1]<∋.假定子群个数小于n时结论已经成立，下面考虑n的情形.
若子群H n的所有右陪集都出现在{H i x i,j}中，则H n只有有限个右陪集，从而[G:H n]<∋.若有H n的某
个右陪集H n x没有出现在{H i x i,j}中，由于H n x G=∗
i,j
H i x i,j，且H n x与H n其余的右陪集不交，因此H n x
∗i∀n,j H i x i,j,H n∗
i∀n,j
H i x i,j x-1，从而 x nj,H n x n j∗
i∀n,j
H i x i,j x-1x nj.因此G=∗
i∀n,j
H i x i,j x-1x n j，即G等于n-1个
子群的有限个右陪集并.由归纳假设知有某个i!n-1，使得[G:H i]<∋.证毕.
定义2.2 设G是任意群，称子集T G是群G的一个大子集，如果T不能包含在有限多个在G内有无限指数的子群的(右)陪集的并集内.如果对于G的任一具有有限指数的子群W，以及任意的x G,T&W x 总是G的大子集，则称T是群G的一个非常大子集.
不难看出，大子集和非常大子集的概念是左右对称的.容易验证，一个有限群G的任意非空子集都是大子集，但是仅有G本身是非常大子集.若G是一个无限循环群，则除了{1G}以外，它的所有子群都是G的非
胡长流：群环到其有限共轭子群环上的射影3
常大子集.若G是一个无限二面体群，则容易证明T=((G)是G的大子集，但不是非常大子集.
引理2.4 设G是任意群,T是G子集, x G,
(1)若T是群G的大子集，则Tx和xT也是G的大子集;
(2)若T是群G的非常大子集，则Tx和xT也是G的非常大子集.
易知，任意没有单位元的环总可以嵌入到一个有单位元的环中.
引理2.5 设R是无单位元的环,Z表示整数环.记R*=R+Z={(a,n)|a R,n Z}，在R*中定义加法和乘法运算: (a,n),(b,m)R*,
(a,n)+(b,m)=(a+b,n+m),(a,n)(b,m)=(ab+nb+m a,nm).
则有:
(1)R*是一个环，并且以(0,1)为单位元;
(2)映射a|∃(a,0)给出环R到环R*内的同构嵌入(因此R可以看作R*的子环);
(3) a*R*，可唯一表示为a*=a+a ，其中,a R,a =(0,n )R*;
(4)若A是R的理想(或单侧理想)，则A也是R*的理想(或单侧理想).
3 主要结果
定理3.1 设R是任意环,T是群G的一个非常大子集, i, i R[G],i=1,2,),s.如果对任意的x T，满足 1x 1+ 2x 2+)+ s x s=0，则有
#( 1) 1+#( 2) 2+)+#( s) s=0,
1#( 1)+ 2#( 2)+)+ s#( s)=0,
天麻功效
#( 1)#( 1)+#( 2)#( 2)+)+#( s)#( s)=0.
并且对G中所有元素，条件中的等式都成立，即 1x 1+ 2x 2+)+ s x s=0, x G.
证明 首先证明等式#( 1) 1+#( 2) 2+)+#( s) s=0.用反证法，假如!=#( 1) 1+
#( 2) 2+)+#( s) s∀0，选定v Supp!.设∗s
i=1Supp i={u1,u2,),u r},W=&
r
i=1
C G(u j).
注意到#( i)R[((G)],u j((G)，从而[G:C G(u j)]<∋，由引理2.2可知[G:W]<∋.显然W中的元素与每一个u j乘法可交换，从而也与每一个#( i)可交换.
由引理1.1，记 i=#( i)+ i ，其中Supp i &((G)= ，并设
i =!
j
a ij y j (y j∀((G)), i=!k
b ik z k,
其中a ij,b ik R,y j,z k G.若y j与vz k-1共轭，则选定h jk G，使得h jk-1y j h jk=vz k-1.
任取x W&T，由假设知下式成立: 1x 1+ 2x 2+)+ s x s=0.用x-1左乘上式两端，则有0=(x-1 1x) 1+(x-1 2x) 2+)+(x-1 s x) s=
[(x-1#( 1)x) 1+(x-1#( 2)x) 2+)+(x-1#( s)x) s]+
[(x-1 1 x) 1+(x-1 2 x) 2+)+(x-1 s x) s].
注意到x W与每一个#( i)可交换，于是有x-1#( i)x=#( i)，从而得
-!=(x-1 1 x) 1+(x-1 2 x) 2+)+(x-1 s x) s.
由于v Supp!，一定存在y j,z k，使得v=x-1y j xz k或x-1y j x=vz-1k.这说明y j与vz-1k在G中共轭，由h jk的选法可知x-1y j x=vz-1k=h-1jk y j h jk，或者y j(xh-1jk)=(xh-1jk)y j，即xh-1jk C G(y j)，从而x C G(y j)h jk.由x W &T的任意性，可得W&T∗
j,k
C G(y j)h jk，其中,[G:W]<∋,[G:C G(y j)]=∋(因y j∀((G))，此与T 是G的非常大子集相矛盾.因此必有
!=#( 1) 1+#( 2) 2+)+#( s) s=0.
利用对称性可证 1#( 1)+ 2#( 2)+)+ s#( s)=0.
由引理1.1可得#( 1)#( 1)+#( 2)#( 2)+)+#( s)#( s)=0.
为证定理的最后结论，设Y是((G)在G内的左陪集代表元完全集,y Y.则对每一个选定的g G，由假设知
以下等式成立
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河南大学学报(自然科学版),2005年，第35卷第1期(y-1 1)x(g 1)+(y-1 2)x(g 2)+)+(y-1 s)x(g s)=0, x Tg-1.
由引理2.4知Tg-1也是群G的非常大子集，根据上述结论可知
#(y-1 1)g 1+#(y-1 2)g 2+)+#(y-1 s)g s=0.
于是有y#(y-1 1)g 1+y#(y-1 2)g 2+)+y#(y-1 s)g s=0, y Y.
浙江有哪些城市取遍y Y将得到的等式两端分别相加，根据引理1.2即得
1g 1+ 2g 2+)+ s g s=0, g G.
定理证毕.
推论3.1 设R是任意环,G是群, i, i R[G],i=1,2,),s.如果对任意的x G，满足: 1x 1+ 2x 2+)+ s x s=0，则有
#( 1) 1+#( 2) 2+)+#( s) s=0,
时间单位有哪些1#( 1)+ 2#( 2)+)+ s#( s)=0,
#( 1)#( 1)+#( 2)#( 2)+)+#( s)#( s)=0.
定理3.2 设R是任意环,G是群,A1,A2,),A n是群环R[G]的有限多个理想，并且满足:A1A2)A n=0.则必有#(A1)#(A2))#(A n)=0.
证明 先假定环R有单位元，这时R[G]与R[((G)]有相同的单位元.令A0=A n+1=R[G]，下面用归纳法证明：对于j=0,1,2,),n，总有
#(A0)#(A1))#(A j)A j+1)A n+1=0.
当j=0时，结论显然成立.假设当j<n时，结论已经成立.下面考虑j+1时的情形.
对于每一个i，任取 i A i,x G，显然 j+1x A j+1，于是由归纳假设知
#( 0)#( 1))#( j) j+1x j+2) n+1=0, x G.
由推论3.1得
#(#( 0)#( 1))#( j) j+1) j+2) n+1=0,
再由引理1.1可知
#( 0)#( 1))#( j)#( j+1) j+2) n+1=0.
由 i A i的任意性，必有
#(A0)#(A1))#(A j+1)A j+2)A n+1=0.
由归纳原理可知对于j=0,1,2,),n，结论均成立.特别地，当j=n时则有
#(A0)#(A1))#(A n)A n+1=0.
由于#(A0)=R[((G)],A n+1=R[G]均有单位元，故#(A1)#(A2))#(A n)=0.
若环R没有单位元，由引理2.5知R可以嵌入到一个有单位元的环R*中，因而群环R[G]也可嵌入到群环R*[G]中.利用引理2.5的结论不难证明,A1,A2,),A n也是群环R*[G]的理想，并且满足:A1A2)A n= 0，因此在R*[G]中必有#(A1)#(A2))#(A n)=0，从而在R[G]中结论亦真.定理证毕.
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