ISSN 1000-0054CN 11-2223/N
清华大学学报(自然科学版)J T singh ua Un iv (Sci &Tech ),2002年第42卷第6期
2002,V o l.42,N o.62/38
714-717
非参数计量经济联立模型的局部线性工具变量估计
叶阿忠1,2
, 李子奈
1
(1.清华大学经济管理学院，北京100084;2.福州大学管理学院，福州350002)
收稿日期:2001-10-29
基金项目：教育部人文社会科学重点研究基地重大项目
(01JAZJD 790004)
作者简介：叶阿忠(1963-)，男(汉)，福建，副教授。
E-mail:yaz @p ub3.fz.fj
通讯联系人：李子奈，教授。E-mail:lizinai@tsing hua.edu
摘 要：发展了一种非参数联立方程计量经济模型的估计方法。将非参数单方程计量经济模型的局部线性估计方法与传统联立方程计量经济模型的工具变量估计方法相结合，在随机设计下，提出了非参数联立方程计量经济模型的局部线性工具变量估计方法，并利用大数定律和中心极限定理等在内点处研究了该方法的大样本性质。结果表明：该方法在内点处具有一致性和渐近正态性，其收敛速度达到了非参数模型估计的最优收敛速度。
关键词：计量经济模型；非参数模型；局部线性估计；工具
变量估计；渐近正态性
中图分类号:F 224文献标识码:A
文章编号:1000-0054(2002)06-0714-04
Local linear estimation with instrumental
variables for non -parametric simultaneous equations econometric model
YE Azh ong ,LI Zinai
(School of Economics &Management ,Tsinghua University ,
Beij ing 100084,China )
Abstract :T his paper pres en ts an estimation method for non-parametric simu ltaneous equation s econometric m od el.A local linear es tim ation w as us ed w ith in strumental variables,w hen all variables w ere random.A local lin ear es tim ation method for non-parametric single equ ation model w as combined w ith the traditional in strumental variable meth od for s imultaneou s equ ations model.The properties under large sample siz e w ere s tudied in inter ior points b y u sing large numbers law and central lim it theorem.Th e results s how th at this method has cons istency and as ymptotic normality in in terior points ,and its convergence rates are equal to th e optimal conver gence r ate of th e non-par ametric m odel es timation.
Key words :econometric model;non-parametric model;local linear
es timation;instrum ental variable estimation ;
as ymptotic normality
非参数计量经济模型的研究是当前计量经济学研究中的一个重要方向
[1,2]
，其中非参数单方程计量
经济模型的研究在近30年间得到了迅速的发展并趋于成熟[1,3～5]，而关于非参数联立方程计量经济模型的研究在国际上刚刚起步[3]。
联立方程计量经济模型在经济政策制定、经济结构分析和经济预测方面具有重要作用[6]，与传统联立方程模型相比，非参数联立方程模型能更好地描述现实经济现象，具有较高的拟合优度。New ey ,Pow ell 和Vella [7]
提出了非参数联立方程模型的两阶段正交序列估计方法，并证明其相合性和渐近正态性。但是该方法得出的正交序列系数没有经济意义，所依赖的已知条件 (u )= -是人为确定的，其收敛速度未必达到Stone [8,9]提出的最优收敛速度。采用局部线性拟合的方法对非参数单方程模型进行估计，已经被认
为是研究非参数模型的有效方法[2,5,10～12]。但是，在单方程模型中是一致估计的方法在联立方程模型中不再是一致估计的方法[6]。
本文将非参数单方程模型的局部线性估计方法[5]
与传统联立方程模型估计方法相结合，在随机设计下，首次提出了非参数计量经济联立模型的局部线性工具变量估计方法，并在内点处研究了它的大样本性质和收敛速度。
1 非参数联立模型局部线性工具变量估计
将非参数联立方程计量经济模型中的某结构式方程表示为
Y i =m (X i )+u i ,
(1)
其中:(X 1,Y 1),…,(X n ,Y n )是在R
d +1
上取值的独立
同分布的随机变量向量序列,u i 是均值为零且相互独立的随机变量。假定解释变量向量X i =[X 1i ,…,X d i ]
T
中某些变量与随机误差项u i 相关，即
E (X i u i )≠O 或E (u i X i )≠0。非参数函数m 及其一
阶、二阶导数有界连续，其估计的最优收敛速度为n
-2/(d +4) [12,13]
。
设Z 1,…,Z n 是R d +1
维独立同分布的随机变量
向量,Z i =[Z 0i ,Z 1i ,…,Z d i ]T 与X i 相关，但与u i 不相关，即有E (Z i u i )=O ,E (Z i u i X i )=O 。称Z i 为X i 的工具变量向量。
设f ( )是X i 的密度函数,f (x )>0，有凸支撑supp(f ) R d
,f 是有界连续函数，其一阶导数连续;g i (x )=E (Z i 1 X 1=x )和p i (x )=E ((Z i 1)2
X 1=x )有界连续;F ij (x )=E [Z i 1Z j 1(u 1)2 X 1=x ]有界连续。
设K ( )是d 维密度函数，令K h n (u )=h -d n
K (h -1n
u )，称K 为核函数,h n 为窗宽,K h n ( )为核权函数。K 有紧支撑
supp(K )
∏d
i =1
[-1,1] R d ,
且
K (u )≥0, ∫K (u )d u =1, ∫K (u )u d u =O ,
∫
K (u )uu T
d u = 2
(K )I ，其中: 2(K )≠0,I 为单位阵。
条件1:(a )h n →0,nh d
n →+∞;(b )h n →0,nh d +2
n →+∞;
(c )h n =cn -1/(d +4),c >0为常数。
定义1：给定x ∈supp(f ) R d
和窗宽h ，记
x ,h
={z :(x +h z )∈supp(f )}∩supp(K ).
若存在h 0>0，使得当h ≤h 0时, x ,h
=supp (K ),
则称x 为内点。否则称之为边界点。
约定:i 为元素全为1的矩阵或列向量或行向量。
m (X i )在局部x 处有线性近似:
m (X i )≈!+(X i -x )T
B =[1,(X i -x )T广州白水寨
]A ,
(2)
其中:
!=m (x ), B =D m (x ), A =[!,B T
]T
,
D m (x )=
∀m (x )∀x 1…∀m (x )
∀x d
T
.
定义2:A 的局部线性工具变量估计A
IV
(h n ,K )满足下式:
n
i =1
Z T i (Y i -[1,(X i -x )T ]A
IV (h n ,K ))
K h n (X i -x )=O .
(3)
条件2:(Z T W x X x )-1存在，其中
Z =[Z 1,…,Z n ]T , X x =(X x ,1,…,X x ,n )T ,
X x ,i =(1,(X i -x )T )T ,
W x =diag[K h n (X 1-x ),…,K h n (X n -x )]. 在条件2下，由式(3)解出:
A IV (h n ,K )=(Z T W x X x )-1Z T W x Y ,(4)
其中Y =[Y 1,…,Y n ]T
。四年级下册的作文
于是,m (x )的局部线性工具变量估计为:
股份制合同
m IV (x ;h n ,K )=e T
1(Z T W x X x )-1Z T W x Y ,(5)
其中,e 1=(1,0,…,0)T 。
2 局部线性工具变量估计在内点处的性质
设x ∈supp(f ) R d 为内点，则不妨设对任意的n ，都有 x ,h n =supp(K )。
可将模型(1)写成矩阵形式:Y =M +U ，其中:M =[m (X 1),…,m (X n )]T ,U =[u 1,…,u n ]T 。由T aylo r 展开,M =X x
m (x )D m (x )+1
2Q m (x )，其中:
Q m (x )=[(X 1-x )T
H m (z 1(x ,X 1))(X 1-x ),…,
(X n -x )T H m (z n (x ,X n ))(X n -x )]T ,
H m (x )=
∀2
m (x )∀x i ∀x j
金水宝说明书d ×d
,
‖z i (x ,X i )-x ‖≤‖X i -x ‖.
由X i 相互独立，可知z i (x ,X i )相互独立。容易得到
m IV (x ;h n ,K )-m (x )=e T
1(Z T
W x X x )
-1
Z T W x 1
2Q m (x )+U .
(6)
由条件2，明显有
n -1
Z T
W x X x =n
-1
n
i =1
K h n (X i -x )Z i ,
n
-1
n
i =1
K h n (X i -x )Z i (X i -x )T .
(7)
引理1:(a)在条件1(a)下,
n
-1
n i =1
K h n (X i -x )Z i =f (x )g (x )+o p (i ),
其中g (x )=E (Z 1 X 1=x )。
(b)在条件1(b)下,
n
-1
n
i =1
K h n (X i -x )Z i (X i -x )T =
2(K )h 2n
[g (x )D T
f (x )+f (x )D T
g (x )]+o p (h 2
n i ).715
叶阿忠，等: 非参数计量经济联立模型的局部线性工具变量估计
(c)在条件1(b)下,
n-1Z T W x X x=
A11(x)+o p(1) 2(K)h2n A12(x)+o p(h2n i)
A21(x)+o p(1) 2(K)h2n A22(x)+o p(h2n i)
,
其中:
A11(x)=f(x)g0(x),
A12(x)=g0(x)D T f(x)+f(x)D T g0(x),
A21(x)=f(x)g1(x),
A22(x)=g1(x)D T f(x)+f(x)D T g1(x),
[g0(x),(g1(x))T]T=g(x).
(d)在条件1(a)下,
n-1Z T W x Q m(x)=
f(x) 2(K)h2n tr{H m(x)}g(x)+o p(h2n i).
(e)E[n-1Z T W x U]=0和var[n-1Z T W x U]= n-1h-d n R(K)F(x)f(x)+o(n-1h-d n i)，其中:
证券分析F(x)=E(u2i Z i Z T i X i=x).
为证明引理1，需要如下引理2。
引理2：设R d中函数v(x)及其导数D v(x)在x 处连续，则在条件1(a)下,
(a)∫supp(K)(K(Q))l v(x+h n Q)d Q=
∫supp(K)(K(Q))l v(x)d Q+o(1),l=1,2.
(b)∫supp(K)(K(Q))v(x+h n Q)Q d Q=
h n∫supp(K)K(Q)QQ T D v(x)d Q+o(h n i)=
h n 2(K)D v(x)+o(h n i).
(c)∫supp(K)(K(Q))l v(x+h n Q)QQ T d Q=
∫supp(K)(K(Q))l v(x)QQ T d Q+o(i),
l=1,2.
(d)∫supp(K)[K(Q)Q T H m(z i(x,x+h n Q))Q]l・
v(x+h n Q)d Q=
∫supp(K)[K(Q)Q T H m(x)Q]l v(x)d Q+o(1),
l=1,2.
这里省略引理2的证明。
对于引理1，只证明(b)，其它类似可证。而对于引理1(b)，只需证明
n-1 n i=1K h n(X i-x)Z j i(X i-x)=
2(K)h2n[g j(x)D f(x)+f(x)D gj(x)]+o p(h2n i).注意到
n-1
n
i=1
K h
n
(X i-x)Z j i(X i-x)=
EK h
n
(X1-x)Z j1(X1-x)+O p(】n-1#〈),
其中,#是v ar(K h
n
(X1-x)Z j1(X1-x))的对角元
素组成的列向量。唯我中华
由g j和f的连续性和引理2(b)，可得到
EK h
n
(X1-x)Z j1(X1-x)=
E{E[K h
n
(X1-x)Z j1(X1-x) X1]}=
E[K h
n
(X1-x)g j(X1)(X1-x)]=
∫supp(f)h-d n K(h-1n(X1-x))
g j(X1)(X1-x)f(X1)d X1=
∫supp(K)K(Q)g j(x+h n Q)f(x+h n Q)h n Q d Q= h2n 2(K)[f(x)D gj(x)+g j(x)D f(x)]+o(h2n i). 因为
v ar(K h
n
(X1-x)Z j1(X1-x))=
E{K h
n
(X1-x)Z j1(X1-x)-
E[K h
n
(X1-x)Z j1(X1-x)]}×
{K h
n
(X1-x)Z j1(X1-x)-
E[K h
n
(X1-x)Z j1(X1-x)]}T=
E{[K h
n
(X1-x)Z j1(X1-x)]
[K h
n
(X1-x)Z j1(X1-x)]T}-
{E[K h
n
(X1-x)Z j1(X1-x)]}
{E[K h
n
(X1-x)Z j1(X1-x)]}T,
由p j和f的连续性和有界性及引理2(c)，可得到
E{[K h
n
(X1-x)Z j1(X1-x)]
[K h
n
(X1-x)Z j1(X1-x)]T}=
E[(K h
n
(X1-x))2p j(X1)(X1-x)(X1-x)T]=
∫supp(f)[h-d n K(h-1n(X1-x))]2
p j(X1)f(X1)(X1-x)(X1-x)T d X1=
h-d+2
n∫su pp(K)[K(Q)]2p j(x+h n Q)
f(x+h n Q)QQ T d Q=
h-d+2
n∫supp(K)[K(Q)]2p j(x)f(x)QQ T d Q+
o(h-d+2
n I)=O(h
-d+2
n i),
所以
v ar(K h
n
(X1-x)Z j1(X1-x))=
O(h-d+2
n i)-O(h
4
n i)=O(h
-d+2
n i).
于是，在条件1(b)下,
716清华大学学报(自然科学版)2002,42(6)
O p (】n -1#〈)=O p (】n -1
O (h -d +2n
)i 〈)=
O p (】n -1
h
-d +2
n
i 〈)=o p (h 2n
i ).
由引理1和文[13]第Ⅱ.3节中命题2.26、练习2.35和推论2.36，容易推得如下引理。
引理3：在条件1(b)下,e T
1(n -1
Z T
W x X x )
-1
=B (x )+o p (i ),
(8)
其中:
B (x )=(b 1(x ),b 2(x )),
b 1(x )=[A 11(x )-A 12(x )(A 22(x ))-1A 21(x )]-1,
b 2(x )=-(A 11(x ))A 12(x )
[A 22(x ))-A 21(x )(A 11(x ))-1
A 12(x )]
-1
.
至此，可以得到下述定理与推论。
定理1：在条件1(c )下,
n
2/(d +4)
母狗般的女教师[m
IV (x ;h n ,K )-m (x )]L
N c 2
2
2(K )a (x ),c -d R (K )b (x ),(9)
其中:
a (x )=f (x )tr{H m (x )}B (x )g (x ),
b (x )=f (x )B (x )F (x )B (x ))T
.
证明：由中心极限定理容易推得
n 2/(d +4) n -1
n
i =1
K h n (X i -x )Z i u i
L
N [O ,c -d
R (K )F (x )f (x )],
由引理1(d ),
n 2/(d +4) n -1Z T W x 1
2
Q m (x )
P
c 2
2
2(K )f (x )tr {H m (x )}g (x )，所以,
n
2/(d +4)
n -1
Z T
W x
1
2
Q m (x )+U L
N c 2
2 2(K )f (x )tr {H m (x )}g (x ),
c -d
R (K )F (x )f (x ).再应用引理3，不难推出本定理成立。
推论1：在定理1的条件下,
(a)E {m
IV (x ;h n ,K )-m (x )}2→0,m IV (x ;h n ,K )p
m (x ).
(b)∫
E {m IV
(x ;h n ,K )-m (x )}2w (x )d x =
a 4
( 2(K ))2h 4n +n -1h -d n R (K )b +o (h 4n ),(10)
其中
a =∫
[a (x )]2
w (x )d x ,
b =∫
b (x )w (x )d x ,
w (x )≥0为某权数。
3 结 论
定理1说明，局部线性工具变量估计的渐近分
布为正态分布。该定理的条件允许模型的随机误差项存在异方差现象，所以当随机误差项异方差时，该结论仍成立。
推论1(a )说明，局部线性工具变量估计依2阶矩收敛或均方误差收敛，于是也是依概率收敛，即局部线性工具变量估计是一致估计。
由推论1(b )知，本模型的局部线性工具变量估计的收敛速度为n
-2/(d+4)
，于是该收敛速度达到通
常解释变量与随机误差项不相关的非参数模型估计的最优收敛速度[8,9]。
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