Pure Mathematics 理论数学, 2020, 10(9), 843-846
Published Online September 2020 in Hans. www.hanspub/journal/pm
doi/10.12677/pm.2020.109097
三次对称群和四次对称群子群的求解
王凯*，郭继东#
伊犁师范大学数学与统计学院，新疆伊宁
收稿日期：2020年8月14日；录用日期：2020年9月7日；发布日期：2020年9月14日
摘要
凯莱定理告诉我们研究群的重点在于研究置换群，因此对于有限群来说，对对称群的研究是必要的。本文主要利用有限群论中的一些基本定理来具体阐述对三次对称群和四次对称群子群的求解。
关键词
三次对称群，四次对称群，子群
The Solution of Subgroups of Cubic
Symmetric Group and Quartic
Symmetric Group
Kai Wang*, Jidong Guo#
College of Mathematics and Statics, Yili Normal University, Yining Xinjiang
Received: Aug. 14th, 2020; accepted: Sep. 7th, 2020; published: Sep. 14th, 2020
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Kelley’s theorem tells us that the focus of studying groups is to study permutation groups, and for finite groups, it is necessary to study symmetric groups. In this paper, some basic theorems in fi-nite group theory are ud to explain the solution of subgroups of cubic symmetric group and quartic symmetric group.
*第一作者。
#通讯作者。
王凯，郭继东
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Keywords大雪纷飞
Cubic Symmetric Group, Quartic Symmetric Group, Subgroup
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licend under the Creative Commons Attribution International Licen (CC BY 4.0).
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1. 引言
随着现代数学的不断发展，群已成为数学中一个十分重要的基本概念，并且渗透到数学的各个分支，而对有限群的研究更是对群研究的基础。文章利用群论中的一些基本定理来较为严谨，详细地推导出两个简单的对称群S 3和S 4的子群。
2. 涉及的定理及其推论
定理1 (Lagrange 定理)设G 是有限群，H 是G 的子群，则有[]:G G H H =。从而G 的子群H 的阶是G 的阶的因子[1]。
推论1 设G 是有限群，则G 中元素的阶是群G 的阶的因子[1]。刘弘基
定理2 有限群G 的阶为m (m 为正整数)，若G 中有m 阶元，则G 必为m 阶循环群。
结合定理1和定理2有以下两个推论：
推论2 4阶群只有两种结构。即4阶群要么与4阶循环群同构，要么与Klein 四元数群同构，故四阶群是交换群[2]。
忿然作色推论3 6阶群也只有两种结构。即6阶群要么与6阶循环群同构，要么与S 3同构[2]。
定理3 (Sylow 定理)i G p m =(p 为素数, i 为正整数)，(),1p m =，则对k i ≤(k 为正整数)，则G 中一定有p k 阶子群[3]。
定理4 H ，K 是群G 的有限子群，则有：()()HK H K
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H K =∩ [4]。 定理5 H 是群G 的子群，若[]:2G H =，则H 还是G 的不变子群[5]。
定理6 群G 中的不变子群的交仍是不变子群。
定理7 群G 中两个不变子群的乘积还是不变子群。 3. 对S 3子群的求解
()()()()()(){}31,12,13,23,123,132S =，其中有1个1阶元，3个2阶元和1对互逆的3阶元，共6个元素，故S 3的阶数为6。S 3有两个平凡子群，分别是{(1)}和S 3，由Lagrange 定理可知S 3的非平凡子群可
能的阶数为2或3。为了讨论方便不妨将S 3中由所有i 阶子群组成的j 个元素的集合记为{}12,,,i i ij H H H ，其中i ，j 均为正整数。
命题1 S 3有且仅有3个2阶子群和1个3阶非平凡子群。
证明：有113623S ==∗，而且()2,31=，满足Sylow 定理条件，故可判定S 3中必然存在2阶和3阶非平凡子群。而2阶群中的元素由Lagrange 定理可知只能是1阶或2阶元，由于幺群为1阶群，所以2阶群中必含有2阶元，又定理2知2阶群必为2阶循环群，所以S 3共有3个2阶子群它们分别是 ()(){}211,12H =，()(){}221,13H =，()(){}231,23H =。同理可得3阶群必为3阶循环群，所以S 3共有1
个3阶子群它是()()(){}311,123,132H =。证毕
王凯，郭继东
由上述分析可以推出5阶群必是5阶循环群，从而是交换群，在S 3中显然有()()()()12131312≠，故S 3是非交换群，再结合推论2可知S 3是阶数最小的非交换群。
4. 对S 4子群的求解
(){()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()}41,12,13,14,23,24,34,1234,1324,1423,123,132,234,
243,124,142,134,143,1234,1432,1324,1243,1342,1423S =，其中有1个 1阶元，9个2阶元，4对互逆的3阶元，3对互逆的4阶元，共24个元素，即S 4的阶数为24。S 4有两个平凡子群{(1)}和S 4，由Lagrange 定理可知S 4的非平凡子群可能的阶数为2, 3, 4, 6, 8, 12。为了讨论方便不妨将S 4中由所有i 阶子群组成的j 个元素的集合记为{}12,,,i i ij N N N ，其中i ，j 均为正整数。 命题2 S 4有且仅有9个2阶子群，4个3阶子群，3个4阶循环群和4个与Klein 四元数群同构的4
阶群，4个与S 3同构的6阶群，3个8阶群，这些都是非平凡子群。 证明：有3424
23S ==∗，且()2,31=，由Sylow 定理可知S 4必有2阶，3阶，4阶，8阶子群。与S 3相同的分析的方法可知S 4有9个2阶子群，即()(){}211,12N =，()(){}221,13N =，()(){}231,14N =， ()(){}241,23N =，()(){}251,24N =，()(){}261,34N =，()()(){}271,1234N =，()()(){}281,1324N =， ()()(){}291,1423N =。以及4个3阶子群，分别为()()(){}311,123,132N =，()()(){}321,234,243N =， ()()(){}331,134,143N =，()()(){}341,124,142N =。
S 4的4阶子群据推论2可知只有两种结构即4阶群中有4阶元时，则该4阶群与4阶循环群同构；4阶群中没有4阶元时，该4阶群与Klein 四元数群同构。经过检验，S 4中共有3个4阶循 ()()()()()(){}41
12341,1324,1234,1432N ==，()()()()()(){}4213241,1234,1324,1423N ==， )()()()()(){}4313421,1423,12431342N ==，；考虑与Klein 四元数群同构的4阶群，由Lagrange 定理可
知，这种4阶群中的元素由幺元与S 4中的2阶元构成，经过检验共有4个分别为
()()()()(){}441,12,34,1234N =，()()()()(){}451,13,24,1324N =，()()()()(){}461,14,23,1423N =，()()()()()()(){}471,1234,1324,1423N =。
由推论3知6阶群只有6阶循环群和S 3这两种结构，由于S 4中没有6阶元，故S 4中的6阶群都与已知结构的S 3同构，经过验算，S 4中共有4个6阶群，分别是()()()()()(){}611,12,13,23,123,132N =，()()()()()(){}621,12,14,24,124,142N =，()()()()()(){}631,13,14,34,134,143N =，
()()()()()()64{1,23,24,34,234,243}N =。
由Sylow 定理可以知道8阶子群中至少有一个4阶子群，可利用已经求得的S 4的每个4阶子群中添加合适的4个S 4中的2阶元，这样的8个元素才有可能构成S 4的8阶子群；经过检验S 4中共有3个8阶子群，分别是()()()()()()()()()()(){}811,13,24,1324,1234,1423,1234,1432N =，
()()()()()()()()()()(){}821,12,34,1234,1324,1423,1324,1423N =，
()()()()()()()()()()(){}831,14,23,1423,1234,1324,1234,1342N =。证毕
命题3 S 4中有且仅有1个12阶群。
证明：经过验算得S 4中的全体偶置换 ()()()()()()()()()()()()()()(){}41,1234,1324,1423,123,132,134,143,124,142,234,243A =是S 4的一个12阶子群。下面再证唯一性；不妨假设S 4中存在1个12阶子群M (4M A ≠)，于是有定理4知A 4和M 满足下述关系：
()444A M A M A M =∩，且412A M ≥
根据假设得A 4和M 为S 4中的12阶子群，故它们在S 4中的指数都是2，根据定理5得A 4和M 皆是S 4的不变子群，有定理6得4A M ∩也是S 4的不变子群，又定理7知A 4和M 之积是S 4的不变子群，根据
王凯，郭继东
推论4以及Lagrange 定理得412A M =或24。若412A M =，即可得到412A M =∩，即有4A M =，矛盾；若424A M =，则46A M =∩，故由假设可推出4A M ∩是A 4的6阶子群，同时也是S 4的6阶子群，然而S 4中所有的6阶子群共有4个，而且()()(){}4611,123,132A N =
∩，()()(){}4621,124,142A N =∩，()()(){}4631,134,143A N =∩，()()(){}464
1,234,243A N =∩，即
461
46246346436A N A N A N A N ====≠∩∩∩∩，可推出A 4中不存在6阶子群，矛盾；故假设矛盾。证毕 5. 结论
综合上述命题我们知道，S 3有且仅有3个2阶子群和1个3阶子群，还有两个平凡子群；S 4中有且仅有9个2阶子群，4个3阶子群，3个4阶循环群和4个与Klein 四元数群同构的4阶群，4个与S 3同构的6阶群，3个8阶群和1个12阶子群，还有两个平凡子群。
致 谢
本文是在导师郭继东教授的精心指导和悉心教导下完成的，从选题到材料收集以及写作过程中遇到的问题都得到了郭老师的热心帮助，在此表示感谢。
基金项目
新疆维吾尔自治区高校科研计划自然科学重点项目(XJEDU2020I018)。
参考文献
[1] 顾沛, 邓少强, 编. 简明抽象代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.
动工仪式
[2] 孙自行, 崔方达. 4次对称群S 4的子群个数及其证明[J]. 阜阳师范学院学报(自然科学版), 2005, 22(4): 16.
[3] 孟道骥, 等编著. 抽象代数. I, 代数学基础[M]. 北京: 科学教育出版社, 2010.
[4] 徐明耀, 著. 有限群论引导(上) [M]. 北京: 科学出版社, 1999.
[5] 王萼芳, 编著. 有群论基础[M]. 北京: 清华大学出版社, 2002.
