正弦信号幅值和初相位估计的问题研究
张晓威，孟凡明
【摘 要】在已知频率的情况下，提出了利用互相关函数估计正弦信号幅值与初相位算法，解决了使用自相关函数法估计幅值丢失相位信息问题。并利用叠加法在不损失源信号能量的情况下，提高了观测信号信噪比，从而提高了正弦信号估计精度。仿真实验结果表明，基于叠加的互相关函数法可在较低信噪比情况下以较高精度估计正弦信号的幅值和初相位。
【期刊名称】微云文件计算机工程与应用
【年(卷),期】2013(049)005
【总页数】4
【关键词】正弦信号；互相关函数；幅值；初相位；低信噪比
1 引言
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正弦信号参数估计在雷达、声呐、电子对抗、通信、生物及振动信号处理等领域中有着重要的应用价值[1]。由于在传感器接收信号的同时往往混有较高噪声，因此在低信噪比情况下，如何进行高精度正弦参数的估计就成为研究的重要内容，文献[2-3]的估计方法都是基于傅里叶算法给出的，由于傅里叶自身的精度问题以及算法不能有效地控制估计精度，并且非等间隔采样将无法采用这些方法进行参数估计，因此当频率要求特别严格或者采样间隔不等时，傅里叶方法不适用。虽然最大似然估计（ML）[4]可使均方误差达到最小，但ML算法复杂、速度慢，不利于实时处理，一般很少直接采用ML估计[5]。由于自相关函数法在统计意义下能很好地抑制噪声，因此可以有效地估计幅值[6-7]，但估计幅值的同时丢失相位信息。本文使用互相关函数法估计正弦信号幅值与初相位，解决了使用自相关函数法估计幅值丢失相位信息问题。上述方法在实际应用中，对信噪比均有一定要求[8-9]，在信噪比较高的情况下，能够以高精度估计信号的幅值和初相位，而在低信噪比的情况下，估计效果不是很理想。因此需要提高观测信号的信噪比。
本文利用信号周期性和噪声随机性特点[10]，使用叠加方法在未损失源信号能量情况下提高了观测信号信噪比，利用互相关函数法估计正弦信号幅值与初相位。仿真实验结果表明在较低信噪比情况下，可以较高精度估计幅值与初相位。
2 互相关函数黑米的做法大全
假设观测过程具备各态历经性，则可以利用样本函数的互相关函数来代替随机过程的互相关函数：
假定两个信号为x(t)与 y(t)，设信号采样时间为T′，y(t+τ)为y(t)时移样本，x(t)与y(t)的互相关函数可表示为：
下面在已知频率基础上，利用互相关函数进行幅值与初相位估计。设观测信号为：
其中s(ti)=asin(2πf0ti+φ0)为源信号，a为幅值，f0为固有频率，φ0为初相位，G(ti)为零均值，方差为σ2的加性高斯白噪声。
设是以频率为f的单位化正弦信号，显然s(t)=ax(t，φ)，0iei0 i=1，2，…，N，假设为标准的高斯白噪，则噪声与相互独立[10]，有：
即
将与xe(ti，0)= sin(2πf0ti)（其中i=1，2，…，N，a1=acos(φ0)，a2=asin(φ0)，+=a2）代
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入式（2）中得：
令
式（3）可写为Y=HA，解得A=(HTH)-1(HTY)，从而得到a1与a2（其中HT为H的转置，(#)-1为矩阵求逆符号）。由，得到幅值与初相位。
3 估计精度的提高
在信噪比较高的情况下，采用上述方法能够以较高精度估计信号的幅值与初相位。但是在低信噪比的情况下，估计效果不是很理想[8-9]。下面利用叠加方法提高信噪比，从而提高估计精度。
已知观测信号φ)，T=为固有周期，G(t)=σrandn(size(s(t)))为零均值，0方差为σ2的加性高斯白噪声，令tT=mT，其中(m=1，2，…)，利用平移算子与截断算子对信号进行叠加提高信噪比。由于算子具有线性性质，所以对x(t)进行平移、截断运算就等同于分别对s(t)与G(t)平移、截断运算，下面以s(t)的平移、截断过程为例说明，G(t)过程相同。
定义1若算子Lb满足Lb(f(t))=f(t+b)，则称Lb为平移算子，当b＜0时，表示对f(t)向右平移|b|个单位，b＞0时，表示对f(t)向左平移|b|个单位。
定义2若算子τc满足：
则称τc为截断算子，其中为g(t)定义域。
叠加过程具体步骤如下：
（1）将信号s(t)向左平移单位得：
（2）将式（4）截断在区间内，记为：
（3）将s(t)截断在区间内，记为：
（4）将式（6）中s3(t)向右平移单位得：
（5）由式（5）与式（7）有：
（6）s5(t)与s(t)叠加得到：
源信号s(t)经过一次叠加记为：
同理对G(t)进行上述过程，得到变换后的噪声记为
作文网课观测信号x(t)经过一次叠加的结果记为：
其中P(t)的幅值记为a，则a=2a，对Q(t)进行一次叠1111加，记为，其中P(t)为P(t) 21经过一次叠加得到的结果，幅值记为a2，则a2=2a1=22a。
叠加n次，记为：其中Pn(t)为Pn-1(t)经过一次叠加得到结果，幅值记为an，（其中 an=2an-1=…=2n-1a1=2na），Pn(t)=ansin(2πf0t+ φ0)=2nasin(2πf0t+φ0)。
令
由式（9）得到观测信号x(t)变换后的信号x′(t)，由于高斯噪声的随机特性，噪声不会被放大成2的指数倍，有Gn(t)＜2nG(t)。因此由式（9）与式（1）知x′(t)噪声大小低于x(t)噪声大小。
英语听力下载网站上述推导可以看出，观测信号x(t)经过变换后的信号x′(t)，其源信号s(t)并未改变，噪声值变
小，即叠加法在不损失源信号能量的情况下提高了观测信号x(t)的信噪比。因此采用上述互相关函数法对变换后的信号x′(t)进行幅值与初相位估计，精度得到提高。
4 仿真实验怎么挽回爱情
采用Monte Carlo方法对本文提出的互相关函数估计法进行仿真分析。
观测信号 x(ti)=s(ti)+G(ti)，i=1，2，…，N。其中s(ti)为式（1）定义的正弦信号，G(ti)为零均值，方差为σ2的加性高斯白噪声。仿真参数如下：
频率 f=10 Hz，初相位
0
，幅值a=1。虽然采样频率、采样点数越高估计效果越好，但是估计时间也随之增加，不利于实时处理，选取采样频率 fs=640 Hz、采样点数为N1=4 096是最合适的，既可以用较少的估计时间又可以保证估计精度，信噪比（单位：dB）定义为：
幅值与初相位均方误差定义分别为：
其中ai′、φ0i′分别为第i次幅值估计与初相位估计，N2为模拟次数。
（1）首先研究了信噪比对互相关函数估计法精度影响。表1详细列出了在不同信噪比情况下，利用Monte Carlo方法模拟N2=500次直接互相关法实验所得幅值估计值与初相位估计值，均方误差（Matlab6.5，CPU：C2.9 GHz，512 MB RAM）。
表1中各符号含义如下：SNR为观测信号信噪比为幅值估计均值为初相位估计均值，MSEa与MSEφ0分别为幅值与初相位均方误差。
表1说明在信噪比较高情况下即：信噪比高于－24 dB时，互相关函数法估计精度较高，信噪比低于－24 dB时，互相关函数法估计精度下降。说明了互相关函数估计法对信噪比有一定的要求。
（2）其次研究了叠加次数对估计精度的影响。利用最小二乘方法分别对叠加次数与幅值均方误差、初相位均方误差进行曲线拟合（其中SNR=-22 dB），利用Monte Carlo方法模拟N2=500次基于叠加的互相关函数法实验得到图1、图2。
由图1、图2可见，选取n=10时是最合适的。这样可使两者均方误差同时最小，保证了估计
精度。
（3）表2详细列出了在不同信噪比情况下，利用Monte Carlo方法模拟N2=500次基于叠加（这里对观测信号进行叠加10次，即式（8）n=10）的互相关法实验所得幅值与初相位估计值，均方误差。
相对于表1而言，基于叠加的互相关函数法估计精度有所提高，及均方误差有所降低。说明了叠加法的有效性。但在信噪比低至－25 dB以下时，估计效果下降，说明叠加法也只是在一定程度上提高了观测信号的信噪比（符号含义同表1）。
5 结论
对于低信噪比情况下正弦信号的幅值与初相位估计，本文提出了一种在不损失源信号能量的基础上提高信噪比的新算法，再利用互相关函数法估计幅值与初相位。在一定范围内提高了精度，同时解决了自相关函数估计法无法同时估计幅值与初相位问题。实验中发现，基于叠加的互相关函数估计法不足之处是，不能解决混有谐波的信号，这也是今后努力的一个方向。
