2021年6月电工技术学报Vol.36 No. 11 第36卷第11期TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICAL SOCIETY Jun. 2021 DOI: 10.19595/s.201101
分段长初级双边直线感应电动机建模分析张明远1,2史黎明1郭科宇1,2杨泽宇1徐飞1
（1. 中国科学院电力电子与电力驱动重点实验室（中国科学院电工研究所）北京 100190
2. 中国科学院大学北京 100049）
摘要分段长初级双边直线感应电动机（LP-DSLIM）系统由若干段单元电机串联或并联组成，为准确描述次级运动过程中单元电机的推力等状态变化和过分段时的暂态过程，该文提出了一种新型单元电机数学模型及分段LP-DSLIM系统模型。首先，对分段LP-DSLIM系统的特点进行分析，通过引入虚拟次级板将每段单元电机耦合的次级延长至与初级等长，以使单元电机初级、次级之间始终保持全耦合；然后，结合耦合因数得到实际次级磁链和初级磁链，以此推导得到新型单元电机数学模型，并基于此建立串联供电和并联供电的分段LP-DSLIM系统模型；最后，有限元计算和实验结果验证了提出的新型单元电机数学模型和分段LP-DSLIM系统模型的正确性。
关键词：长初级双边直线感应电动机单元电机数学模型虚拟次级耦合因数
中图分类号：TM359.4
Modeling and Analysis of Segmented Long Primary Double-Sided
Linear Induction Motor
Zhang Mingyuan1,2 Shi Liming1 Guo Keyu1,2 Yang Zeyu1Xu Fei1
（1. Key Laboratory of Power Electronics and Electric Drive Institute of Electrical Engineering
Chine Academy of Sciences Beijing 100190 China
2. University of Chine Academy of Sciences Beijing 100049 China）
Abstract The gmented long primary double-sided linear induction motor (LP-DSLIM) system is compod of veral gments of unit motors powered in ries or in parallel. To accurately describe the state change of unit motor and the transient process when passing through gments during condary motion, a new mathematical model of unit motor and a gmented LP-DSLIM system model are propod in this paper. Firstly, the characteristics of the gmented LP-DSLIM system are analyzed. By introducing the virtual condary board, the condary coupling of each unit motor is extended to the same length as the primary, so that the primary and condary of the unit motor are always fully coupled.
Then, the actual condary flux linkage and primary flux linkage are obtained by combining with the coupling factor. The new unit motor mathematical model is derived, and the gmented LP-DSLIM system model is established. Finally, the propod new unit motor mathematic model and gmented LP-DSLIM system model are verified by FEM calculation and experiments.
Keywords：Long primary double-sided linear induction motor, unit motor, mathematical model, virtual condary board, coupling factor
国家重点研发计划资助项目（2016YFB1200602-19）。
收稿日期2020-08-30 改稿日期2020-12-12
第36卷第11期张明远等分段长初级双边直线感应电动机建模分析 2345
0引言
长初级双边直线感应电动机（Long Primary Double-Sided Linear Induction Motor, LP-DSLIM）的次级一般为铝板，质量较轻，且装置的体积较小，结构简单，可靠性高，在高速时边端效应小，推力密度大，被广泛应用在汽车碰撞、轨道交通和电磁加速领域[1-3]。已有文献分别从电机特性[4]、边端效应[5-8]、控制方法[9-12]及解析计算[13-16]等多个角度对LP-DSLIM进行了研究。
LP-DSLIM次级长度比初级长度短，电机漏感很大，电压利用率低，在运行过程中会产生大量的无功功率。为提高电压利用率和效率、节约电能并减小对电源容量的要求，在实际应用中常将初级分段，如图1所示，并采用分段供电的驱动方式[17-18]。
图1 分段LP-DSLIM系统示意图
Fig.1 Schematic diagram of gmented LP-DSLIM
system
分段LP-DSLIM中每个分段都可以看作一段单元电机。随着次级的直线运动，初级、次级之间的耦合状况发生变化，由此导致各段单元电机参数变化。每段单元电机都会经历次级进入—全耦合—离开的过程[19]，如图2所示。每段电机的参数和状态不仅随次级位置时刻变化，还与上一段初级的状态有关，其数学模型的建立非常困难。
图2 分段LP-DSLIM系统次级与初级的三种耦合情况 Fig.2 Three coupling cas of condary and primary of
gmented LP-DSLIM怀孕可以吃绿豆吗
分段LP-DSLIM系统是由若干段单元电机串联或并联组成，供电方式比较灵活，不同的供电方式系统模型有差别。为建立分段LP-DSLIM系统模型，并研究相应的控制策略，需要建立单元电机的数学模型。尤其是在分段并联的LP-DSLIM系统中，每一段电机都相对独立，无法像串联供电情况下建立通电段整体的数学模型，因此建立单元电机的数学模型具有重要意义。
目前，国内外关于分段LP-DSLIM系统的建模文献较少。文献[20]对不分段的LP-DSLIM进行建模，将LP-DSLIM分为耦合次级的有效部分和不耦合次级的无效部分，并建立了等效电路。文献[21]将覆盖次级的初级段串联供电，在次级运动过程中，次级覆盖串联通电定子段的长度始终不变，电机的参数和模型是固定不变的，由此建立了串联通电段整体的数学模型，但未对单元电机建模。文献[22]为了研究串联供电时切换策略，分别建立了串联供电段整体在切换过程中的正常模态、错位模态和并联模态的电机参数矩阵，也未对单元电机建模。文献[23-24]研究了多段初级永磁直线同步电动机驱动系统整体建模并进行仿真。
文献[25-26]借鉴文献[20]的思想，将分段LP-DSLIM中每段单元电机分为耦合次级的有效部分和不耦合次级的无效部分，用耦合因数对等效参数修正分别建立了无效部分和有效部分的数学模型以描述次级运动对单元电机的影响。但文献[20]中的耦合因数是恒定不变的，若直接将其应用在耦合因数变化的
单元电机中，在次级高速运动时，单元电机的次级磁链和电磁推力的滞后现象较为明显，与实际情况相差较大。
本文推导得到了分段LP-DSLIM单元电机新型数学模型，基于新型单元电机模型分别建立了串联供电和并联供电的分段LP-DSLIM系统模型；在Simulink中对新型单元电机模型和现有文献中的单元电机模型的仿真结果进行对比分析；最后对提出的新型单元电机模型进行有限元分析和实验验证。
1单元电机模型公司送客户礼品
将单元电机分为两部分：与次级耦合的有效部分和不与次级耦合的无效部分。设每段初级长度为L1，次级与第n段单元电机初级耦合的长度为D n，如图3所示。
图3 单元电机示意图
Fig.3 The schematic diagram of unit motor
定义第n段单元电机的耦合因数αn=D n/L1。当D n=L1时，αn=1，单元电机为全耦合。对于一台全耦合的单元电机，其等效参数分别为：初级电阻R s，初级漏感L ls，次级电阻R r，次级漏感L lr，励磁电感L m，极距为τ。初级自感L s=L m+L ls，次级自感L r= L m+L lr。
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电 工 技 术 学 报 2021年6月
1.1 既有单元电机模型分析
既有单元电机模型[25-26]借鉴文献[20]中不分段LP-DSLIM 的思想，将分段LP-DSLIM 中每段单元电机分为耦合次级的有效部分和不耦合次级的无效部分，用耦合因数对单元电机全耦合时的参数进行修正，分别建立了无效部分和有效部分的数学模型，以描述次级运动对单元电机的影响，并将两部分相加得到单元电机模型，等效电路如图4所示。
图4 既有单元电机模型等效电路
Fig.4 The equivalent circuit of existing unit motor model
在静止两相αβ坐标系中，既有单元电机的数学模型为
s s s s r r r r r s s s m r r m s r r 0j n n n
n n n n
n n n n n n n n n
R p R p L L L L αωααα=+⎧⎪
狐臭传染人吗
=+−⎪⎨
=+⎪⎪
=+⎩u i i i i i i ψψψψψ （1）
式中，u s n 、i s n 和ψs n 分别为第
n 段单元电机初级电压矢量、电流矢量和磁链矢量； i r n 和ψr n 分别为第n 段单元电机次级电流矢量和磁链矢量；ωr =πv /τ，v 为次级速度，p 为微分算子。
第n 段单元电机产生的电磁推力为
m
en r s r n n在雾中
L L τπ=
×F i ψ （2）
式中，×表示向量积。
式（1）和式（2）共同构成了既有单元电机数学模型。
由式（1）可推导得到次级磁链和次级电流与初级电流的关系 m r r r r s r r 1
+j n
n n n L p T T ωα=−+i ψψψ
（3）
m r r s r r
1
n n n n L L L α=
−i i ψ （4）
式中，T r =L r /R r 。
由式（3）可知，次级磁链与αn i s n 为一阶惯性环
节，因此在次级进入并离开一段初级的整个过程中次级磁链都滞后于耦合因数的变化。根据式（2），次级磁链的滞后会导致电磁推力的滞后。在次级完全离开这段初级后，次级磁链和电磁推力仍然会存在3T r 的时间才能衰减至完全离开时刻值的5%以下。而由式（4）可知，次级完全离开后，次级磁链不为0而αn =0，次级电流为无穷大。根据以上分析结果可知，既有单元电机数学模型在动态情况下与实际情况相差较大。
1.2 新型单元电机模型理论推导
分析可知，LP-DSLIM 次级感应板始终位于初级的励磁磁场中，气隙磁场以转差频率切割次级。在运动过程中，次级的进入端的表面磁场由空载气隙值减小到合成气隙值，次级滑出端是从气隙合成值
增大到空载气隙值，LP-DSLIM 边端效应比较小[5]，本文暂不考虑。
分段LP-DSLIM 系统中各单元电机共用一块次级板，因此各单元电机的次级速度和次级时间常数均相同，各段初级的设计参数也保持一致。在现有分段长初级直线感应电机的文献中[17-18]，大多通过
晶闸管换步控制实现覆盖次级的各初级串联供电，各段初级电流可视为完全相等。
为建立分段LP-DSLIM 系统单元电机数学模型，做出如下假设：①不计磁路饱和；②铝的磁导率与空气相同；③不计长初级直线感应电机边端效应；④各段初级电流相等；⑤单元电机次级参数与初级耦合次级的长度成正比。
引入一段等高等宽的虚拟次级板，将每段单元电机耦合的次级延长至与初级等长，如图5所示。
图5 虚拟次级示意图
Fig.5 The schematic diagram of virtual condary
直线感应电动机次级为铝板，铝的磁导率与空气基本相同，因此虚拟次级板的引入不会改变单元
电机内无效部分磁路的磁导率，也不会改变单元电机的初级参数。
根据文献[20]一维场理论分析可知，忽略边端
效应，次级电流密度2j 分布的表达式为
j 01
222s e j e (1j )
t J j s sG ωτμωτσδπ⎛⎞
⎜⎟⎝⎠=−π+-
（5）
第36卷第11期
张明远等 分段长初级双边直线感应电动机建模分析 2347
式中，j 为虚数单位；J 1为初级电流密度幅值；ω为初级电流角速度；s 为转差率；x 为坐标轴；σs 为次级表面电导率；μ0为真空磁导率；δe 为气隙宽度；G 为品质因数。
由式（5）可知，次级板上的电流密度分布与次级长度无关，而电流矢量与电流密度相对应，因此得到如下结论：次级电流矢量仅与初级电流激励有关，与耦合的次级长度无关。为证明上述理论的正确性，分别将次级置于一段初级的不同位置，如图6所示，并施加相同的初级电流激励进行时谐涡流场分析。以初级为参考坐标系，在时谐涡流场分析结果中，次级电流密度沿x 轴上的基波分量如图7所示。
图6 次级位置示意图 Fig.6 Secondary position diagram
图7 次级电流密度分布
Fig.7 Secondary current density distribution
不同长度次级上的次级电流密度j 2n 沿x 轴分布的表达式均为
0j 2π2e
t x n n j J ωϕτ⎛
⎞+−⎜⎟
⎝
⎠= （6）
校园文章式中，J 2n 为次级电流密度的幅值；φ与电机参数和转差率有关；t 0为某一时刻。
电流矢量与电流密度分布对应，由式（6）可得，不同长度次级的次级电流矢量表达式均为
0ππj 2r r e
t x n n I ωϕτ⎛
⎞+−+⎜⎟
干扰素价格
⎝
价格管理制度⎠=i （7）
式中，I r n 为次级电流矢量的幅值。
由此证明，次级电流矢量仅与初级电流激励有关，与耦合的次级长度无关。因此在相同的初级电
流激励下，实际的次级电流矢量与虚拟延长次级至初级等长后的次级电流矢量相等。
在既有单元电机模型中，直接采用耦合因数对全耦合时的电机参数进行修正得到有效部分和无效部分来描述次级的运动，导致次级电流出现无穷大，电机模型明显失准。因此为了得到准确的次级电流，通过虚拟延长次级板至与单元电机初级等长，使得单元电机始终处于全耦合状态，单元电机的参数不再随次级位置变化而变化，在这种情况下得到的次级电流矢量与实际次级电流矢量相等。在静止两相αβ坐标系中，可得到次级电流、次级磁链与初级电流的关系为
r m s r r r r r r r r j 0n n n
n
n n n L L R p ω=+⎧⎨
=+−=⎩i i u i ψψψ （8）
式（8）包含了分段LP-DSLIM 系统中次级由第
n 段单元电机进入第n +1段单元电机过程中携带了由n 段单元电机激励的次级涡流的特性。
式（8）中的次级电流矢量即为实际次级电流矢量。但需要注意的是，这里的ψr n 是第n 段单元电机计及实际次级和虚拟次级的总次级磁链。单元电机次级参数与初级耦合次级的长度成正比，因此将次级自感修正为αn L r ，将次级与初级线圈的互感修正为αn L m ，那么第n 段单元电机的实际次级磁链ψro n 即为
ro m s r r r n n n n n n n L L ααα=+=i i ψψ
（9）
实际次级产生的磁通才会交链到初级线圈，虚
拟次级产生的磁通不会作用到初级。次级电流矢量通过修正后的互感αn L m 作用到初级线圈，因此第n 段单元电机初级磁链方程即为
s s s m r n n n n L L α=+i i ψ
（10）
第n 段单元电机初级电压方程为
s s s s n n n R p =+u i ψ
（11）
式（8）~式（11）共同构成了第n 段单元电机的电压方程和磁链方程，即
s s s s r r r r r r s s s m r r m s r r ro r j 0n n n
n n n n n n n n
n n n n n n
R p R p L L L L ωαα=+⎧⎪
⎪=+−=⎪⎪
=+⎨⎪
=+⎪⎪⎪=⎩u i u i i i i i ψψψψψψψ （12）
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电 工 技 术 学 报 2021年6月
第n 段单元电机产生的电磁推力为
m
e ro s r n n n
L L τπ=×F i ψ
（13）
式（12）和式（13）共同构成了新型单元电机数学模型。
选取初级电流i s n 和次级磁链ψr n 为状态变量，u s n 为输入变量，第n 段单元电机的状态方程为
222s r m r m r
s s 2
s r m r m r m r r r s 2
s r s s r m r r r r s r r 1 j 1
j n n n n n n n n n n n n n n
R L L R p L L p L L L R p L L L L L L L L L p T T αασαααωσσσω⎧+−=−+⎪⎪
⎪−⎪
−+⎨⎪
⎪=−++⎪⎪⎩
i i u i ψψψψψ （14）
其中
静音风扇2m s r
1n L L L ασ=−
（15）
推力作为输出量，第n 段单元电机的输出方程为
m
e r s r n n
n n
L L ατπ=×F i ψ （16）
2 基于新型单元电机模型的分段LP -DSLIM
系统模型
分段LP-DSLIM 系统通常有两种供电方式：串联供电和并联供电。不同供电方式下，基于单元电机模型建立的分段LP-DSLIM 系统模型也不同。 2.1 串联供电系统模型
假设次级最多耦合m 段初级，当采用串联供电方式时，通过晶闸管换步将耦合以及即将耦合次级的m 段单元电机串联通电，
此时m 段单元电机看成一台电机，其等效参数为单元电机等效参数的m 倍。次级长度为L 2，则耦合因数始终为L 2/(mL 1)。据此对式（12）和式（13）的参数进行修正即可得到串联通电段整体的数学模型，即为
s s s s
r r r r r r 2
s s s m r 1
r m s r r 2ro r
1j 0mR p mR p L mL mL mL mL mL L mL ω=+⎧⎪
=+−=⎪⎪
⎪=+
⎪⎨⎪
=+⎪⎪⎪=⎪⎩
u i u i i i i i ψψψψψψψ （17）
式中，u s 、i s 和ψs 分别为串联通电段整体初级的电压、电流和磁链矢量；u r 和ψr 分别为次级与串联通
电的初级等长时的次级电压和次级磁链矢量；ψro 和i r 分别为实际次级的次级磁链和次级电流矢量。
m
e ro s
r mL mL τπ=×F i （18）
为物理概念清晰，保留公式中分子分母上可以约分的m 。注意到串联通电段整体的电压和磁链方程的参数是固定不变的，此时等效为真正的LP-
DSLIM ，与文献[20-21]中LP-DSLIM 模型等效。 2.2 并联供电系统模型
当采用并联供电方式时，基于新型单元电机模型建立的分段并联LP-DSLIM 系统如图8所示。图中所有单元电机模型都基于式（14）~式（16）
。
图8 由新型单元电机模型建立的分段并联
LP-DSLIM 系统
Fig.8 Segmented parallel LP-DSLIM system compod of
the new unit motor model
所有单元电机的电磁推力共同作用到次级，次级运动模块的方程为
e1e2e d ...d d N F F F f a M v a t
s v t +++−⎧
=⎪⎪
⎨=⎪⎪=⎩∫∫
（19）
式中，a 、v 和s d 分别为次级的加速度、速度和位移；
f 为计及风阻、摩擦力等的总阻力。
各段单元电机的耦合因数根据次级位置s 计算得到。
串联供电系统模型只能研究串联通电段整体的电磁推力和次级磁链特性，无法研究各单元电机的特性，因此本文的仿真和验证都是基于较为复杂的并联供电系统模型。
3 仿真结果分析
在Simulink 中分别建立基于新型单元电机模型
