随机事件与概率定义及公式整理
1、随机事件与样本空间及关系和运算
1.1、样本空间
样本空间\Omega : E 的所有可能结果为元素构成的集合
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样本点 : \Omega中的元素，即试验的⼀个基本结果
其中，试验的特征为：
试验可以在相同的条件下重复进⾏
试验的结果可能不⽌⼀个，但试验前知道所有可能的全部结果
在每次试验前⽆法确定会出现哪个结果具有上述特征的试验称为随机试验，简称试验
1.2、随机事件
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样本空间\Omega的⼦集称为随机事件，简称为事件
随机试验的数学描述：
试验 E 的全部结果(其中是基本结果的集合) \Leftrightarrow样本空间\Omega (其中是样本点的集合)
随机事件\Leftrightarrow\Omega中的⼦集 A
事件 A 发⽣\Leftrightarrow A中样本点出现
基本事件：由⼀个样本点构成的单点集 { {\omega} }
必然事件：\Omega(\Omega \subt \Omega)
不可能事件：\empty(空集\empty \subt \Omega)
1.3、事件的关系与运算
给老板新年祝福语1、A \subt B\Leftrightarrow A 发⽣必导致 B 发⽣. 特别有 A = B \Leftrightarrow A \subt B, \ B \subt A
2、A \cup B = \{ \omega \in A \ or \ \omega \in B \}\Leftrightarrow A 发⽣或 B 发⽣，即 A，B ⾄少有⼀个发⽣，称为事件 A，B 的和
3、A \cap B = \{ \omega \in A, \ \omega \in B \}\Leftrightarrow A，B 同时发⽣称为事件 A，B 的积
类似地可定义 n 个事件的积：
\bigcap^{n}_{i = 1} A_i = \{ \omega \ | \ \omega \in A_i, \ i = 1, 2,..., n \}
4、A - B = \{ \omega \ | \ \omega \in A, \ \omega \notin B \}\Leftrightarrow A 发⽣ B 不发⽣称为事件 A，B 的差
5、若A \cap B = \empty，则称 A，B 互不相容（互斥），即 A，B 不能同时发⽣
6、若A \cup B = \Omega且A \cap B = \empty，则称 A，B 互为逆事件或称为对⽴事件，记为
A = \Omega -
B = \bar{B}, \ B = \Omega - A = \bar{A}
1.4、事件的运算定律
事件域
设\Omega为样本空间，F 是由\Omega的⼦集组成的集合类，若 F 满⾜⼀下三点，则称 F 为事件域
1. \Omega \in F;
2. 若A \in F，则\bar{A} \in F
3. 若A_n \in F, \ n = 1, 2, ... ，则\bigcup^{+ \infty}_{n = 1} \in F
2.1、频率(并由此导出概率的统计定义)
定义：记f_n(A) = \displaystyle{\frac{n_A}{n}}；其中n_A——A 发⽣的次数(频数)；n——总试验次数。称f_n(A)为 A 在这 n 次试验中发⽣的频率。
性质：
0 \leq f_n(A) \leq 1
f_n(\Omega) = 1
若A_1, A_2, ..., A_k两两互不相容，则
f_n(\bigcup^{k}_{i = 1}A_i) = \sum^{k}_{i = 1}f_n(A_i)
且f_n(A)随 n 的增⼤逐渐稳定，记稳定值为 p.
这种性质称为频率稳定性，也就是通常所说的统计规律性。
频率稳定值即概率的统计定义。
2.2、概率的公理化定义
mx2
2.2.1、公理
⾮负性公理：P(A) \geq 0;
正则性公理：P(\Omega) = 1;
可列可加性公理：若A_1, A_2, ......, 互不相容，则
P\Big (\bigcup^{\infty}_{i = 1}A_i \Big ) = \sum^{\infty}_{i = 1}P(A_i)
注：不互斥就是相容，相容，根据字⾯意思，就是互相有包容的意思，就是有交集。
2.2.2、性质
1. P(\empty) = 0
2. 有限可加性
P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k) = P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_k)
其中，A_1, A_2 ... A_k两两互不相容
3. 如果A \subt B，则
P(B - A) = P(B) - P(A)
P(A) \leq P(B)
扶桑花的花语4. \forall A \subt \Omega, \ 0 \leq P(A) \leq 1
5. \forall A \subt \Omega, \ P(\bar{A}) = 1 - P(A)
6. (加法公式) P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) (注意：A \cup B = A \cup (B - AB)，不要因为东西多⽽犯迷糊了) 推⼴：
P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_1A_2) - P(A_2A_3) - P(A_1A_3) + P(A_1A_2A_3)
P(A_1 \cup A_2 \cup ... A_n) = \sum^{n}_{i = 1} - \sum_{1 \leq i \leq j \leq n}P(A_iA_j) + \sum_{1 \leq i \leq j \leq k \leq n}P(A_iA_jA_k) + ... + (-1)^{n - 1}P(A_A_n)
3、等可能概型(古典概型)
3.1、定义
具有以下两个条件的随机试验称为等可能概型，
1. 有限性试验的样本空间中的元素只有有限个；
2. 等可能性每个基本事件的发⽣的可能性相同。
等可能概型也称古典概型。
3.2、计算公式
1. \Omega = \{ {\omega}_1, {\omega}_2, ..., {\omega}_n \}且P({\omega}_1) = P({\omega}_2) = ... = P
({\omega}_n)
\therefore P(\Omega) = P(\{ {\omega}_1 \} \cup \{ {\omega}_2 \} \cup ... \cup \{ {\omega}_n \}) = P(\{ {\omega}_1 \}) + P(\{ {\omega}_2 \}) + ... + P(\{ {\omega}_n \}) = nP(\{ {\omega}_i \})
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\therefore P(\{ e_i \}) = \frac{1}{n} \qquad i = 1,2,...,n
2. 若事件 A 包含 k 个基本事件，即
A = \{ e_{i1}, e_{i2}, ..., e_{ik} \} = \{ {e_{i1}} \} \cup \{ {e_{i2}} \} \cup ... \cup \{ {e_{ik}} \}
汇报其中(i_1, i_2, ... i_k \ 表⽰ \ 1, 2, ..., n \ 中的 \ k \ 个不同的数)
则有P(A) = \displaystyle{\frac{k}{n}} = \displaystyle{\frac{A 包含的基本事件数}{\Omega 中基本事件的总数}}
3.3、计算⽅法
1. 构造 A 和\Omega的样本点(当样本空间\Omega的元素较少时，先⼀⼀列出\Omega和 A 中的元素，直接利⽤P(A) =
\displaystyle{\frac{k}{n}}求解)
2. ⽤排列组合⽅法求 A 和\Omega的样本点个数
预备知识：
Ⅰ. 加法原理：完成⼀项⼯作 m 类⽅法，第 i 类⽅法有n_i种(i = 1, 2, ..., m)，则完成这项⼯作共有：n_1 + n_2 + ... + n_m种⽅法。
Ⅱ. 乘法原理：完成⼀个⼯作有 m 个步骤，第 i 步有n_i种⽅法(i= 1, 2, ..., m)，则完成该项⼯作⼀共有：n__m种⽅法。
Ⅲ. 排列：从 n 个元素中取出 r 个元素，按⼀定顺序排成⼀列，称为从 n 个元素⾥取出 r 个元素的排列。(n, r 均为整数)
① (⽆放回选取) 从 n 个不同的元素中⽆放回地取出 m 个(m \leq n) 进⾏排列，共有P^{m}_{n} = n(n - 1)...(n - m + 1) = \displaystyle{\frac{n!}{(n - m)!}}种⽅法。当m = n, P^{n}_{n} = n!，这叫全排列。
② (有放回选取) 从 n 个不同元素中有放回地抽取 r 个，依次排成⼀列，称为可重复排列，⼀共有n^r种⽅法。
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Ⅳ. 组合：从 n 个元素中⽆放回取出 r 个元素，不考虑其顺序，组合数为
C^{r}_{n} = \displaystyle{\frac{p^{r}_{n}}{r!}} = \displaystyle{\frac{n!}{(n - r)!r!}}, \ C^{r}_{n} = C^{n - r}_{n}
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