天地广场KMP算法详解
1. 学好KMP算法，关键点有三点，⼀是知道什么是前缀和后缀最长相等长度；⼆是理解KMP算法流程，三是求解next数组。
⼀、什么是前缀和后缀最长相等长度
⾸先给定⼀个字符串abstkabs。下⾯介绍前缀和后缀
前缀就是以第⼀个字符开始，⼀共能找出多少种和本⾝不⼀样的字符串(必须连续)。意思就是你不能破坏原来字符串的顺序来找，⽐如abstkabs，abtk就不⾏，因为它破坏了原来的顺序结构，即从b直接跳到t。所以abstkabs的前缀有a、ab、abs、abst、abstk、abstka、abstkab；不计算本⾝，所以共7种。同理，后缀是以最后⼀个字符结尾，⼀共有多少种和本⾝不⼀样的字符串。此处后缀有s、bs、abs、kabs、tkabs、stkabs、bstkabs 共7种。⽽前缀和后缀中只有abs这个字符串是相等的，所以前缀和后缀中最长的长度就是当前缀和后缀都为abs的时候，即最长相等长度为3。理解这个概念很重要，这也是next数组的含义。
⼆、KMP算法的流程
1、简单概念介绍：
KMP算法简单的说就是匹配字符串S1，S2，是否S2为S1的⼦串，当然你要满⾜s2的长度是⼩于等于S1。⽐如absabs和bsa，明显bsa是包含于absabs中，并且连续，所以bsa为absabs的⼦串。⽽kmp算法的返回值是如果S2是S1⼦串，则返回第⼀个匹配相等的字符的下标，所以这个例⼦，就是返回1，如果不是⼦串直接返回-1。
2、从暴⼒解法引⼊KMP算法
注意下图中的数字或者字母代表字符串中某个字符的下标(或者理解成指针)，不要和字符串的内容混淆
如果针对两个字符串匹配的问题，暴⼒解法必然是如下所⽰：拿⼀个⽐较通⽤的情况来举例
即当S2和S1⼀直开始匹配，直到某个匹配过程的时候，匹配到不相等的地⽅，也就是S1[X]和S2[Y](绿⾊表⽰字符串的内容匹配⼀致)。这时候暴⼒解法就是S2向右移动⼀位，也就是拿S2重新跟S1从i+1处开始进⾏匹配。然后依次类推。这样⼀来时间复杂度是o(N*M)级别的，因为假设S1有N个，S2有M个(M<=N)，考虑最坏情况：
我需要从S1第⼀个字符开始看，如果和S2⼀致，则要往下⼀直要看M个字符，直到发现最后⼀次⽐较S1和S2对应的值不相等，那么我得重新开始从第⼆个字符开始继续看。对于第⼀个字符就是o(1*M),S1⼀共N个字符，所以需要看N*M遍，所以复杂度为o(N*M)。复杂度还是很⾼的。⽽KMP算法其实在暴⼒的基础上跳过了⼀些字符的⽐较，所以加速了⽐较进程。
KMP算法是怎么样流程呢？还是针对上⾯那幅图
当S1和S2匹配到不相等的时候，即S1[X]!=S2[Y]，KMP是根据S2中的前缀和后缀的最长相等长度(后⾯⼀致称为最长前缀，因为两者相等)，将指针Y往前指向到Y处的最长前缀(不含Y，只看Y之前字符串
的最长前缀)的下⼀个，再跟S1中X处开始⽐较。可能你听不太懂啥意思，看下⾯的图应该⽐较好理解：
假设此时Y处之前的最长前缀和后缀是红框中所⽰，那么Y就指到到最长前缀的下⼀个，也就是：
然后再和S1的X处进⾏匹配，如下图虚线对应的那样：(j是最长后缀的第⼀个字符，在下⾯讲解有⽤)
其实就相当于把S1往左移动，也就相当于把S2往右移动，反正只要保证X和Y对应就⾏。但这⾥我习惯性的是理解成S2右移动(因为S1是你的参照物，最好不动，然后S2是你要匹配的，所以尽量让S2移动，我觉得这样⽐较好理解)。所以就相当于Y向右移动五格，所以X和Y对齐，0和j对齐：
⾄此，其实KMP算法的性质就变了，也就是变成问你，S1从j位置开始，可不可以实现S2的匹配？并且，我只需要从X和Y处进⾏⽐较即可。
你可能会问，为什么可以直接跳到j位置开始匹配呢？这是因为j的位置是最长后缀的第⼀个字符，⽽0的位置是最长前缀的第⼀个字符，将他俩对齐我可以保证j~x-1这段内容和0~y-1这段内容是⼀致的。因此我就可以直接从S1[X]和S[Y]处进⾏⽐较。但是问题⼜来了，你怎么保证j之前的任意位置开始，S1配不出S2？我们可以⽤反证法来证明：
假设i~j中间有⼀个位置k，且从k位置开始可以实现S2的匹配（图中红框的部分表⽰S2的最长前缀和后缀）即：
如果在假设成⽴的前提下，那么必然有什么？因为假设告诉你，从k开始可以实现s2的匹配，所以必然有k~x-1的长度的内容必然和S2中从0开始等长度的内容是⼀致的(如果这⼀段都不⼀致，后⾯怎么可能是匹配的嘛)，也就是黄⾊框内的内容。即S1黄=S2黄。这样会出现什么问题？因为绿⾊的内容是表⽰匹配，所以会出现：
S2紫⾊框和S1黄⾊框的内容相等(都是绿⾊)，S1黄= S2紫。⽽S1黄=S2黄。所以有S2的黄⾊框=S2的紫⾊框，S2黄= S2紫。那这代表什么？不就代表S2的最长前缀和最长后缀变成了S2黄和S2紫了吗？⽽我们之前明明给定了最长前缀和最长后缀是红框了呀，所以出现就前后⽭盾，所以假设不成⽴。这就说明i~j中不可能出现某个位置实现S1对S2的匹配，那么⾃然为什么可以直接从j位置开始匹配的原因。
上⾯就是KMP算法的核⼼思想。接下来讲⼀下流程：假设两个指针i1和i2分别指向S1和S2的第⼀个字符。分为三种情况
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1.当S1[i1] = S2[i2]的时候，两个指针同时往后⾛，i1++，i2++;
2.当S1[i1] ！= S2[i2]的时候，其实也就是我们上⾯讲述的⼀⼤堆所代表的某种中间情况，即在某⼀个位置，两者不匹配了。
2.1 如果i2可以往前跳：即next[i2]!=-1或者i2！=0（因为next[0]=-1），则i2跳到最长前缀的下⼀ 个，即i2=next[i2]；再跟可能x
处对⽐(其实就是找j位置)
2.2.当i2不能往前跳的时候，i1++；这步是什么意思？其实就是i2⼀直往前跳，跳到头， 还没找 到s1中可以和我对⽐的位置，也就
是j位置(上述已讲)。怎么说？因为第2步，它就是往前 跳，跳到⼀个位置可以去跟x处对⽐(相当于可以找到⼀个j位置，让s1从j位置开始，对s2进⾏匹配)。⽽此处i2跳到头还没找到⼀个位置可以和x位置对⽐，那么说明从s1的x处开始⼀直往前，根本没有⼀个j位置可以匹配s2，所以这时候，s1需要往下移动⼀个位置作为新的X处，然后再重复过程即可。
下⾯给出KMP的主代码。
int KMP(string&s1, string&s2) {
中国人性格if (s1.empty() || s2.empty() || s1.size() < s2.size()) return -1;
vector<int> next = getNextArray(s2);//构建⼩串s2的next数组
//开始匹配，⾸先定义s1和s2的指针都从0开始
春天英文int i1 = 0;//指向s1的⾸元素
int i2 = 0;//指向s2的⾸元素
while (i1 < s1.size() && i2 < s2.size()) {
if (s1[i1] == s2[i2]) {//当两者指向的值相等，两个继续往下指，看后续是否⼀致
i1++;
i2++;
}
el if (i2!=0) {//当两者指向的值不相等的时候，并且i2不是指向第0个位置(因为next[0]=-1)i2往前跳到最长前缀的下⼀个
//el if(i2!=0)也可以这样写
i2 = next[i2];
}
el {//当两者指向的值不相等，并且指向第0个位置，那么i1要往后⾯移动⼀个位置跟我再⽐
i1++;
}
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}
return i2 == s2.length() ? i1 - i2 : -1;
/*
i2如果越界，则表⽰匹配完成，所以，返回的第⼀个匹配的下标就是i1 - i2，否则返回 - 1
注意，为什么是i1-i2？因为我们要知道，i2是不停跳跃变化的，但是唯⼀关⼼的就是当匹配完成的时候，
它⼀定会到最⼤下标的下⼀个(越界)，这样才能保证s2⽐完，所以i2==s2.size()，就是看它越界没，
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如果越界，则第⼀个匹配的下标，是啥，是不是i1当前的位置，减去i2的长度(也就是s2.size())？对吧
*/
}
三、next数组
next的数组的含义⼀定要搞清楚，⾸先next数组是针对较⼩的字符串⽽⾔的，换句话说就是需要匹配的字符串，⽐如abbs和bbs，那么next数组就是针对bbs⽽⾔。其次，该数组的每个位置的值(或者叫信息)其实是跟该位置没有关系，它其实表⽰的是它前⼀位置的信息，这个信息是什么呢？就是该位置的前⼀位置的最长前缀(最长后缀)的长度。
我们⼈为的规定，next[0]=-1，next[1]=0；所以next数组要从i=2开始计算。⽐如bbs这个字符串，它的next数组就是[-1,0,1]，因为i=2，是s，它保存的信息是s之前(跟S⽆关)的字符串的最长前缀和最长后缀的长度，所以就是1。
了解完next数组的含义，我们来看看next数组怎么求解。假设我们现在要求字符串str 的i位置的值，那
么根据之前说的，我们需要找的是i 之前的字符串的最⼩前缀的长度。⽽next[i]必然跟next[i-1]相关。我们设i-1前的最长前后缀为红框所⽰，且最长前缀的下⼀位的位置⽤cn 表⽰
其实也分为三种情况：
1.str[i-1]==str[cn]，那么很显然，i之前的最长前后缀长度就变成了3+1=4；即：next[i+1]=cn+1
2.当str[i-1]!=str[cn]：
2.1：且cn并不处于第0个位置，也就是cn可以往前跳，那么cn就跳到next[cn]的位置，
即cn=next[cn];next[cn]的值是什么？它表⽰cn处的信息，也就是cn之前的字符串的最长前后缀长度。假设上图红框中还有最长前后缀，即：
这时继续⽐较cn和i-1处是不是相等，相等则next[i+1]=cn+1，即next[i]=1+1 = 2；
2.2 cn处于0位置，说明cn不能往前跳了，因此i之前就没有最长前缀和后缀，所以next[i+1]=0；
next数组实现：
vector<int> getNextArray(string& str) {
if (str.size() == 1) return { -1 };
//定义⼀个next数组
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vector<int> next;
next[0] = -1;
next[1] = 0;
int i = 2;//从i=2开始计算
int cn = 0;
/*注意：为什么这⾥cn=0？
cn表⽰拿什么位置跟i-1位置对⽐，也就是⼀直拿cn位置(前缀的下⼀个)跟i-1位置对⽐。
因为i从2开始计算，⽽i-1也就是1，所以就是拿什么位置跟i=1对⽐？i=1之前就⼀个字符，也就是说没有前缀，所以cn=0
此外，cn还表⽰i-1的信息，因为cn = next[i-1]，⽐如next[1] = 0，这就是为什么初始值设置为i=2,cn=0
*/
while (i < next.size()) {
if (str[i - 1] == str[cn]) {//如果str的i-1处字符和cn处相等，那么next[i]=next[i-1]+1，继续往下⽐
next[i++] = ++cn;//cn也是当前next[i-1]的值，所以next[i]=cn+1。因为要继续看下⼀位是否同样满⾜，所以同时⾃增
}
el if (cn > 0) {//并不是0位置
cn = next[cn];
}
el {
next[i++] = 0;
}
}
return next;
}
最后写个main函数测试⼀下：
int main()
{
string big;
string small;
cout << "请输⼊⼤⼩字符串" << endl; cin >> big;
cin >> small;
int ans = KMP(big, small);
cout<< ans<<endl;
system("pau");
return 0;
}遗爱湖
