使用Radon变换进行二维MRI图像配准

更新时间:2023-06-17 09:36:26 阅读: 评论:0

使用Radon变换进行二维MRI图像配准
李 鹏 俞凯君
上海交大生物医学工程系 (上海200030)
摘要 使用了一种基于Radon变换的技术来进行二维的MRI图像配准。MRI的图像配准一般使用灰度配准,而Radon变换一般用于C T图像的重建,虽然现已经存在使用Radon变换进行图像配准,但是比较繁琐,我们对这一配准算法进行了简化。
关键词 Radon变换;图像配准;MRI;降唯
2D MRI Image Registration by Radon Transform写给对象的情话
Li Peng Yu Kai jun
Dept.of Biomed.Eng.,Shanghai Jiaotong Univ (Shanghai200030)
Abstract In this paper a technique for matching a2D MRI image by Radon Transform is propod.Intensity-bad re gistration methods are extensively applied in MRI image,Radon transfor m
is ud in CT data reconstruction.Im age registration by Radon Transform already e xists,but it is too comple x,we simplify it in this paper.
Key words Radon Transform Image registration MRI Dimensionality reduction
1 简介
图像配准[1]是找到一个几何变换,这个变换将一张图片上的点与另外一张图片上相应的点对齐。常见配准方法有:基于点的方法、基于曲面的方法、基于灰度的方法。其中基于灰度的配准方法由于对预处理和用户交互的要求更少,所以更加容易实现自动化配准,因此被广泛使用在医学图像配准中。
Radon变换[2]是奥地利数学家Johann Radon于1917年提出的一种积分变换,现已广泛使用在医学成像、光学和全息干涉量度学、地球物理学、射电天文学等领域。近年来离散Radon变换[3][4][5][6][7]已经获得飞速发展,使得Radon变换在纯粹的图象处理领域得到越来越广泛的应用。
2 Radon变换及其性质
2.1Radon变换的定义
函数f(x,y)的Radon变换定义为沿一族射线M 的第一类曲线积分,如图1所示
R( ,t)=!M( ,t)f(x,y)ds(1)其中R( ,t)就是函数f(x,y)的Radon变换,每一根射线M由 和t两个参数决定,其中 是射线M的垂线和x轴的夹角,t是射线M到原点的距离。对于每个 ,
{R( ,t)| ∀[0 0}(2)给出了二维成像物体f(x,y)一维投影的全部集合。利用变量t=x cos +y sin 和冲激函数的抽样特性可得:
R( t)= (R2)f(x,y)(xcos +ysin -t)dxdy(3)以上就是二维Radon变换的定义。
2.2Radon变换的性质
若函数f(x,y)进行了各向同性的缩放、旋转和平移变换,所对应的Radon变换函数将有对应的变换[8]。
对f(x,y)进行各向同性缩放,缩放因子为k,即f(x,y)变为f(kx,ky)则
R f(kx,ky)=1
K
R f( ,kt)(4)由傅立叶切片定理
杭州少儿医保!+#-#R( ,t)e-j2 wt dt=!+#-#!+#-#f(x,y)
e -j 2 w(x cos  +y sin  )
dxdy
(5)
由Parval 定理
! 0!+#-#|R( ,t)|dtd  =!+#
-
#
!+#-#f (x ,y )dxdy
(6)
因此可得
1k =! 0!+#-#R f (kx ,ky )dtd  ! 0!-#R f (x ,y )dtd  (7)考虑Radon 变换函数R( ,t)对 的积分,对f(x,y)进行旋转,旋转角度为!,即f(x,y)变为f(xcos !-ysin !,xsin !+ycos !),则
R f (xcos !-ysin !,xsin !+ycos !)=R f ( +!,t)(8)
对f(x,y)进行平移,在x 和y 方向分别平移∀x 和
∀y,即
周公解梦梦见打架f(x,y)变为f(x-∀x,y-∀y),则
R f (x -∀x ,y -∀y )=R f ( ,t -∀xcos  -∀ysin  )(
9)
图1
3 在Radon 空间中进行配准的过程
假设待配准的图像跟参考图像相比较可以通过各向同性的缩放、旋转和平移三个过程就可以达到配准的目的,所以整个变换是这三种变换按顺序的组合。
唐朝古琴假设参考图像为g(x,y),待配准的图像是f(x,y),需要寻找几何变换T,使得G(x,y)=T(f(x,y))(10)
其中
T =kg
cos !,sin !-sin !,cos !+∀x ∀y
(11)k 为各向同性缩放因子,!为旋转角度,∀x 和∀y 为平移距离。3.1第一步:求缩放因子k
分别求出待配准的图像和标样图像的Radon 变换,再对它们的变换公式进行全平面积分,然后公式
(7)就可以求出缩放因子k,求出k 以后将待配准的图像缩放到与标样图像一样的大小。
3.2第二步:求旋转角度!
韩国美女图片在求旋转角度的时候,大部分使用Radon 变换的算法都使用了唯相技术(Pha -only technique),这里使用了一种直观的算法,简化了求旋转角度的过程。
构造函数Q( ),其中
Q( )=!+#-#R f (x ,y )dt
(12)由公式(8)和(9)可知,对于待配准的图像f(x,y)和
标样图像g(x,y),若f(x,y)仅仅是g(x,y)经过平移和旋转的,那么存在角度!使得
Q 1( +!)=Q 2( )(13)
其中Q 1( )=!+#
-#R f (x ,y )dt Q 2( )=!+#-#
R f (x ,y )dt
(14)为求!,即是求下式的极小值
min !
0[Q 1( +!)-Q 2( )]2d  (15)对于离散的情况就是
min ∋ ∀[0, ]
[Q 1( +!)-Q 2( )]2
(16)
由于公式(16)极其简单,使用穷举法也可以很快算得,在实验部分将给出详细的算法步骤。3.3第三步:求平移距离∀x 和∀y
相比于计算旋转角度!的算法,计算∀x 和∀y 的方
法就更简单了。定义
P 1(t)=R (0,t)= R 2f (x ,y ) (x -t)dt P 2(t)=R (0,t)= R 2f (x ,y ) (x -t)dt
(17)
番木鳖参考图1可以看出P1(t)和P2(t)都是在y 方向的Radon 变换,可以专门用来计算∀x,存在∀x,使得P 1(t)=P 2(t +∀x )(18)
求∀x 的方法跟第二步求旋转角度的方法一样,就是
求下式的极小值
min !+#
-#[P 1(t +∀x 0)]2dt (19)对于离散的情况就是min ∋A
x =0
(P 1(x )-P 2(x +∀x ))2
(20)
其中A 为图像的x 方向的像素点数量。
同理,∀y 的计算方法完全一样,只要将(17)修改如下再计算即可
P 1(t)=R (
2,t)= R 2f (x ,y ) (y -t )dt
P 2(t)=R (
2
,t)= R 2g (x ,y ) (y -t)dt
(21)
参考图1可以看出(21)中的P1(t)和P2(t)都是在x 方向的Radon变换,可以专门用来计算∀y。
4 实验
图2为标样图片,图3为待配准的图片,图3是图2经过各向同性缩放、旋转和平移三种变换所得。现在要使用上面所说的配准方法进行实验。
首先使用公式(7)求得缩放因子k,然后根据k 将图3进行放大后得到图4。
然后根据公式(14)分别计算图2和图4的Radon变换,从而得到两个图的一概图(profile),即图6,其中实线是图2的一概图,虚线是图4的一概图,横坐标为角度,纵坐标为两图的Radon变换的积分值。可以看出,这两条曲线其实就相差一个相位,只要把某一条左移或右移,那么这两条曲线就将重合。图
7就是把虚线左移了30个单位后两条曲线就几乎重合了。也就是说,把图4中的图像旋转30度就和标样图片中的图像方向一样了,所要求的角度就是30度。具体的算法参考公式(16)可以这样实现:将图2的Radon变换的数据存放在第一个数组Array1中,其中Array1一共有181个数据,每个数据从头到尾对应0度到180度的Radon变换,也就是图6中的实线所表示的数据。然后将图4的Radon 变换的数据存放在第二个数组Array2中,Array2一共有362个数据,前181个数据也是对应0度到180度的Radon变换,也就是图6中的虚线所表示的数据,后181个数据只是前181个数据的复制而已,相当于在图6中将虚线从0度到180度的位置复制一份后添加到180度之后去。然后计算下面这个公式:
∋180
i=0
(Array1)(i)-Array2(i+j)2(22)其中j=0,1,2,...,180
求能够使得公式(22)最小的j,这个j所表示的角度就是所要求的旋转角度。求得旋转角度后将图4作旋转变换得到了图5。
最后求两个平移距离,参考公式(17)和(20)可以看出,求∀x的方法和求旋转角度的方法类似。将图2在y方向的Radon变换的数据放入第一个数组中,将图5在y方向的Radon变换的数据复制成两份,放入第二个数组中,然后参考公式(22)的做法,可以计算出∀x;∀y的可以参考(21)的定义也不难求
得。
这样所要求的三个参数就都知道了,然后使用公式(11)求得整个变换矩阵T。
图2 标样图片
图3 待配准的图片
图4 计算出缩放比后进行放大的图片
图5 计算出旋转角度后进行旋转后的图片
图6 旋转前标样图片(图2)和待配准图片(图4)的一概图
图7 旋转后标样图片和待配准图片的一概图
5 结论
本文通过Radon变换的降唯效应,将图像这个二维的数据变成了一维数据,在一概图上进行分析再提出图像配准的简化算法。相比其他使用Radon 变换进行配准的算法要更简单,也更直观。早上跑步能减肥吗
参考文献
1 J.  B.A.Maintz and M.A.Viergever,∗A survey of
medical image registration,∗Med.Ima ge Anal.,vol.
2,pp.1 36,1998.
2 Alexander D.Poularikas,The Transforms and Appli
cations Handbook Second Edition.Florida:CRC Press,2000
3 G.Beylkin,Discrete Radon transform,IEEE Trans.
ASSP35(2)(February1987)162 172.
4    B.T.Kelly,V.K.Maditti,The fast discrete
Radon transform-I:Theory,I EEE Trans.Image Process.2(3)(July1993)382 400.5 T.C.Hsung,  D.P.K.Lun,W.C.Siu,The dis
crete periodic Radon transform,IEEE Trans.Signal Process.44(10)(October1996)2651 2657.
6 D.P.K.Lun,T.C.Hsung,T.W.Shen,Orthogo
nal discrete periodic Radon transform.Part I:theory and realization,Signal Processing83(5)(2003)
7 D.P.K.Lun,T.C.Hsung,T.W.Shen,Orthogo
nal discrete periodic Radon transform.Part II:appli cations,Signal Processing83(5)(2003)
8 Jiangsheng You,Weiguo Lu,etc.I mage matching for
translation,rotation and uniform scaling by the Radon transform.ICIP-A98(847 851).
(收稿日期2006 05 25)
早餐图片大全世界上第一个人造胃
英国科学家宣布他们已经制造了世界上第一个人造胃。这个闪着金属光泽的高科技盒子跟人胃的消化功能完全一样。
根据介绍,这个人造胃用金属制作。人的内脏内存在酸和酶,因此这个人造胃有抗酸和酶的腐蚀性能力,同时还增加了人造胃对营养物质吸收的新功能,比如在吃那导致肥胖的食物时,它会有一种饱了的感觉。
英国诺里奇食物研究院的马丁博士是这个人造胃项目的负责人。他说,人造胃是一个由两部分组成的模型,稍微比台式电脑大点。
模型的上半部分由一个漏斗组成,食物、胃酸和消化酶在这个漏斗里混合。一段时间后,食物将滑落到一个银制的管子里,再通往一个黑色透明体的盒子。人造胃中的软件分别根据婴儿或成年人,已经预设了不同的人造胃参数,比如,食物在胃里某个部位能保存多久,预知各个不同部位激素的产生。
通过了解食物在内脏中的消化过程,以及胃中各个部分吸收营养的情况,研究者能通过食物的加工制作来控制消化过程,帮助公众拥有键康的身体。比如,通过演示可以知道葡萄糖在血液中的吸收情况,可以有效帮助糖尿病患者。+我们对于内脏内的消化过程了解并不多,但我们希望这个模型能帮助我们填补些空白。∗马丁博士说。
+这是非常重要的工具,能够帮助我们理解人体胃中发生的一切。∗伦敦皇家学院的生物化学教授彼特博士说。
这只人造胃的容量大约是实际胃一半大小,它可以+吃∗约24盎司的食物,目前为止,它主要享用的食物是蔬菜。
这项研究由英国政府赞助,用于修建模型的费用约为180万美元,目前,马丁和他的研究小组已经和数十家公司进行谈判,希望在将来继续研究这个项目。
目前,这个人造内脏已经吸引了商家目光。一个公司计划用人造胃来做实验,看一块饼干在内脏内释放多少营养元素。另一个公司则希望知道一个误被儿童吞食的污染物在人体内能被吸收多少。

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