第39卷第3期2017年6月
探测与控制学报
Journal of Detection &Control
Vol. 39 No. 3
Jun. 2017
基于分块对角矩阵的二维压缩感知数据采集和重构方法
程涛w，3
(1.深圳大学光电子器件与系统重点实验室，广东深圳S18060;
2•广西科技大学汽车与交通学院，广西柳州S4S006;
3.深圳生物医学光学微纳检测与成像重点实验室，广东深圳S18060)
主商要：针对遥感中线阵推扫数据采集模式和现有方法重构能力的不足，提出基于分块对角矩阵和TV (To
tal Vanation) 算法的二维压缩感知模型和方法。该方法能够使压缩感知的约束函数和目标函数同时包含完整
的图像二维信息，是真正完全意义上的二维压缩感知。在不改变传统数据采集模式的基础上，通过分块对角矩
阵的后处理，实现二维压缩感知。实验结果表明，该方法使图像的重构效果获得极大改善,S N R提高约8 dB。
但是该方法不适用于〇MP(Orthogonal Matching Pursuit)和BP(Basis Pursuit)算法。该方法促进了定向遥感
的发展，如与其他模型和方法结合，能进一步提高重枸效果。
关键词：二维压缩感知；定向遥感；线阵推扫；分块对角矩阵；全变分
中图分类号:TP391 文献标识码:A 文章编号=1008-1194(2017)03-0060-06
Two-dimensional Compressive Sensing Data Acquisition and
Reconstruction Bad on Block Diagonal Matrix
CHENG Tao1’2’3
(1. Key Laboratory of Optoelectronic Devices and Systems, Shenzhen University, Shenzhen 518060, China；
2. Automotive &• Transportation Engineering Institute,Guangxi University of Science and Technology,
Liuzhou 545006, China；3. Shenzhen Key Laboratory of Micro-Nano Measuring and Imaging in Biomedical
Optics, Shenzhen University, Shenzhen, 518060，China)
Abstract：For the data acquisition modes of linear array push-broom in remote nsing and deficiencies of exist
ing methods for data reconstruction, the two-dimensional compressive nsing models and methods bad on a
block diagonal matrix and TV (Total Variation) algorithm were propod in this paper. This method enabled the
constraint and objective functions of compressive nsing to contain the completed two-dimensional image infor
mation And it was totally real two-dimensional compressive nsing. On the basis of the traditional data acqui
sition mode, the two dimensional compressive nsing was realized by the post processing of the block diagonal
matrix. Experimental results showed that the image reconstruction effect was improved greatly, and the SNR
incread by about 8dB. However, this method was not suitable for OMP (Orthogonal Matching Pursuit) and
BP (Basis Pursuit).
Key words：two-dimensional compressive nsing；directional remote nsing；linear array push-broom；block
diagonal matrix；TV(total variation) *
*收稿日期=2017-01-10
基金项目：国家自然科学基金项目资助（41461082,81660296)；中国博士后科学基金项目资助（2016M592525)；广西自 然科学基金项目资助(2014GXNSFAA118285)；广西高校科学技术研究项目资助(YB2014212)；广西科技大学博士基金 项目资助(校科博13Z12)
作者简介：程涛(1976—男，广西柳州人，博士，副教授，研究方向：压缩感知和遥感研究。E-m ail:C tnP@163.c〇m。
程涛：基于分块对角矩阵的二维压缩感知数据采集和重构方法61
〇引言
根据奈奎斯特采样定理，采样频率是信号最高 频率2倍以上时，才能确保由采样完全重构原始信 号。压缩感知能以远低于奈奎斯特采样定理要求的 频率采样，在采集信号的同时实现对信号的压缩，并 能高质量地恢复原始信号>2]。因此，压缩感知一出 现就在图像处理、视频分析、雷达遥感、信息通信和 医学成像等领域成为研究热点[M]。但是当前研究 多是将压缩感知作为一种数据后处理技术。真正能 将压缩感知应用于数据采集领域也只有C T(C om-p u te d T o m o g ra p h y，即电子计算机断层扫描）和 M R I(M a g n e tic Resonance Im a g in g，磁共振成像）等 医学成像和超分辨显微成像等几个能够实现凝视状 态的领域[5^7]。
遥感数据的获取一般分为星上和地面两个阶 段。在卫星上需要采集、压缩和传输数据，在地面需 要接收、储存、解压和使用数据。遥感技术的发展使 覆盖全球海量遥感数据的获取成为现实。如能实现 采集压缩一体化的信号数据采集处理格局，就可采 集、传输、存储、处理和管理很少的数据，从而摆脱传 统技术的窘境，节约巨大的人力物力资源。压缩感 知技术的出现为改变传统的遥感数据获取模式提供 了可能。文献[8—9]基于线阵推扫模式提出定向遥 感和定向变化检测。一般，采集2〜3倍的测量数据 就可完全重构变化区域。但是当前的各种压缩感知 重构算法和模型无法在线阵推扫模式下充分利用已 有的先验信息，因此重构效果并不好。本文针对当 前遥感中基于线阵推扫模式的数据采集方法不能充 分利用信号先验信息的不足，提出了基于分块对角 矩阵和T V算法的二维压缩感知模型和方法。
红包的含义1压缩感知理论
压缩感知理论表明，如果信号是稀疏或可压缩 的，就能以远低于奈奎斯特(N y q u is t)采样定理的采 样率采集信号，并能以高概率精确或近似重建信号，压缩感知模型如式(1)所示，求解式（1)就可以重构出信号。
m in ||x || 〇s.t._y =O x(1)式中d是测量数据d e是测量矩阵，〇e
i^N，M<JV;x是信号，x e||x ||。是目标函数”=你是约束函数，卜II。是/。范数，卜II：是A范数，I I•I I
TV是/TV范数。目标函数也可采用A 范数或/t v范数。
测量矩阵〇的性质是关系信号重构效果的关 键。当前判断测量矩阵〇性能优劣的主要判据为是 否满足 R IP(R e s tric te d Is o m e try P ro p e rty，约束等 距性质），如式(2)所示[1M1]。随机矩阵的R I P性质 一般都较好。
(1 — ffK) I I X||2<||〇X||2<(1 +(TK) ||X||2
(2)式中，ox e [〇，1)。
如果测量矩阵满足R I P和Johnson-L in d e n s tra u s s 定理，那么可导出R C P(R e s tric te d C o n fo rm a l P ro p e rty，约束保角性质），如式（3)所示[12]:
&—k丄1—e\丄1+e
cos a > cos ,3 >+ I T& C〇S a
(3)式中，&e [〇，i)，e e (〇，1)，〇〇3^是信号；》：»和；^之
间的夹角余弦，cos/?是测量数据l和^之间的夹角
1I I2+I I x…I I2
2 I I xu ||||x… ||°
R I P主要反映了测量数据和信号之间的能量继 承关系，R C P反映了测量数据和信号之间的方向继 承关系。在二维情况下，这种继承关系表现的非常明 显，并可作为判断能量和方向的先验信息[Ma3]。
余弦，
2 基于线阵推扫模式的二维压缩感知
当前基于压缩感知的遥感研究多是基于一维信 号。即使研究图像这种二维信号也多是转化为一维 信号后再作压缩感知研究。在压缩感知的各种重构 算法中，只有最小全变分法（T o ta l V a r ia ti〇n，T V)在目标函数中利用了图像像素间的灰度梯度信息，但在约束函数中依然把二维信号一维化。从重构效 果看，只有在梯度大的地方优于离散余弦变换(D is c re te C osine T ra n s fo r m,D C T)。灰度梯度就是 遥感影像的结构之一，是很好的先验信息，如充分利 用可有助于改善提高信号的重构精度和效率。但把 二维图像一维化破坏了这种结构先验信息[8a4]。
遥感卫星等的影获取多是采用线阵推扫模式，设扫描条带的长度为l。如果以矩阵x(x e尺^)表示扫描条带，则卫星或飞机的扫描线每次只能取
62探测与控制学报
得X某列的数据。以二维形式表禾其)卡：缩感知模型，则如式(4)所示：
m in ||X j || 〇s.t.F=0X,7g* [1 ^L] (4)式中，r e i?M/i，是叉的列向量。由式(4)可见，二 维化后的测Q矩阵〇的规模为M X N；如果将遥感 影像转化为一维信号，测M矩阵〇的规模为M L X N L，前者仅为后者的1/L2。测量矩阵规模的缩小将 会大大提数据解算的速度和效率。式(4)也可等 价表示成式(5).两种表示方法并尤本质K别，因此 式(4) j f•不是完仝点义上的二维压霸感知模项。但 是式(4)的约束函数能更好地反映信号和测量数据 的二维信息[8]。
rnin I I Xj I I ef. t y j =0X j
文献[13]基n(5)采川O M P算法逐列重构，然后通过R C P，利用二维图像的列间相关性，对重 构结果修正，取得了更好的重构效果。对]：町压缩信 号，T V是效果最好的重构算法6文献[9]对满足稀 疏要求的列采用O M P算法重构，然后利用R C P先 验信息确定出可压缩列，弁对之采用T V重构，取樽 了很好的重构效果。这些方法在乐缩感知模型的目I 标函数中并没有引人列间的相关性信息•而是通过后 处理的形式判断重构结果的优劣，并对重构不好的区 域修正。因此本质上都不是真正的二維压缩感知。
min ||X|| tvs. t.Y=O X(6)如能将式(4)转化为式（6)的形式就能实现真 正的二维压缩感知^因为式（6)的目标函数既包含 了图像纵向(列向）的灰度梯度信息，也包含了图像 横向的灰度梯度佶息。约束函数也完整保留了图像 和测量数据的二维结构信息。
但是式(6)j卜不能直接应州T现存M缩感知的 T V模型B因此，如将式(6)中的图像，测匱数据都一 维化，那么式（6)就等价转化为式(7)。式（6)和式 (7)的目标函数尽管写法不•样.似本质上是完全 等价的，都包含了图像横向和纵向的全部梯度信息；约束函数在数学上也是完令等价的，并没有导致信 息的公失和减少。
min ||X|| y =少d ig X(7)
0•••01
电脑修改开机密码式中，〇DIC=i;，即分块对角矩阵，x是
…0•••0
X逐列首尾相接"是r逐列首尾相接。
朵r式(6)的详细算法流程如图1所示。首先，瘡r•式(5)通过子块矩阵0逐列采集测砧数据^ (X =纭[1丄]|
列的数量为L；其次，将各列测 暈数据兄逐列首尾连接成测量数据B然后，根据列 的数化L.构让以子块矩阵O为块的分块对角矩阵 0••0、
〇im=：：，其中子块矩阵少的数量为L 、0•••0
个；再基_r式(7)通过T V算法重构得到A最后，将
图1 算法流程图
Fig. 1 Flow diagram of the algorithm
3 实验结果分析和验证
所有的实验采用M a t la b在普通台式机.h完成，C P U主颜3,1 G H z,4核，内存1G B Q M a t la b的操作 界面如图2所示&用灰度图表示的子块矩阵0、分块 对角矩阵〇DIC和稠密矩阵少D E N如图3所子块矩
阵〇的矩阵规模为M X夏；分块对角矩阵0DIG的矩 阵规模为M L X N L，其中包含L个子块矩阵0；稠 密矩阵〇DEN的矩阵规模为M L X N L，其大小是子块 矩阵0的L2倍^子块矩阵0和稠密矩阵0DEN都是 服从N(Q，1/M)分布的高斯测量矩阵，两者的区别 只在于矩阵大小规模的不同。
基于子块矩阵O的重构算法流程，就是通过O ^逐列采集测^数据^然后^基丁试⑶眉过丁乂算法逐列重构x7；最后'，将逐列重构得到的所有X j，排列组合成二维图像X。
基于分块对角矩阵少b ic的重构算法流程，
动漫男生头像帅气高冷
就是通
程涛：基于分块对角矩阵的二维压缩感知数据采集和重构方法63
过如图1所示的算法流程图重构得到二维图像X。
基于稠密矩阵的重构算法流程，就是通过 稠密矩阵0DEN直接采集二维图像X的一维化数据 x，O den X；然后，基于 m in ||A： ||。s.t.=O den X，通过 T V算法重构得到x；最后将x二维化成二维图像X。
图2 计算软件操作界面
Fig. 2 Computing software interface 灰度梯度信息用T V x表示，T V和T V x的值X104后才是其真实值。
图3 子块矩阵少、分块对角矩阵队I G
和稠密矩阵少〇E N的灰度图
Fig. 3 Gray image of block matrix O、block
diagonal m atrix^d ig and den m atrix^〇e n
图4和表1是基于子块矩阵0、分块对角矩阵 少dig和稠密矩阵少den对B o a ts、C am eram an、L e n a和 遥感影像M u la rg ia la k e以及墨西哥森林5幅图像 采用T V算法的重构结果。M u la rg m la k e是意大 利撒丁岛M u la r g m湖的两个时相遥感影像的差值 图，由L a n d sa t-5卫星在波段4分别拍摄于1995年 09月和1996年07月。该图像反映了 M u la r g ia湖 水位上升而造成的陆地淹没情况。为满足定向遥感 的稀疏条件，对两个时相的原始遥感影像做简单处 理，使其差值图中未变化区域的灰度值都为〇。墨 西哥森林是拍摄于某时刻的遥感图像，背景与目标 灰度非常相近，几乎无法区分目标和背景。图4中，除M u la rg m L a k e外的其他4幅图都是可压缩的。M u la rg m L a k e图中的黑色区域的像素灰度都为0。除此之外的其他区域也是可压缩的。表1中，包含 横向灰度梯度信息的目标函数值用T V表示，横向
图4基于T V的3类矩阵的重构结果
Fig. 4 Reconstructed results of 3 different
matrices bad on TV
子块矩阵基于式(5)逐列重构，分块对角矩阵基 于式(7)重构。稠密矩阵也基于式（7)重构，不过这 时式(7)中的约束函数的分块对角矩阵用稠密矩阵 替换。子块矩阵和稠密矩阵都是高斯矩阵。
图4中自左向右依次是基于子块矩阵、分块对 角矩阵和稠密矩阵的重构结果，最右侧是原始图像。对比左侧的两列图像可以发现，基于T V算法的分 块对角矩阵的重构效果远远好于子块矩阵逐列重构 的效果。由表1可见，前4幅图的S N R提高约8 d B，计算时间最大约增加22倍（通过M a t la b中的 t1C和to e命令统计计算时间）。而对于背景与目标 灰度非常相近的墨西哥森林，S N R仅提高约2. 5 d B，计算时间约增加M倍。包含横向灰度梯度信 息的最终目标函数数值（T V)和横向灰度梯度值 (T V x)都小于子块矩阵，更接近于稠密矩阵。
S N R计算公式如式(8
)所示：
64探测与控制学报
式中，x是真实信号，x e E N;ll•||2表示向量的 模；办表示X的重构结果。
对比左侧的两幅L e n a图可以发现，L e n a图中 左侧立柱的重构效果，分块对角矩阵劣于子块矩阵。这说明，逐列重构的子块矩阵更适用于灰度梯度纵 向变化平缓的图像局部区域。对比左侧的两幅C a m e ra m a n图可以发现，在头部附近的纵向区域，逐列重构的子块矩阵的重构效果也劣于分块对角 矩，这是因为该区域的纵向灰度梯度变化大。分块 对角矩阵更适用于灰度梯度横向变化平缓的图像局 部区域；例如，B o a ts图的横向灰度梯度变化较小，纵向灰度梯度变化大，所以子块矩阵逐列重构得到 的左侧B o a ts图的所有区域都很模糊。
表1 3类矩阵的SNR和计算时间
Tab. 1 SNR and computing time of 3 different matrices
子块矩阵分块对角矩阵稠密矩阵SNR/dB t/s TV TVx SNR/dB t/s TV TVx SNR/dB t/s TV TVx Boats15. 015. 89.4 4.421.0283. 17. 9 3.624.4324. 68. 1 3. 8 Cameraman15. 915.88.0 4. 323.4349. 9 6. 7 3.729.4379. 67.0 3.8 Lena15. 818.29. 6 5. 721. 6318. 38.0 4.924.8333. 28. 33 5. 2 Mulargia lake 6. 917. 7 3. 3 1. 515.0313. 0 2. 6 1.222. 1320. 6 2. 7 1. 3墨西哥森林26. 826. 6 3.2 1. 729.4366.0 2. 8 1.532. 1410. 0 3. 0 1. 6
如果将逐列重构的子块矩阵和分块对角矩阵相 结合，在纵向灰度梯度变化平缓的区域采用逐列重 构的子块矩阵，在其他区域使用分块对角矩阵就能 取得更好的重构效果。
由图4和表1可见，稠密矩阵的重构效果和S N R尽管都好于分块对角矩阵，但是稠密矩阵这种 矩阵形式并不能应用于基于线阵推扫的遥感数据采 集模式中。由表1可见，分块对角矩阵和稠密矩阵 的计算速度几乎相当，远远慢于子块矩阵。这是因 为子块矩阵的矩阵规模远远小于分块对角矩阵和稠 密矩阵。
由于在T V算法中，3类矩阵的目标函数包含 信息量的不同，导致无法准确测试3类矩阵的性能 和效果，因此，基于O M P和B P算法测试3类矩阵 的性能。基于不同稀疏度的高斯信号，各实验64 次，计算精确重构概率。图5和表2是基于子块矩 阵、分块对角矩阵和稠密矩阵对同一套测试数据分 别采
用O M P和B P算法的重构结果。由图5中O M P和B P可见，稠密矩阵在稀疏度较小时重构效 果好于子块矩阵；当稀疏度较大时反之；分块对角矩 阵的重构效果最差。
由表2可见，O M P算法，子块矩阵的计算速度 最快。分块对角矩阵和稠密矩阵的计算速度相近，都远远慢于子块矩阵。B P算法，稠密矩阵的计算速度最慢。子块矩阵和分块对角矩阵的计算速度相 近，都远远快于稠密矩阵。
图5基于O M P和B P的3类矩阵的重构结果
列式是什么意思
Fig. 5 Reconstructed results of 3 different
幼师实习周报>晕眩的意思
matrices bad on OMP and BP
表2 3类矩阵的SNR和计算时间
Tab. 2 Computing time of 3 different matrices
时间/s
子块矩阵分块对角矩阵稠密矩阵OMP算法0. 090215. 382224. 746
B P算法 4. 469 3. 564 4 236. 520
在T V算法中，分块对角矩阵和稠密矩阵的目 标函数不但包含原始图像的纵向灰度梯度信息，而 且还包含横向的灰度梯度信息；但是子块矩阵只包 含原始图像的纵向灰度梯度信息。O M P和B P算 法表明，
分块对角矩阵性能劣于子块矩阵和稠密矩
程涛：基于分块对角矩阵的二维压缩感知数据采集和重构方法65
阵。但是在T V算法中，包含横向灰度梯度信息的 目标函数弥补，并远远超过了分块对角矩阵性能的 不足。
文献[9]说明T V算法只适用于可压缩信号，对 于稀疏信号，使用其他算法可取的更好的重构效果。因此，在定向遥感的实际使用中，对稀疏区域使用其 他重构算法重构，对于可压缩区域中纵向灰度梯度 变化平缓的使用逐列重构的子块矩阵；对于可压缩 区域中纵向灰度梯度变化不平缓区域的使用分块对 角矩阵重构。
4结论
本文提出了基于分块对角矩阵和T V算法的二 维压缩感知模型和方法。该方法能够使压缩感知的 约束函数和目标函数同时包含完整的图像二维信 息，是真正完全意义上的二维压缩感知。实验结果 表明，由于目标函数中包含了图像的二维梯度信息，该方法使图像的重构效果获得极大改善，S N R提高 约8 d B，但是该方法不适用于O M P和B P算法。这 是因为它们的目标函数中并不包含图像的二维梯度 信息，本质上依然是一维压缩感知。利用更多图像 像素相关信息的目标函数能改善重构效果。该方法 促进了定向遥感的发展，拟结合其他模型和方法，进 一'步提尚重构欢果。
参考文献：
[1]CANDES E J, ROMBERG J, TAO T. Robust uncer
tainty principles ：exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information [J]. Information Theory, IEEE Transactions on, 2006, 52(2) ：489-509.
[2]CANDES E J, TAO T. Decoding by linear programming
三月三[J]. Information Theory, IEEE Transactions on, 2005,
51(12)：4203-4215.
[3] 焦李成，杨淑媛，刘芳，等.压缩感知回顾与展望[J].
电子学报，2011, 39(7): 1651-1662.
[4] 林杰，石光明，董伟生.基于信息自由度采样的信号重
枸方法研究进展[J].电子学报，2012, 40(8): 1640
1649.
[5]ZHU L, ZHANG W, ELNATAN D, et al. Faster
STORM using compresd nsing [J]. Nature meth
ods, 2012, 9(7)：721-723.
[6]D0N0H0 D L. Compresd nsing [J]. IEEE Trans
actions on Information Theory, 2006，52 (4): 1289
1306.
[7]OVESN M, KRZEK P, SVINDRYCH Z, et al. High
density 3D localization microscopy using spar support recovery [J]. Optics Express, 2014, 22 (25) ：31263
31276.
[8] 程涛，朱国宾，刘玉安.基于二维压缩感知的定向遥感
和变化检测研究[J].红外与毫米波学报，2013, 32(5):
491-496.
[9]CHENG T. Directional Remote Sensing [J]. Geod list,
2015, 52(4)：251-262.
[10] DONOHO D L. Compresd nsing [J]. Information
Theory, IEEE Transactions on, 2006, 52 (4): 1289
1306.
[11] CANDES E J. Compressive sampling [C]//Proceedings of
the International Congress of Mathematicians. Madrid,
Spain：European Mathematical Society, 2006：1-20.
[12] CHENG T. Restricted Conformal Property of Compres
sive Sensing [C]//2014 11th International Conference
动漫图片男
on Wavelet Active Media Technology and Information
Processing. Chengdu：UESTC Press, 2014：152-161. [13] 程涛，朱国宾，李小龙.基于信号方向信息的二维压缩
感知影像重构研究[J].半导体光电，2014, 35(4): 32
37.
[14] 程涛.基于压缩感知的遥感变化检测研究[D].武汉：
武汉大学，2013.
