第23卷 第2期
CT 理论与应用研究 Vol.23, No.2 2014年3月（317-328） CT Theory and Applications Mar., 2014 陈建林, 闫镔, 李磊, 等. CT 重建中投影矩阵模型研究综述[J]. CT 理论与应用研究, 2014, 23(2): 317-328.
Chen JL, Yan B, Li L, et al. Reviews of the model of projection matrix of CT reconstruction algorithm[J]. CT Theory and Applications, 2014, 23(2): 317-328.
CT 重建中投影矩阵模型研究综述
陈建林，闫镔 ，李磊，席晓琦，王林元
（信息工程大学信息系统工程学院，郑州450002）
摘要：CT 重建算法中，投影矩阵反映探测器上的投影与重建物体的关系，其模型刻画对于重建
速度和精度有着重要影响。本文介绍目前投影矩阵研究现状，着重分析投影矩阵系数的计算方
法，以及快速计算正投影和反投影的方法，并总结了目前投影矩阵模型的性能和发展。
npwp关键词：CT 重建；投影矩阵
文章编号：1004-4140（2014）02-0317-12 中图分类号：TP 301.6 文献标志码：A
计算机断层成像（Computed Tomography，CT）技术对人类认知物体内部结构能力的提升起着极大的扩展作用，并且具有非接触、无损、分辨率高等优点，在医学诊断、工业无
损检测和安全检查等领域[1]应用极为广泛。
在CT 成像系统中，重建算法起着至关重要的作用。投影矩阵反映了投影图像与重建图像的关系，其计算模型是重建算法的核心问题之一。简单投影矩阵模型会导致重建图像存
在误差、伪影，从而降低空间分辨率[2]。
过于复杂的投影矩阵模型又会导致重建计算量剧增。 近年来针对投影矩阵国内外学者做了大量的研究工作，所提出的各种模型和方法在理论或实际重建工作中取得了一些较好的效果。一般来说，投影矩阵刻画得越精细，重建图像越准确，但投影计算的工作量则越大，重建时间也越长。针对上述实际问题，如何平衡重建图像的精确性和计算量是当前投影矩阵研究的目标。
1 CT 重建基本原理
闪通臂
CT 系统成像基本模型可以描述成：
=W f p （1）
其中，∈p P （P 表示投影空间），∈f F （F 表示图像空间），:→W F P 表示投影算子。
而实际研究当中，又可以将CT 系统划分为三种问题[3]
：连续-连续问题（f 和p 是函数）
，离散-离散问题（f 和p 是向量），连续-离散问题（f 是函数p 是向量）。 在CT 重建算法中，解析类重建算法建立在连续-连续模型上，基于Radon 变换反演的闭合公式进行推导求解。迭代重建算法建立在离散-离散模型上，利用成像过程中重建图像
收稿日期：2013-12-05。 基金项目：国家高技术研究发展计划“863计划”（2012AA011603）；国家自然科学基金（61372172）。
CT理论与应用研究 23卷 318
与投影图像之间的关系建立代数方程组，并通过已知投影图像对未知重建图像进行迭代求解。连续-连续模型可以归结于求解积分公式，而离散-离散模型则为求解一个大型的线性方程组。CT系统的算子W表示物体与投影之间的关系，与成像的几何结构和物理效应等因素有关。连续-连续模型中，若将这
些因素放到积分公式中，不一定能够得到闭合形式的解。离散-离散模型中，投影算子W可以为矩阵形式，能够实现对真实的成像几何结构和物理效应等因素进行模型化[4]。
离散-离散模型中，对二维图像进行网格离散化，每一个单元称为像素；三维图像进行立方体离散化，每一个单位称为体素。探测器上将采集数据的每个单元称为探元，而每个探元将得到射线穿过物体产生的投影。在CT系统中，X射线从光源发出，穿过物体投射到平行于X轴的探测器上，重建物体的每一个体素值用f (x, y, z)，探测器上的探元得到的投影值用p (s, t)表示，x、y、z、s、t代表了具体的坐标值，如图1所示。
图1 锥束CT投影示意图
Fig.1 Diagram of CT projection model in cone-beam geometry 离散-离散模型的实质是一个大型的方程组，求解该大型方程组通常采用迭代的方法。迭代重建算法主要包括代数迭代重建方法和统计迭代重建方法[5]。无论是哪种方法，其共同点都基于迭代来重建图像。具体迭代过程如下：
W f p）；
（1）通过系统矩阵计算出原图像或上一轮迭代解的投影值（=
（2）将计算得到的投影值与实际测量所得到的值进行比较；
（3）通过校正项对比较结果进行反投影（T=
W p f）以更新图像。
如此投影与反投影交替进行，直至取得满意的重建图像为止。每一次迭代过程中，正投影和反投影的计算精确性会直接影响最终的求解结果。在整个迭代算法中，正投影和反投影占有了很大的计算量，而快速计算投影矩阵系数求出投影值和反投影值对整个算法执行效率也有着重要影响。
2 投影矩阵的刻画模型
2.1 投影矩阵简介
迭代重建算法中，投影矩阵W是影响重建图像和投影图像的重要因素，并且对能否较好地解决好重建问题至关重要。不同的模型会使得投影矩阵的性质有所不同，其结果也会影响重建的性能。例如文献[6]中提出系统矩阵的条件数对于问题的不适定性影响较大，条
2期 陈建林等：CT 重建中投影矩阵模型研究综述 319件数越大，不适定性就越严重。
投影矩阵的模型刻画一般考虑两个方面：重建物体
的离散模型、射线与物体的作用关系；重建物体的离散
模型一般是以网格像素（二维图像）或立方体体素（三
维图像）的形式进行刻画，而其他的模型主要是以不同
的基函数插值的方式进行刻画。射线与物体作用关系则
常用射线与物体离散后的单元之间的覆盖情况来表示。
在实际建立模型过程中，一般用射线与体素的覆盖
情况来刻画射线束与重建物体的体素作用强度。根据对
射线的数学抽象方式不同，常见的射线覆盖模型有点模
型、线模型[7]和面积模型[8]等，表示在二维网格离散化图
像中，射线与像素的作用如图2所示，w ij 表示第j 个重
建体素对第i 条射线的贡献，射线的宽度为τ，体素内部
各向同性，宽度为∆。
（1）点模型
点模型中，探测器检测结果为射线的有无，0τ>（常取τ=∆）
，认为体素值集中在体素的中心，此时， 10 ij i j w =⎧⎨⎩， 号射线通过号体素中心，
乐善好施的意思其他 （2） （2）线模型
线模型中，探测器检测结果为射线方向的累积值，并认为射线没有宽度，即0τ=，探测器检测的投影值与射线穿过体素的长度相关，此时，
ij w i j =号射线交号体素的长度 （3）
（3）面积模型
面积模型中，探测器检测结果与射线与体素相交的面积相关，0τ>（常取τ=∆）
，此时， ij
六倍体
i j w =∆2号射线交号体素的面积 （4）
点模型是最简单的投影模型的刻画方式，即认为体素值均集中在体素中心，射线穿过体素时则认定该体素对探测器上探元的权重为1，否则为0。这种计算方式比较粗糙且会造成锯齿状的伪影，但其较易于计算机上实现。线模型一般是利用射线与体素的交线长度作为体素对射线衰减的权重，其对矩阵的刻画较点模型更为精细，计算得到的图像伪影情况会降低很多。而面积模型也是相似的原理，面积模型的成像质量略优于线模型，但同时计算量
也增加了很多[9]。
2.2 点模型的投影矩阵
黯然神伤的意思
点模型是投影矩阵模型刻画方法中最简单的一种，该模型只考虑射线是否穿过作用的 图2 二维离散网格中，射线与像素作用示意图 Fig.2 The interaction between rays and pixels in two dimension discrete grid
CT 理论与应用研究 23卷 320体素。利用该模型刻画投影矩阵能够实现快速计
算正投影和反投影，例如经典的滤波反投影算法
中的反投影计算，其实质就是利用点模型进行求
解。然而，该模型的刻画方法比较粗糙，在实际
的重建中会带来锯齿状的伪影，不利于精确重建
图像。
像素驱动模型[7]常被用来求解基于点模型的
投影值，即用像素索引作为主循环。具体实现方
法为：先将光源焦点和每个像素中心进行连接，
再采用探测器插值获得的投影值，然后用该值来
更新像素值。相应的正投影是反投影的转置，只是用相同的权重值乘以物像的像素值来更新探测器的像素值。常见的插值方法包括最邻近插
值、线性插值。图3是指2D 情况下，利用线性插值法来实现像素驱动的正反投影运算原理示意图。
狐狸图片大全如图所示，假设探测器上的点C、D 沿探测器方向的位置分别为P c 、P d ，E 为像素B 投射在探测器上的点，其所在的位置为P e ，C 处探测器的值为d c ，D 处探测器的值为d d ，那么探测器赋给像素B 的反投影值可以表达为：
d e e c e c d d c d c
p p p p d d d p p p p --=⋅+⋅-- （5） 正投影的计算过程与反投影相似，只是将像素B 在探测器上的投影值E 插值到探元C 和D 上。但是正投影过程很容易引入一些高频信号，导致生成的投影质量不高。文献[10]中介绍了可以利用splatting 法对高频信号进行加权处理，但是这会大大增加计算的复杂性。
点模型的重建质量很大程度是受像素离散化的情况影响。尤其是像素的离散尺寸大于探
元尺寸时，可能会出现某些探元接收的投影值会比其邻近探元所接收到的多得多的情况[11]，
从而引起投影较为严重的伪影。一个有效的解决方法是求解时将像素分解成多个子像素，提高投影图像的分辨率。
怎么写征文2.3 线模型的投影矩阵
线模型是目前迭代重建算法中最常用的一种刻画投影矩阵的模型。利用射线与像素相交长度的情况，能够有效地区性计算出投影值，且具有相对较低的计算量。常用的基于线模型的投影矩阵系数的计算方法有两种：①计算射线与像素之间的交线长度；②通过插值
的方法[12]。2004年，De Man 等[17]提出的距离驱动模型被认为是目前线模型研究中效果较好的方法。它有效降低了高频伪影，能够较好地对探元路径上的积分近似，并且具有较低的算法复杂度。
线模型通常是利用射线驱动[13]进行计算矩阵系数的，即以探测器的探元为索引。用射
线与像素之间的交线长度作为权重系数是使用的最为普遍的方法。最常用的是Sidden 等
[14]所提出的逐行求交点，再用交点进行排序计算交线长度的方法。文献[9]对其作了改进，避免了排序的操作，大大提高了计算效率。
图3 像素驱动正投影、反投影原理图 Fig.3 Forward projection and backpro-
jection with pixel-driven model
2期 陈建林等：CT 重建中投影矩阵模型研究综述
321除了直接求解交线长度，插值法也是射线驱动
常使用的方法。插值有很多种，最常用的是Joph
[15]所提出的线性插值法以及Wang 等[16]提出的等距采
样插值法。图4是指2D 情况下，利用Joph 插值
法，实现射线驱动正、反投影运算原理图。
如图4所示，假设像素B、C 中心点沿所在行方
向的位置分别为d b 、
d c ，探元D 与光源连线与像素B、C 所在行的交点E 位置为d
e 。B 处像素值为P b ，C 处
像素值为P c ，则可以通过插值得到E 点的值，并将
其赋予探测器D 点，其计算公式可以表达为：
c e e b e b c c b c b
d d d d p p p d d d d --=⋅+⋅-- （6） 距离驱动模型[17－18]是一种当前被应用的
较为广泛的线模型，它结合了像素驱动和射线
驱动优点，具有较低的算法复杂度，能够避免cheques
了图像和投影的伪影。距离驱动模型认为探测
器单元和图像的像素都是具有宽度的。投影矩
阵的权重系数是以标准化的像素和探测器之
间的重叠长度来衡量的。为计算交线长度，方
便计算可以选用像素行中心线为共有线，将像
素边界和探元边界都投射在共有线上计算重
叠长度，也可以将像素的分界线投射在探测器
的行中心线上，或者将所有的分界线投射在共有的分界线上。图5表示在一个典型的2D 扇束系统，距离驱动的正反投影原理图。 在距离-驱动的计算过程中，将探测器和
一行像素的边界都映射到共有中心线上。假设探测器的探元p i (i =1,2,3)边界在共有中心线上的位置为y m ，y m+1，y m+2,，y m+3。像素f j (j =1,2,3)边界在共有中心线上的位置为x n ，x n+1，x n+2，x n+3。在投影过程中像素f 1、f 2对探元p 1、p 2的贡献值可以表示为： 11p f ∆= （7）
111212222
()()n m m n p n m x y f y x f x y ++++++-+-∆=- （8） 同理可以计算出像素f 2的反投影值2f ∆为：
212223221()()m n n m n n y x p x y p f x x ++++++-+-∆=- （9） 图4 射线驱动正投影、反投影原理图 Fig.4 Forward projection and back- projection with ray-driven model
图5 距离驱动正投影、反投影原理图 Fig.5 Forward projection and back-projection
with distance-driven model
