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习题答案4
p. 202 习题5.1
1. 设可允许的参数变换12(,)u u v v a a =是保持定向的，即()det 0a a b >，其中
u a v a a
b
b
¶=¶. 用,g b ab ab 表示曲面
S 在参数系12(,)u u 下的第一、第二类基本量，用g ab ，b ab 表示曲面S 在参数系12
(,)v v 下的第一、第二类基本量下的第一、第二类基本量.. 证明：证明：
g g a a g d ab gd a b
=，
b b a a g d
ab gd a b =. 证明. (1) 因为du a dv a a b b
=，所以在可允许参数变换下，，所以在可允许参数变换下， I ()()()g dv dv g du du g a dv a dv g a a dv dv a b g d g a d b g d a b ab gd gd a b gd a
b ====. 上式两边作为12,dv dv 的二次型相等，所以g g a a g d
ab
gd a b
=.
(2) 设S 的方程为12
(,)r r u u =. 令
()12
112212
(,)(,),(,)
r v v r
u v v u v v =.
则有r a r b a a b
=. 于是于是 122112*********
2()()()det()r r a r a r a a a a r r a r r a b a a b b ´=´=-´=´. 因为()det 0a a
b >，这说明在两个参数系下，有，这说明在两个参数系下，有
()
12112212(,)(,),(,)n v v n u v v u v v =.
于是于是
()()()().b dv dv dr dn dr dn b du du b a dv a dv b a a dv dv a b g d
ab gd g a d b g d a b gd a
b gd a b =-×=-×===
和(1)中一样，可得b b a a g d ab gd a b
=. □ 4. 验证：曲面S 的平均曲率H 可以表示成1
2
H b g ab ab =，并且证明H 在第1题
的参数变换下是不变的的参数变换下是不变的. .
证明. (1) 证法一：直接验证证法一：直接验证.. 由定义，由定义，
()211121222221211112212det ,,,g g g
g g g g g g g g g g g g ab ==-==-==.
因此因此
()()1122121222111122121222112112212
21222b g b g b g H b g b g b g g g g g -+==-+- ()111222*********b g b g b g =++()111221221112212211
22
b g b g b g b g b g ab af ==+++.
证法二：运用Weingarten 变换W . 由定义，由定义，
()W r n b r b a
a
a b
=-=.
所以()b b a 是Weingarten 变换W 在切空间的基12{,}r r 下的矩阵下的矩阵.. 它的两个特征值12,k k ，也就是主曲率，满足，也就是主曲率，满足
1
2
1212trace()b b b b b g
b g b
a ba ab
a a a
b ab k k +==+===.
所以所以
1
2
12
2
H b g ab百佳超市购物卡
ab
k k
+=
=. (2) 在第1题的参数变换下，令1
2
(,)v v u u a
a
=为逆变换，v a u a
a
b b
¶=¶. 则()a a b 与
()a a
b
互为逆矩阵互为逆矩阵. . 故有故有 a a a g a g b b d =，a a a g a
g b b
d =.
(1) 在第1题中已经证明了题中已经证明了
g
g a a g d
ab
gd a b =.
(2) 所以有所以有
g g g a a g e
be g d be
a ab
gd a b d ==. 用a a x
乘上式两端，并对指标a 求和，利用(1)式可得式可得 a a g a a a g g a g g a g e a e a g d be g d be d be x x a gd x a b gd x b dx b
d d ====.
再用g xh 乘上式两端，并对指标x 求和，可得求和，可得
g a g g a g a g a g xh e xh d be h d be h be x dx b d b b
d ===.
最后用a a h
乘上式两端，并对指标h 求和，利用(1)式可得式可得
a g a a a g
g
g a xh e
a h be
轴承公差a be
ae
h x h b
b
d ===，
即有即有
g a a g ab a b xh h x
=. (3) 于是由b b a a g d ab gd a b =得到得到
()()b g b a a a a g b a a a a g b g b g ab g d a b xh g a d b xh g d xh xh ab
gd a b h x gd a h b x gd h x xh d d ====.
所以H 在第1题的参数变换下是不变的题的参数变换下是不变的..
□ 注. 如果采用矩阵记号，令如果采用矩阵记号，令
()g ab =G ，()g ab
=G ，()a b a =T .
则(2)就是T
=G TGT ，(3)就是()1
1
1
1T
----
=G T G T .
5. 证明下列恒等式：证明下列恒等式： (1) g g g u ab ad b bd a dg dg g ¶G +G =-¶； (2) g g g g u u bg ag l l
bl ag al bg a b
¶¶-=G -G ¶¶
；
(3) 1ln 2g u b
ab
a ¶G =¶，其中()2112212g g g g =
-. 证明. (1) 因为g g ax a xh h
养蚂蚁d =，对u g 求偏导数，得求偏导数，得 0g g g g u u ax
xh ax xh g g
¶¶+=¶¶. 因此因此
()g
g g g g g u u
ax xh ax ax a ax xhg hxg xh hg hxg g g
¶¶G +G =-=-=-G -G ¶¶.
用g hb 乘上式两边，再对h 求和，得求和，得
g g g g g g g g u ab hb a ax hb db a ax b ad b
db a hg hxg dg xg dg dg g
¶=-G -G =-G -G =-G -G ¶
. 这就是(1).
(2) 由
abg agb G =G ，g u bg b g a g b a a
电脑怎么打开运行¶=G +G ¶，g l
bl ag
bag G =G
可得可得
左边g b a b g a g a b ag b b ag a b g =G +G -G -G =G -G =右边右边..
(3) 左边为左边为
121211.
22g g g g g u u u g g g g g g u u u g g g g g g g g u u u u b bg bg ag bg ab ab gab
b a g ag bg ab bg bg bg b a g bg
bg ag bg ag bg bg gb a
b a b ¶¶¶æö
G =G =+-ç÷¶¶¶èø¶¶¶æö
=+-ç÷¶¶¶èø¶¶¶¶æö==+-ç÷¶¶¶¶èø 右边为右边为
()2112212112212212211211211221221112212211ln 11
2221211.22g g g g g u g u g u g g g g g g g g g u u u u g g g g g g g g g g u u u u u a a a
a a a a
关系营销案例bg
bg a a a a a éù¶-¶¶ëû==¶¶¶¶¶¶¶æö=+--ç÷¶¶¶¶èø
¶¶¶¶¶æ
ö==+++ç÷¶¶¶¶¶èø
所以(3)成立. □ p. 212 习题5.3
4. 设S 有2个不相等的常数主曲率. 证明：S 是圆柱面的一部分是圆柱面的一部分..
证明. 设S 的2个常数主曲率为12,k k . 因为12k k ¹，所以S 上没有脐点，可以
选取正交的曲率线网作为参数曲线网，使得选取正交的曲率线网作为参数曲线网，使得
0F M ==，1L E k =，2N G k =
(1) 因为12,k k 是常数，由Codazzi 方程(3.23)得
1
2
12v v v v E L HE E k k k +===，1222
u u u u G N HG G k k k +===. 因此因此
0,0v u E G ==.
(2) 于是()E E u =，()G G v =.
作参数变换()u E u du =ò，()v G v dv =ò. 则第一、第二基本形式成为则第一、第二基本形式成为
2222I ()()E u du G v dv du dv =+=+， 22221212II ()()E u du G v dv du dv k k k k =+=+.
即在新的参数下1E G ==，1L k =，2N k =. 为了方便起见，不妨设在原来的参数
下就有下就有
22I du dv =+，
22
12II du dv k k =+
(3) 由(3.22)得12120R =，从而由Gauss 方程(3.19)可知120LN k k ==. 不妨设20k =. 则
为公司发展120k k ¹=.
于是(3)成为成为 2
2
I du dv =+，21II du k =.
(4) 直接计算可得圆柱面直接计算可得圆柱面
()11
1111
cos(),sin(),u u v r k k k k -= 的第一、第二基本形式也是(4)，见第四章第2节的例题 根据曲面论唯一性定理，
曲面S 是圆柱面的一部分是圆柱面的一部分..
□ 5. 已知曲面的第一基本形式和第二基本形式分别是已知曲面的第一基本形式和第二基本形式分别是
(
)
2
22
I u du dv
=+，22
II (,)(,)A u v du B u v dv =+.
证明：(1) 函数(,),(,)A u v B u v 满足1AB º；(2) A 和B 只是u 的函数
证明. 由已知条件可得主曲率和平均曲率分别是由已知条件可得主曲率和平均曲率分别是
12A u k =， 22B u k =，
22A B
H u +=. 由Codazzi 方程(3.23)得
0v v A HE ==，u u A B B HG u
+==.
因此因此
()A A u =，()u uB B A u -=.
由Gauss 方程可得方程可得 4224
1111l n ||AB K
u u u u u u u ¶æö==-D =-=ç÷¶èø. 因此1AB =，并且1
()
B A u =仅依赖于u . □ p. 217 习题5.4
2. 判断下面给出的二次微分形式,j y 能否作为空间3
E 中某个曲面的第一、第二
基本形式，并说明理由基本形式，并说明理由. .
(1) 2
2
du dv j =+，2
2
du dv y =-.
(2) 2
2
2
cos du u dv j =+，2
2
2
cos u du dv y =+.
解. (1) 不能不能.. 否则曲面有2个不相等的常数主曲率11k =，21k =-. 由上一节习题4，曲面是圆柱面的一部分，曲面是圆柱面的一部分.. 但是圆柱面是可展曲面，Gauss 曲率0K =，矛盾，矛盾.. (2) 不能 如果这样的曲面存在，则如果这样的曲面存在，则
2
激励的话
122
1cos ,cos u u
k k ==，421cos 0cos u H u +=¹. 由Codazzi 方程(3.23)的第2式得0sin 2u u
N HG H u ===-，矛盾，矛盾. . □ 4. 已知2
2
(,)(,)E u v du G u v dv j =+，(,)u v y l j =，其中0E >，0G >. 若,j y 能作为某个曲面的第一、第二基本形式，问函数,,E G l 应该满足什么条件？应该满足什么条件？
假定E G =. 写出满足上述条件的函数,,E G l 的具体表达式的具体表达式. .
今年高考人数解. 如果这样的曲面S 存在，则S 上的点都是脐点上的点都是脐点.. 由第四章定理 1.1和定理1.2，l 必须是常数必须是常数.. 情况1. 0l =.
则0L M N ===，Codazzi 方程(3.23)的2个式子自动成立个式子自动成立.. 因此只要函数,E G 满足Gauss 方程. 因为Gauss 曲率0K =，,E G 应满足应满足
()()0v u v u E G G E éùéù+=êúêúëûëû. (1) 也就是也就是
22
022
v u u v v u vv uu E E G E G G E G E G +++--=.
情况2. 0l ¹.
则,0,L E M N G l l ===，H l =. 因此Codazzi 方程(3.23)的2个式子成立 剩下的只要函数,E G 满足Gauss 方程 因为Gauss 曲率2
K l =，,E G 应满足
应满足 ()()21v u v u E G EG G E l ìüéùéùïï-+=íýêúêúïïëûëûîþ
. (2) 当E G =时，(1)成为ln 0E D =，所以ln 0E D =. 令1z u v =+-. 根据复变函
