广义相对论样卷答案
小儿感冒冲剂中国科大近代物理系尤一宁
2017年6月11日
1问答题
1.1数学准备部分
1.什么是张量积？
若r重线性映射f:X1×···×X r→Z同构于线性映射g:W→Z，则W为X1×···×X r 的张量积.
2.什么是张量？
多重线性映射/多重线性函数.
3.简述拓扑对于集合的意义
拓扑可在集合中引入邻域、连续性、连通性等概念.
死人化妆师4.什么是流形？
X是一个Hausdorff拓扑空间，且对X上∀一点p，都∃一个邻域N(p)同胚于R n中的一个开集，则称X为一个流形.简言之，流形是局部同胚于R n中的开集的Hausdorff拓扑空间.
5.微分结构和拓扑结构的区别
拓扑结构赋予集合连续、邻域的概念，使得流形可以定义，拓扑结构产生拓扑群（连续
1麻将进行曲
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群）；微分结构赋予流形上坐标卡之间映射的可微性，形成坐标卡集的等价类，和拓扑结构配适的微分结构产生李群.
6.什么是切空间？
流形上函数f在p点的方向导数v p(f)称为切矢量，流形上p点所有切矢量的集合是切空间.
什么是七年之痒7.名词解释：李导数
切矢量场u沿着切矢量场v的积分曲线的变化率
L v u|p=lim
t→0(Φ−t)∗uΦ
t
(p)−u p
t
必修二英语单词表图片称为切矢量场u沿着切矢量场v在p点的李导数.其中v在p点的邻域N(p)生成的局部单参数变换Φt所定义的推前映射将Φt(p)点的切矢量推到p点.
8.微分同胚变换与坐标变换的关系
蛋糕卡通微分同胚变换ΦX→X可以等价于X上的坐标变换；主动观点看，X上的点发生变化，张量场τ在微分同胚变换下变成X上的另外一个张量Φ∗τ；被动观点看，点不变，而微分同胚变换对张量的分量做了一个坐标变换，变换后的分量等于主动观点下Φ∗τ的分量.
9.在流形上引入联络的目的是什么？
产生光滑流形上两点的切空间之间的同构，以建立平行移动的概念.简言之，平行移动要求切矢量沿所走曲线方向不变，而联络赋予了流形上不同点之间切矢量的比较.
10.解释什么是平行移动，什么是测地线？
若v(t)沿曲线c的切矢量u的协变导数∇u v=0，则称v(t)沿曲线c平行移动；若一曲线c的切矢量u沿u本身的协变导数∇u u=0，则称曲线c是测地线.
11.简述两个协变导数算子之间的关系
导数算子∇和 ∇之间相差了一个（1，2）型张量场C c ab，有( ∇a−∇a)u c=−C c ab u b，( ∇a−∇a)ωb=C c abωc.
12.简述流形上普通导数算子的特殊性
1.由于(∂a∂b−∂b∂a)τa1···r b1···b r=0，普通导数算子对应的挠率和曲率都为0；
2.普通导数
算子依赖坐标卡的选取，只能在局部定义，且它与一般导数算子的差别Γc ab也依赖坐标卡的选取.
13.简述度规和（无挠）联络之间的关系
物理上要求度规和联络相容∇a g bc，则在流形(X,g ab)上给定挠率张量，则和度规相容的协变导数唯一；无挠情况下，取 ∇a=∂a，则和度规相容的联络与之相差Christoffel符号Γc ab=1
2
g cd(∂a gbd+∂b g da−∂d g ab).
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14.简述曲率张量的几何意义
曲率张量反应了一个切矢量沿曲线c平行移动一圈回到原点时的改变量的二阶近似.
15.简述Killing矢量场和一般切矢量场的关系
一般切矢量场都可诱导出流形之间的微分同胚，但Killing矢量场多了一个要求，即它在(X,g ab),(Y,h ab)之间诱导的微分同胚需满足等距性：φ∗h ab=g ab.
16.描述一个类时线汇需要哪些几何量？分别写出这些几何量，说明它们的意义
∇a u b=−u a a b+ωab+σab+1
θh ab
3
转动张量ωab是被测粒子O相对于粒子O的瞬时转动速度，扩张标量θ是粒子O相对于粒子O的径向速率，剪切张量σab是粒子O相对于粒子O的无穷小距离发生的剪切形变（从球面变成等体积椭球面的趋势）.
1.2广义相对论部分
1.广义相对论中什么是时空？
时空是一个二元组(M,g ab)，其中M是一个4-维的微分流形（Hausdorff、连通），而g ab 是时空上的度规，号差为(−1,1,1,1)；简言之，广义相对论中的时空是一个4-维的Lorentz 流形.
2.简述相对论性时空和经典时空的区别
时空是一个流形，经典和相对论时空的区别在于度规的构造：经典时空中时间和空间先验地存在且被分别对待，需引入时间度规和空间度规，而相对论性时空只引入一个度规，不先验地区分时间和空间.
3.相对论性的时空中什么是观测者？什么是参考系？
观测者是一条类时世界线和观测者决定的固有坐标系；参考系是一个光滑的切矢量场，这个切矢量场的每一条积分曲线都是观测者的世界线，简言之，参考系是观测者的集合.
4.相对论性时空中参考系和坐标系的区别和联系
参考系是类时线汇，即观测者的集合；坐标系是一条类时世界线上观测者选取的坐标架.对于一个参考系，可以由它构造出一个适配的坐标系，但不是所有的坐标系都可与参考系适配.
5.简述相对论中“相对”的理解
等效原理是狭义相对论的基础，因此参考系之间有Lorentz变换；但广义相对论的基础，潮汐力实验证实不包含等效原理（1912），因此广义相对论的基础只有一个流形及其度规，没有参考系之间相对性的概念.
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6.简述物质场的能动量张量需满足的条件狭义相对论的能动量张量T ab 满足(i)T ab 是一个对称张量，对于时空上任意p 点处未来指向的单位类时矢量u a ，P a =−T a b u b 是4-动量密度(ii)若T ab 在R n 的某个开集为0当且仅当在这个开集上物质场为0；(iii)对称张量满足方程∇a T ab =0，其中∇a 与度规ηab 相容；广义相对论的能动量张量要求相同，只是度规为g ab .
7.简述狭义相对论中的Einstein-Poincare 同时性
观测者O (τ)在其固有时τ1向O ′(τ′)发出光线，经O ′(τ′)镜面反射回，观测者O (τ)在其固有时τ2收到返回的信号；若O ′(τ′)接收到信号的时间τ′=12(τ1
+τ2)，则称两个观测者的时钟是对准的.
8.画出闵氏时空中惯性系和匀加速观测者的世界线
惯性观测者世界线为直线，可洛伦兹变换为x =const.,t =τ，即垂直于x 轴的直线；匀加速观测者世界
线为双曲线g −1=√−t 2+(x 1)2，加速度g 越大越弯曲靠近原点.
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9.简述测地偏离方程的物理含义
测地线汇(a a=0)的测地偏离方程A a=−R cbd a u c z b u d体现了两个邻近的、“自由运动”的粒子的相对加速度正比于曲率张量.这是广义相对论中的潮汐力，描述了时空的弯曲程度与粒子运动的关系，因此潮汐力能够体现“引力”.
10.简述费米沃克移动的含义我国陆地面积是多少
一个矢量场v沿粒子世界线（切矢量为u）的运动若满足D F W
v a=u b∇b v a+(a a u b−
dτ
u a a b)v b=0，则矢量场v a在基底{(e i)a}上的分量的变化率完全由基底的转动产生，换言之，v a沿着世界线不发生转动.
11.什么是惯性观测者
怀孕见红了是怎么回事若观测者（类时世界线）的加速度a a=0，则称观测者为惯性（测地）观测者.
12.简述费米法坐标系和黎曼法坐标系的区别和联系
黎曼法坐标系：世界线上p点切矢量的正交基底，被指数映射到黎曼坐标系；引入一条测地线来定标，则其黎曼法坐标正比于p点基底下的分量.费米法坐标系：直接引入过p点的类空测地线来定标，且其切矢量与p点世界线切矢量正交，则在p点足够小邻域内可定义唯一的一条测地线的费米法坐标，其x0为观测者在p点的固有时.黎曼法坐标系的建立只用到指数映射和观测者的正交基底的选取，因此黎曼法坐标系上的Christoffel符号只能在世界线上的一点为0；但费米法坐标系可在世界线整体或一段上为0，只要观测者的4-加速度和自转为0.
13.简述何谓惯性参考系、刚性参考系、超曲正交参考系
对矢量场u a定义的参考系，若a a=0，则为惯性参考系；若ωab=0，则为超曲正交参考系；若θab=0,ωab=0，则为刚性参考系.
