第38卷增刊2河海大学学报(自然科学版)V01．38s11ppl锄眦2 2010年10月J ou r n al of Hoha i Uni v e rs i t y(N a t u r al Sciences) Oct．20lO
好的爱情
Copula函数在水文应用中的研究进展
段小兰，郝振纯
(河海大学水文水资源与水利工程学科国家重点实验室，江苏南京210098)
摘要：论述了水文事件尤其是水文极值事件研究中采用Copula函数进行多变量分析的必要性，在
简要阐述Copula函数理论与方法的基础上，介绍了国内外Copula函数理论的发展过程，从水文
极值事件如暴雨模拟、洪水频率分析、水文干旱等方面综述了Copu la函数在水文中应用情况，
并对 Cop ul a函数在水文中的应用作了展望．关键词：C op ul a函数；水文板值；降水模拟；洪水研
究；水文干旱
中图分类号：P333文献标志码：A文章编号：1000一1980(20lO)S2_0113-04
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任何水文事件，都是一个复杂的系统’斗程，受众多因素的影响与制约，是气候(天气系统)、流域下垫面和
人类活动三者结合的产物．水文过程的复州：多变性、影响因素之间的相互关联性使得描述和研究水文现象时
较为困难，学者们通过简化和概化，为各水文现象建立了相应的水文模型，并取得了一定的效果，但在描述各
因素对水文过程的作用时，很多情况下没有考虑各因素间的相互关系，而把每个因素假设成独立无关的随机
变量．事实上，若把各水文因素看成随机变量的话，随机变量间的相关结构关系对水文事件也发挥着重要作用．此外，在人们更为关心的水文极值事件中，传统的单变量分析往往不能完全描述水文极值事件的全部属性，且不同水文极值事件的遭遇组合问题也是单变量分析不能解决的．因此寻求众多随机变量的联合分布就
成了研究的重点，当然，由于各因素间的相互作用难以用数学化的方式来描述和表达，求水文事件的联合分
布函数成了研究水文变量不确定性和复杂性的难点．
多变量联合分布模型根据边际分布函数的特点，可分为具有相同边际分布的多变量分布模型和灵活具
有不同边际分布的分布模型1．相同边际分布模型主要包括多元正态分布模型、多元对数正态分布模型等，
不同边际分布模型主要有Meta-C,auss ian模型和FGM模型．第一类多变量分布模型中要求水文变量具有相
同
的边际分布，显然这和实际情况不相符，第二类模型中对变量边际分布灵活性更大，但对变量间的相关性有要求，适用范围受到制约．为了解决此类问题，蛐函数被引入到水文中，并成为～个研究的热点．Copula
函数可以用于表征多变量间的相互结构关系，灵活构建不同边际分布函数的联合分布函数，它不仅可以描述变量之间的线性关系还可以描述变量问的非线性相关关系．本文先简要介绍鼬函数的理论，然后着重
综述Copula函数在水文中的应用，并对蛐函数的应用前景进行了展望．
1 Copula基本理论发展
鼬函数是定义域为[0，1]均匀分布的多维联合分布函数，自s蚶2J于1959年在统计学中提出Sklar 定理后，直到20世纪90年代末才广泛应用到金融领域，2000年后引入到工程领域．Sklar定理是Copula理论的基础，同时也是Copul a理论运用的基础，它阐明了Cop ula函数在构建多元联合分布中的重要作用，将研究
1
多变量分布函数转化为研究变量边际分布和它们的连接函数．随后国内外广大学者L3-1J对C op．1as函数的类
型选择、参数估计、拟合优度等各方面进行了深入的研究，为Copu h函数在水文中的应用奠定了基础．
收稿日期：2010-07-29基金项目：国家重点基础研究发展计划(973计划)(20100挎51101)；国家自然科学基金(40830629。50879016，41粥01012)；水利部公益性项目
(200s ol027)；教育部长江学者和创新团队发展计划(IR'iD717)；河海大学水文水资源与水利工程科学国家重点实验室专项(1069-50985512)作者简介：段小兰(1％6一)。女，湖南株洲人，硕士研究生．主
要从事水文极端事件和气候变化对水循环的影响研究．
114河海大学学报(自然科学版)第38卷
2Copula函数在水文中的应用研究进展
C0畔Ila函数在水文中的应用研究起步较晚，但C0pul a函数本身特性与众多水文事件间的关联性，使得Copuh函数在水文中应用前景较为广泛．Q|p山在水文中的应用总体而言，包括两部分，第一，对多特征属性的水文气象变量进行频率分析，如洪水的历时、洪量和洪峰，降水的历时、强度和降水深，干旱的历时、强度和烈度，以得到对该水文气象变量更为全面的认识，更好得表征随机变量；第二，用于各种水文事件的遭遇组合问题，如干支流径流丰平组合，区间暴雨与外江洪水组合等．下面主要从降水、洪水和干旱等水文极值事件综
述Copuh函数在水文中的应用情
况．2．1降水模拟
针对降水的降水强度、历时和降水深度等特征属性，De Michde等mJ采用二元Copula函数建立了暴雨强度一历时的随机模型，蛐等【净14J运用三元Copuh函数建立降水的强度、历时和降水深的三元分布模型，由
此推算条件重现期；Vilhrini等【15J采用非参数方法(核密度估计)和基于cbp山函数的参数方法研究了雷达测雨的系统不确定性，并比较了两种方法的优劣；Le nna rts son等【16J用二维高斯Cop ula函数表征连续天数降水间的相关关系，结合马尔科夫链，建立了瑞典地区的降雨模型；许月萍等【17J用Gumbel—I-IougaaId C0pu la 函数考虑不同降水历时耦合关系，分析降水极端极限事件，改善了传统水文极限频率分析中出现的不同历时降水深的交叉现象．
2．2洪水研究
洪水频率方面，Fa vre等【璩]运用Co pula构建了水文多变量极值模型，该方法可以应用到频率分析的混合风险分析中，也可以构建洪峰和洪量的联合分布，建立了流域的峰量关系；Wang等【19j也基于Cop uh函数建立了洪峰和洪量的联合分布，研究了单变量分析和二变量分析下重现期的关系，并应用到台湾同头站实测洪水分析中；国内在洪水分析中采用Copu la函数的研究近年较多，方彬等汹J选用Gumbd Arehimedean G叩u la函数，采用V on Mi s分布模拟洪水发生时间的边际分布，P．Ⅲ分布拟合洪水量级，建立了年最大洪水发生时间和洪水量级的二变量联合分布；王占海等【2l J采用3个Copula函数的线性组合构造M．Copula函数，通过M- Copula函数分析长江上下游洪水遭遇组合情况；肖义等[22J采用G umbe l．H伽酗耐Copu h函数描述两个分期的分期最大洪水之间的相关性结构，张娜等[23]将汛期分为三部分，采用非对称的3维Fran k Copuh函数，讨论分期设计洪水频率与防洪标准应满足的关系，探讨能够满足防洪标准且又能反映洪水季节规律的新分期设
计洪水模式；Copula函数也用于洪水过程的随机模拟当中，张涛等【嬲J基于Copula函数对洪水过程进行随机模拟，构造洪峰和历时的联合分
布．2．3水文干旱分析
Shiau[26]以指数分布和伽玛分布分别拟合干旱历时和干旱烈度的边际分布，并用极大似然法估计分布函数，采用二维Cop uh函数表征两者相关结构，构建了干旱二变量概率模型，并在此基础上求出联合概率和二变量重现期，最后应用到台湾地区；其后Sh iau等【驯又基于Copuh建立黄河水文干旱中干旱历时和干旱烈度的联合分布，应用到黄河地区；Wong等【28J根据南方涛动指数将降水分为厄尔尼诺、平水期和拉尼娜3种情况，研究干旱最大强度、干旱历时和烈度的三变量关系，并运用到新南威尔士雨区和澳大利亚大分水岭西部；
袁超[驯利用游程理论、极值理论及随机理论，基于Cop山函数，建立水文干旱二变量概率模型，并用泾河和北洛河的月径流资料对其做了检
验． 2．4水文事件的遭遇研究
莫淑红等[30]采用Copu la函数构建渭河干流及其支流千年河径流的联合概率组合模型，分析干支流丰平枯遭遇情况，认为C opula函数用于河流的丰平枯分析中具有可行性；刘曾美等【3lJ采用Copu la函
数分析了区间暴雨和外江洪水位遭遇组合风险问题；熊其玲等【32】基于Co pul a函数构建了南水北调工程水源区与各受水区降水量的联合分布，计算了丰枯遭遇概率；牛军宜等【33J运用三元Co pul a联结函数构造了潘家121水库、陡河水库和于桥水库年入库天然径流系列的三维联合分布，研究引滦水库的天然来水系列之间的丰枯补偿特性．
3讨论与展望
增刊2 段小兰，等蛐函数在水文应用中的研究进展 115 考虑了水文变量的相关性，更重要的是它不要求各变量的边际分布相同，且可以描述变量问的非线性、非对 称性关系，拓宽了研究范围和适应程度．但同时，在实际应用中还存在有待进一步发展的地方．
a ．Copula 函数类型的选择．Copula 类型比较多，通常用K-S 检验、x2检验、K ．K 图和Q —Q 图来实现，但这 些检验方法的效果如何，没有一个相对比较标准．
b ．Copu la 的维数问题．目前的研究中主要集中在二维和三
维的研究中，随着水文事件考虑的因素增多，
学瑜伽要多少钱其不确定性越大，这样需要分析的变量就越多，所以就需要拓展copu la 函数的应用维数，当然随着维数的增 加，计算量也越大． c ．Copula 与其他技术的融合．根据样本资料建立其分布函数，必然要
求样本容量较大，
若要用Cop ula 研
究水文极值，就必须要突破样本容量的限制．极端事件一般都难以观测，为了得到足够样本，需要采用随机模 拟的方法，所以在进一步的应用中应该将Copu la 方法与随机模拟等技术结合起来研究水文事件． d ．理论与
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实际应用的结合．传统的洪水分析中，若以时段洪量来表征，时段洪量与重现期一一对应；而
cor ．山构造的多变量的联合分布，给出的是多变量的组合情况，相对于“决策支持系统”，具体哪个变量取多 少，还应该根据具体需要来决定．所以它比传统的分析方法，应用更为复杂．
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女生可爱的名字(本文编辑：熊水斌)
