一． 采用信号处理技术提取井孔分波的理论基础
职业道德案例位于井轴（0r =）上的接收器阵列记录的井孔时域全波可表示为，
勤俭持家()
∞
∞
--∞
-∞
=⎰⎰
ikz i t x(z,t )S()
A(k ,)e dk e d ωωωω (1)
式中x(z,t )表示井轴上不同源距处的井孔声压或位移，S()ω为声源时间函数的频谱，频率-波数域的函数
A(k,)ω为地层对声源的响应函数，利用井内外的场量表达式以及井壁处的应力和位移连续性条件，可导出函数A(k,)ω的表达式，具体形式可见Kurkjian (1985)。
严格的说，井孔时域全波包含直达场和反射场两部分，式（1）仅为反射场部分。但是当源距远大于井径时，可以不计流体直达波（胡恒山等，1999）。此外，实际测井工具中的源和接收器之间设有隔声层，可有效降低直达波场。
将时间全波傅里叶变换到频率域，有
∞
-∞
招商银行笔试>modest
=⎰ikz X(z,)S()A(k,)e dk ωωω (2)
根据分波计算的理论，（2）式中沿实波数轴的积分可化为在复波数平面上沿半径无穷大半圆弧的闭合路径积分（如图1所示）。
图1
函数A(k,)ω是具有奇异性的。根据复变函数理论，对该闭合路径积分等效于求闭合区间内所有极点(pole)的留数之和。除极点外，函数A(k,)ω还存在另一类型的奇异性，即支点(branch point)。为了回避这些支点（地层的纵波和横波波数）的影响，采用图1所示的竖直路径绕过支点。这样，对式（2）的计算就转化为
()()2X (z,)i residues of
poles branch cuts ωπ=+∑⎰ (3)
对于一个极点l k k ()ω=，极点留数的表达式可以写成()12l ik ()z
l i a ()e ωπω，那么式
（3）改写为，
()1
l ik ()z l l X(z,)a ()e branch cuts ωωω∞
==+∑⎰ (4)
利用如下近似(Lang et al. 1987)：
（1）远场波场→虚部过大的支点对应的波群，衰减消失→全波主要由有限个实极点或虚部不大的极点对应的波群构成→将()l k ω近似为实数。
（2）支点割线积分包含支点的贡献和附近极点的贡献。对于远场，如果支点附近存在极点，则贡献主要来自附近的极点→对于纵波激发曲线的最高点(共振点)，支点附近存在极点，且割线积分的贡献主要来自于这些极点；对于曲线的最低点，仅在支点的较远处存在极点，这些极点的贡献也相对较小。由于实际测井的频率具有一定带宽，通常可以包含一个或多个共振点，因此→
1
l p
ik ()z l l X(z,)a ()e ωωω=≈∑ (4)
注：实例中，得到的纵波和横波频散曲线间断，也就是说只能在特定的频率范围内才能用这种方法得到纵波和横波频散曲线。
参考文献：
Ekstrom M.P . 1996. Dispersion estimation from borehole acoustic arrays using a modified matrix pencil algorithm. IEEE Proceedings of ASILO 449-453.
胡恒山，马俊，王克协,1999，井孔声场计算中的黎曼叶选择，吉林大学自然科学学报，第4期,66-70.
Kurkjian. A. L. 1985. Numerical Computation of Individual Far-Field Arrivals Excited by an Acoustic Source in a Borehole. Geophysics. 50(5): 852-866
Lang S. W., Kurkjian A. L. McClellan J.H. Morris, C.F. and Parks T.W., 1987. Estimating slowness dispersion from arrays of sonic logging waveforms. Geophysics. 52: 530-544.
二． 矩阵束（Matrix Pencil ）方法提取井孔分波
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将不同接收器（假设有m 个）记录的数据（不同时刻的离散数据）分别傅里叶变换到频率域，得到
i t X (z,)x(z,t )e dt ωω=⎰ (5)
由于接收器记录的波形在时间域上具有足够多的采样点，X(z,)ω在频率域上具有足够高的分辨率。根据上一节的分析，对于给定的频率0ω，有
01
l p
ik z l l X(z,)a e ω=≈∑ (6)
因此，下面的工作就是：对于每一个频率点，找到极点l k 及其对应的幅值l a 。
将不同接收器在频率0ω的数据，构成序列()x n ，
0()(,),0,,1n x n X z n m ω==- (7)
其中0n z z n z =+∆，有
()
0001
1
l l l p
p设备管理办法
ik z n z ik z ik n z
n l l l l X(z ,)a e
a e e ω+∆∆==≈=∑∑
(8)
十年后的我作文600字令0l ik z l l b a e =，l ik z l e λ∆=，有
1
(),0,,1p
n l l l x n b n m λ=≈=-∑ (9)
由序列()x n 构建如下的母Hankel 矩阵以及两个子Hankel 矩阵
()(1)
(0)(1).()(1)(2)......(1)().(1)m p p x x x p x x X x m p x m p x m -⨯+⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢
⎥
----⎣⎦ (10) ()(1)
(2).()(2)(3)..0....()(1).(1)m p p
x x x p x x X x m p x m p x m -⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥女字笔顺
--+-⎣⎦ (11)
()(0)(1).(1)(1)(2)..1....(1)()
.(2)m p p
x x x p x x X x m p x m p x m -⨯-⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥
----⎣⎦
(12) 其中0X 和1X 分别为由X 的后p 列和前p 列元素组成的矩阵。
关于p 的选取：
024
-6
-4
-
2
2
3m
Y A x i s T i t l e
X Axis Title
