江西中考报名

试卷第1页，共8页

2022年江西省中考数学真题

学校

:___________

姓名：

___________

班级：

___________

考号：

___________

一、单选题

1

．下列各数中，负数是（）

A

．1

B

．

0C

．

2D

．

2

2

．实数

a

，

b

在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）

A

．abB

．abC

．

ab

D

．

ab

3

．下列计算正确的是（）

A

．236mmm

B

．

()mnmn

C

．2()mmnmnD

．222()mnmn

4

．将字母

“C”

，

“H”

按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第

4

个图形中字母

“H”

的

个数是（）

A

．

9B

．

10C

．

11D

．

12

5

．如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（）

A

．

B

．

试卷第2页，共8页

C

．

D

．

6

．甲、乙两种物质的溶解度

(g)y

与温度

()t℃

之间的对应关系如图所示，则下列说法

中，错误的是（）

A

．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大

B

．当温度升高至

2

t℃

时，甲的溶解度比乙的溶解度大

C

．当温度为

0℃

时，甲、乙的溶解度都小于20g

D

．当温度为

30℃

时，甲、乙的溶解度相等

二、填空题

7

．因式分解：23aa

__________

．

8

．正五边形的外角和等于

_______

◦．

9

．已知关于

x

的方程220xxk

有两个相等的实数根，则

k

的值是

______

．

10

．甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样

10

人，甲采样

160

人所用时间与乙采样

140

人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲

每小时采样

x

人，则可列分式方程为

__________

．

11

．沐沐用七巧板拼了一个对角线长为

2

的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形

（如图所示），则长方形的对角线长为

__________

．

12

．已知点

A

在反比例函数

12

(0)yx

x



的图象上，点

B

在

x

轴正半轴上，若

OAB

为

试卷第3页，共8页

等腰三角形，且腰长为

5

，则

AB

的长为

__________

．

三、解答题

13

．（

1

）计算：0|2|42；

（

2

）解不等式组：

26

325

x

xx











14

．以下是某同学化筒分式

2

113

422

x

xxx













的部分运算过程：

解：原式

112

(2)(2)23

xx

xxx













①

122

(2)(2)(2)(2)3

xxx

xxxx













①

122

(2)(2)3

xxx

xx







①

…

解：

(1)

上面的运算过程中第

__________

步出现了错误；

(2)

请你写出完整的解答过程．

15

．某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁

4

名护士积极报名参

加，其中甲是共青团员，其余

3

人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人

选．

(1)“

随机抽取

1

人，甲恰好被抽中

”

是

__________

事件；

A

．不可能

B

．必然

C

．随机

(2)

若需从这

4

名护士中随机抽取

2

人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护

士都是共产党员的概率．

16

．如图是44的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图

痕迹）．

试卷第4页，共8页

(1)

在图

1

中作ABC的角平分线；

(2)

在图

2

中过点C作一条直线

l

，使点A，B到直线

l

的距离相等．

17

．如图，四边形ABCD为菱形，点

E

在

AC

的延长线上，

ACDABE

．

(1)

求证：

ABCAEB∽

；

(2)

当

6,4ABAC

时，求

AE

的长．

18

．如图，点(,4)Am在反比例函数(0)

k

yx

x

的图象上，点

B

在

y

轴上，

2OB

，将

线段

AB

向右下方平移，得到线段CD，此时点

C

落在反比例函数的图象上，点

D

落在

x

轴正半轴上，且

1OD

．

(1)

点

B

的坐标为

__________

，点

D

的坐标为

__________

，点

C

的坐标为

__________

（用含

m

的式子表示）；

(2)

求

k

的值和直线

AC

的表达式．

19

．（

1

）课本再现：在

O

中，

AOB

是

AB

所对的圆心角，C是

AB

所对的圆周

角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心

O

与C的位置关系进行分

类．图

1

是其中一种情况，请你在图

2

和图

3

中画出其它两种情况的图形，并从三种

试卷第5页，共8页

位置关系中任选一种情况证明

1

2

CAOB

；

（

2

）知识应用：如图

4

，若

O

的半径为

2

，

,PAPB

分别与

O

相切于点

A

，

B

，

60C°

，求PA的长．

20

．图

1

是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图

2

所示的示意图，已知

ABCDFG∥∥，

A

，

D

，

H

，

G

四点在同一直线上，测得

72.9,1.6m,6.2mFECAADEF

．（结果保留小数点后一位）

(1)

求证：四边形

DEFG

为平行四边形；

(2)

求雕塑的高（即点

G

到

AB

的距离）．

（参考数据：

sin72.90.96,cos72.90.29,tan72.93.25

）

21

．在

“

双减

”

政策实施两个月后，某市

“

双减办

”

面向本市城区学生，就

“‘

双减

’

前后参

加校外学科补习班的情况

”

进行了一次随机问卷调查（以下将

“

参加校外学科补习班

”

简

称

“

报班

”

），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统

计表

1

和统计图

1

：

整理描述

表

1

：

“

双减

”

前后报班情况统计表（第一组）

试卷第6页，共8页

01234及以上合计

“双减”前1m

“双减”后2551524n0m

(1)

根据表

1

，

m

的值为

__________

，

n

m

的值为

__________

；

(2)

分析处理：请你汇总表

1

和图

1

中的数据，求出

“

双减

”

后报班数为

3

的学生人数所

占的百分比；

(3)“

双减办

”

汇总数据后，制作了

“

双减

”

前后报班情况的折线统计图（如图

2

）．请依据

以上图表中的信息回答以下问题：

①

本次调查中，

“

双减

”

前学生报班个数的中位数为

__________

，

“

双减

”

后学生报班个数

的众数为

__________

；

①

请对该市城区学生

“

双减

”

前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．

22

．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路

线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所

示）上，着陆坡上的基准点

K

为飞行距离计分的参照点，落地点超过

K

点越远，飞行

距离分越高．

2022

年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度

OA

为

66m

，基准点

K

到起跳台的水平距离为

75m

，高度为

mh

（

h

为定值）．设运动员从起跳点

A

起跳后

的高度

(m)y

与水平距离

(m)x

之间的函数关系为2(0)yaxbxca

．

试卷第7页，共8页

(1)c

的值为

__________

；

(2)①

若运动员落地点恰好到达

K

点，且此时

19

,

5010

ab

，求基准点

K

的高度

h

；

①

若

1

50

a

时，运动员落地点要超过

K

点，则

b

的取值范围为

__________

；

(3)

若运动员飞行的水平距离为

25m

时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能

否超过

K

点，并说明理由．

23

．问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的

直角三角板

90,60PEFPF

的一个顶点放在正方形中心

O

处，并绕点

O

逆时

针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形

边长为

2

）．

(1)

操作发现：如图

1

，若将三角板的顶点

P

放在点

O

处，在旋转过程中，当OF与OB

重合时，重叠部分的面积为

__________

；当OF与

BC

垂直时，重叠部分的面积为

__________

；一般地，若正方形面积为

S

，在旋转过程中，重叠部分的面积

1

S

与

S

的

关系为

__________

；

(2)

类比探究：若将三角板的顶点

F

放在点

O

处，在旋转过程中，

,OEOP

分别与正方

形的边相交于点

M

，

N

．

①

如图

2

，当

BMCN

时，试判断重叠部分

OMN

的形状，并说明理由；

①

如图

3

，当CMCN时，求重叠部分四边形

OMCN

的面积（结果保留根号）；

试卷第8页，共8页

(3)

拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心

O

处，该锐角记为

GOH

（设GOH），将

GOH

绕点

O

逆时针旋转，在旋转过程中，

GOH

的两边与正

方形ABCD的边所围成的图形的面积为

2

S，请直接写出

2

S的最小值与最大值（分别用

含



的式子表示），

（参考数据：

6262

sin15,cos15,tan1523

44





）

答案第1页，共22页

参考答案：

1

．

A

【解析】

【分析】

根据负数的定义即可得出答案．

【详解】

解：

-1

是负数，

2

，

2

是正数，

0

既不是正数也不是负数，

故选：

A

．

【点睛】

本题考查了实数，掌握在正数前面添加

“-”

得到负数是解题的关键．

2

．

C

【解析】

【分析】

根据数轴上点的特点，进行判断即可．

【详解】

ABC.

根据数轴上点

a

、

b

的位置可知，

0a＜

，0b＞，

①ab＜

，故

AB

错误，

C

正确；

根据数轴上点

a

、

b

的位置可知，

ab＜

，故

D

错误．

故选：

C

．

【点睛】

本题主要考查了数轴上点的特点，熟练掌握数轴上点表示的数，越向右越大，是解题的关

键．

3

．

B

【解析】

【分析】

利用同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式，完全平方公式对各选项依次判断即

可．

【详解】

解：

A

、2356mmmm

，故此选项不符合题意；

B

、

()mnmn

，故此选项符合题意；

答案第2页，共22页

C

、22()mmnmmnmn

，故此选项不符合题意；

D

、22222()2mmnmnmnn

，故此选项不符合题意．

故选：

B

．

【点睛】

本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式的运

算法则，完全平方公式等知识．熟练掌握各运算法则和222()2abaabb

的应用是解题

的关键．

4

．

B

【解析】

【分析】

列举每个图形中

H

的个数，找到规律即可得出答案．

【详解】

解：第

1

个图中

H

的个数为

4

，

第

2

个图中

H

的个数为

4+2

，

第

3

个图中

H

的个数为

4+2×2

，

第

4

个图中

H

的个数为

4+2×3=10

，

故选：

B

．

【点睛】

本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中

H

的个数，找到规律：每个图形

比上一个图形多

2

个

H

是解题的关键．

5

．

A

【解析】

【分析】

从上面观察该几何体得到一个

“T”

字形的平面图形，横着两个正方形，中间有一个正方形，

且有两条垂直的虚线，下方有半个正方形．画出图形即可．

【详解】

俯视图如图所示．

答案第3页，共22页

故选：

A

．

【点睛】

本题主要考查了几何体的三视图，俯视图是从上面观察几何体得出的平面图形．

.

注意：能

看到的线用实线，看不到而存在的线用虚线．

6

．

D

【解析】

【分析】

利用函数图象的意义可得答案．

【详解】

解：由图象可知，

A

、

B

、

C

都正确，

当温度为

t

1时，甲、乙的溶解度都为

30g

，故

D

错误，

故选：

D

．

【点睛】

本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．

7

．(3)aa

【解析】

【分析】

直接提公因式

a

即可．

【详解】

解：原式

=

(3)aa

.

故答案为：

(3)aa

.

【点睛】

此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．

8

．

360

【解析】

【详解】

答案第4页，共22页

试题分析：任何

n

边形的外角和都等于

360

度

.

考点：多边形的外角和

.

9

．

1

【解析】

【分析】

由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．

【详解】

解：一元二次方程有两个相等的实数根，

可得判别式

0

，

①440k

，

解得：1k．

故答案为：

1.

【点睛】

本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．

10

．

160140

10xx





【解析】

【分析】

先表示乙每小时采样（

x-10

）人，进而得出甲采样

160

人和乙采样

140

人所用的时间，再

根据时间相等列出方程即可．

【详解】

根据题意可知乙每小时采样（

x-10

）人，根据题意，得

160140

10xx





．

故答案为：

160140

10xx





．

【点睛】

本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列方程的关键．

11

．

5

【解析】

【分析】

答案第5页，共22页

根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为

2

，长方形的宽是正方形对角线的一半为

1

，

然后利用勾股定理即可解决问题．

【详解】

解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为

2

，长方形的宽是正方形对角线的一

半为

1

，

①

根据勾股定理可知，长方形的对角线长：22215

．

故答案为：

5

．

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是所拼

成的正方形的特点确定长方形的长与宽．

12

．

5

或

25

或

10

【解析】

【分析】

因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．

【详解】

解：

①

当

AO=AB

时，

AB=5

；

①

当

AB=BO

时，

AB=5

；

①

当

OA=OB

时，则

OB=5

，

B

（

5

，

0

），

设

A

（

a

，

12

a

）（

a>0

），

①OA=5

，

①

2

2

12

5a

a









，

解得：

1

3a

，

2

4a

，

①A

（

3

，

4

）或（

4

，

3

），

①AB=2

235425

或

AB=2

245310

；

综上所述，

AB

的长为

5

或

25

或

10

．

故答案为：

5

或

25

或

10

．

答案第6页，共22页

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，

当时，求出点的坐标是解题的关键．

13

．（

1

）

3

；（

2

）

1

＜

x

＜

3

【解析】

【分析】

（

1

）根据绝对值的性质，算术平方根的意义，零指数幂的意义解答即可；

（

2

）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、

大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】

（

1

）原式

=2+2-1

，

=3

．

（

2

）

26

325

x

xx









＜①

＞②

解不等式

①

得：

x

＜

3

，

解不等式

①

得：

x

＞

1

，

①

不等式组的解集为：

1

＜

x

＜

3

．

【点睛】

本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟

知

“

同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到

”

的原则是解答此题的关键．

14

．

(1)①

(2)

见解析

【解析】

【分析】

根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．

(1)

第

①

步出现错误，原因是分子相减时未变号，

故答案为：

①

；

(2)

答案第7页，共22页

解：原式＝

112

(2)(2)23

xx

xxx













122

(2)(2)(2)(2)3

xxx

xxxx













122

(2)(2)3

xxx

xx







32

(2)(2)3

x

xx







1

2x





【点睛】

本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．

15

．

(1)C

(2)

1

2

【解析】

【分析】

（

1

）根据随机事件的定义即可解决问题；

（

2

）从甲、乙、丙、丁名护士积极报名参加，设甲是共青团员用

T

表示，其余

3

人均是共

产党员用

G

表示，从这

4

名护士中随机抽取

2

人，所有可能出现的结果共有

12

种，然后

利用树状图即可解决问题．

(1)

解：

“

随机抽取

1

人，甲恰好被抽中

”

是随机事件；

故答案为：

C

；

(2)

从甲、乙、丙、丁

4

名护士积极报名参加，设甲是共青团员用

T

表示，其余

3

人均是共产

党员用

G

表示．从这

4

名护士中随机抽取

2

人，所有可能出现的结果共有

12

种，如图所

示：

它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的（记为事件

A)

答案第8页，共22页

的结果有

6

种，则

61

122

PA

，

则被抽到的两名护士都是共产党员的概率为

1

2

．

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或

画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知

识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

16

．

(1)

作图见解析部分

(2)

作图见解析部分

【解析】

【分析】

（

1

）连接

AC

，HG，

AC

与HG交于点P，作射线

BP

即可；

（

2

）取格点D，过点

C

和点D作直线

l

即可．

(1)

解：如图

1

，连接

AC

、HG，

AC

与HG交于点P，设小正方形的边长为

1

个单位，

①

线段

AC

和HG是矩形的两条对角线且交于点P，

①

APCP

，

又

①22215AB

，22215BC，

①ABBC

，

①

BP

平分ABC，

①

射线

BP

即为所作；

(2)

答案第9页，共22页

如图

2

，连接

AD

、

AB

、

BC

、CD，直线

l

经过点C和点D，设小正方形的边长为

1

个单

位，

①22215AB

，22215AD

，

22215BC，22215CD

，

①

ABADCDBC

，

①

四边形ABCD是菱形，

又

①

1AEDF，2BEAF，90AEBDFA，

在

AEB△

和

DFA

中，

AEDF

AEBDFA

BEAF

















①AEBDFASAS△≌△

，

①

ABEDAF

，

①90ABEBAE，

①90DAFBAE，

①90BAD

，

①

四边形ABCD是正方形，

①ADl

，

BCl

，且

ADBC

，

①

直线

l

即为所作．

【点睛】

本题考查作图一应用与设计作图，考查了等腰三角形三线合一的性质，矩形的性质，正方

答案第10页，共22页

形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理等知

识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．

17

．

(1)

见解析

(2)AE=9

【解析】

【分析】

（

1

）根据四边形

ABCD

是菱形，得出

CDAB∥

，

ABCB

，根据平行线的性质和等边对

等角，结合

ACDABE

，得出

ACDABECABACB

，即可证明结论；

（

2

）根据

ABCAEB∽

，得出

ABAC

AEAB



，代入数据进行计算，即可得出

AE

的值．

(1)

证明：

①

四边形

ABCD

为菱形，

①

CDAB∥

，

ABCB

，

ACDCAB，CABACB，

①

ACDABE

，

①

ACDABECABACB

，

①

ABCAEB∽

．

(2)

①

ABCAEB∽

，

①

ABAC

AEAB



，

即

64

6AE



，

解得：9AE．

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性

质，根据题意得出

ACDABECABACB

，是解题关键．

18

．

(1)

（

0

，

2

），（

1

，

0

），（

m

＋

1

，

2

）

(2)1

；

y

＝

-2x

＋

6

【解析】

【分析】

（

1

）根据

OB

＝

2

可得点

B

的坐标，根据

OD

＝

1

可得点

D

的坐标为（

1

，

0

），由平移规律

答案第11页，共22页

可得点

C

的坐标；

（

2

）根据点

C

和

D

的坐标列方程可得

m

的值，从而得

k

的值，再利用待定系数法可得直

线

AC

的解析式．

(1)

①

点

B

在

y

轴上，

2OB

，

①B

（

0

，

2

），

①

点

D

落在

x

轴正半轴上，且

1OD

①D

（

1

，

0

），

①

线段

AB

向下平移

2

个单位，再向右平移

1

个单位，得到线段

CD

，

①

点

A

（

m

，

4

），

①C

（

m

＋

1

，

2

），

故答案为：（

0

，

2

），（

1

，

0

），（

m

＋

1

，

2

）；

(2)

①

点

A

和点

C

在反比例函数(0)

k

yx

x

的图象上，

①k

＝

4m

＝

2

（

m

＋

1

），

①m

＝

1

，

①A

（

1

，

4

），

C

（

2

，

2

），

①k

＝

1×4

＝

4

，

设直线

AC

的表达式为：

ysxt

，

①

4

22

st

st











解得

2

6

s

t











，

①

直线

AC

的表达式为：

y

＝

-2x

＋

6

．

【点睛】

此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据

OB

和

OD

的长

得出平移的规律是解题关键．

19

．（

1

）见解析；（

2

）

23

【解析】

【分析】

（

1

）

①

如图

2

，当点

O

在

①ACB

的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的

答案第12页，共22页

性质可得结论；

①

如图

3

，当

O

在

①ACB

的外部时，作直径

CD

，同理可理结论；

（

2

）如图

4

，先根据（

1

）中的结论可得

①AOB=120°

，由切线的性质可得

①OAP=①OBP=90°

，可得

①OPA=30°

，从而得

PA

的长．

【详解】

解：（

1

）

①

如图

2

，连接

CO

，并延长

CO

交

①O

于点

D

，

①OA=OC=OB

，

①①A=①ACO

，

①B=①BCO

，

①①AOD=①A+①ACO=2①ACO

，

①BOD=①B+①BCO=2①BCO

，

①①AOB=①AOD+①BOD=2①ACO+2①BCO=2①ACB

，

①①ACB=

1

2

①AOB

；

如图

3

，连接

CO

，并延长

CO

交

①O

于点

D

，

①OA=OC=OB

，

①①A=①ACO

，

①B=①BCO

，

①①AOD=①A+①ACO=2①ACO

，

①BOD=①B+①BCO=2①BCO

，

①①AOB=①AOD-①BOD=2①ACO-2①BCO=2①ACB

，

①①ACB=

1

2

①AOB

；

（

2

）如图

4

，连接

OA

，

OB

，

OP

，

答案第13页，共22页

①①C=60°

，

①①AOB=2①C=120°

，

①PA

，

PB

分别与

①O

相切于点

A

，

B

，

①①OAP=①OBP=90°

，

①APO=①BPO=

1

2

①APB=

1

2

（

180°-120°

）

=30°

，

①OA=2

，

①OP=2OA=4

，

①PA=224223

【点睛】

本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关

键．

20

．

(1)

见解析

(2)

雕塑的高为

7.5m

，详见解析

【解析】

【分析】

（

1

）根据平行四边形的定义可得结论；

（

2

）过点

G

作

GP

⊥

AB

于

P

，计算

AG

的长，利用∠

A

的正弦可得结论．

(1)

证明：∵

ABCDFG∥∥

，

∴∠

CDG

＝∠

A

，

∵∠

FEC

＝∠

A

，

答案第14页，共22页

∴∠

FEC

＝∠

CDG

，

∴

EF∥DG

，

∵

FG∥CD

，

∴四边形

DEFG

为平行四边形；

(2)

如图，过点

G

作

GP

⊥

AB

于

P

，

∵四边形

DEFG

为平行四边形，

∴

DG

＝

EF

＝

6.2

，

∵

AD

＝

1.6

，

∴

AG

＝

DG+AD

＝

6.2+1.6

＝

7.8

，

在

Rt①APG

中，

sinA=

PG

AG

，

∴

7.8

PG

=0.96

，

∴

PG=7.8×0.96

＝

7.488≈7.5

．

答：雕塑的高为

7.5m.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角三角形解

决问题．

21

．

(1)300

；

1

50

(2)

见解析；

2.4%

(3)①1

；

0

；

①

见解析

【解析】

【分析】

（

1

）将表

1

中

“

双减前

”

各个数据求和确定

m

的值，然后再计算求得

n

值，从而求解；

答案第15页，共22页

（

2

）通过汇总表

1

和图

1

求得

“

双减后

”

报班数为

3

的学生人数，从而求解百分比；

（

3

）

①

根据中位数和众数的概念分析求解；

①

根据

“

双减

”

政策对学生报班个数的影响结果

角度进行分析说明．

(1)

解：由题意得，

1

25515240

m

nm











，解得

300

6

m

n











，

①

61

30050

n

m



，

故答案为：

300

；

1

50

(2)

汇总表

1

和图

1

可得：

01234及以上总数

“双减”前6500

“双减”后4232440121500

①“

双减

”

后报班数为

3

的学生人数所占的百分比为

12

100%2.4%

500



；

(3)

“

双减

”

前共调查

500

个数据，从小到大排列后，第

250

个和第

251

个数据均为

1

，

①“

双减

”

前学生报班个数的中位数为

1

，

“

双减

”

后学生报班个数出现次数最多的是

0

，

①“

双减

”

后学生报班个数的众数为

0

，

故答案为：

1

；

0

；

①

从

“

双减

”

前后学生报班个数的变化情况说明：

“

双减

”

政策宣传落实到位，参加校外培训机

构的学生大幅度减少，

“

双减

”

取得了显著效果．

【点睛】

本题考查统计的应用，理解题意，对数据进行采集和整理，掌握中位数和众数的概念是解

题关键．

22

．

(1)66

答案第16页，共22页

(2)①

基准点

K

的高度

h

为

21m

；

①b

＞

9

10

；

(3)

他的落地点能超过

K

点，理由见解析．

【解析】

【分析】

（

1

）根据起跳台的高度

OA

为

66m

，即可得

c

＝

66

；

（

2

）

①

由

a

＝﹣

1

50

，

b

＝

9

10

，知

y

＝﹣

1

50

x2+

9

10

x+66

，根据基准点

K

到起跳台的水平距

离为

75m

，即得基准点

K

的高度

h

为

21m

；

①

运动员落地点要超过

K

点，即是

x

＝

75

时，

y

＞

21

，故﹣

1

50

×752+75b+66

＞

21

，即可解得

答案；

（

3

）运动员飞行的水平距离为

25m

时，恰好达到最大高度

76m

，即是抛物线的顶点为

（

25

，

76

），设抛物线解析式为

y

＝

a

（

x

﹣

25

）2+76

，可得抛物线解析式为

y

＝﹣

2

125

（

x

﹣

25

）2+76

，当

x

＝

75

时，

y

＝

36

，从而可知他的落地点能超过

K

点．

(1)

解：

①

起跳台的高度

OA

为

66m

，

①A

（

0

，

66

），

把

A

（

0

，

66

）代入

y

＝

ax2+bx+c

得：

c

＝

66

，

故答案为：

66

；

(2)

解：

①①a

＝﹣

1

50

，

b

＝

9

10

，

①y

＝﹣

1

50

x2+

9

10

x+66

，

①

基准点

K

到起跳台的水平距离为

75m

，

①y

＝﹣

1

50

×752+

9

10

×75+66

＝

21

，

①

基准点

K

的高度

h

为

21m

；

①①a

＝﹣

1

50

，

①y

＝﹣

1

50

x2+bx+66

，

①

运动员落地点要超过

K

点，

答案第17页，共22页

①

当

x

＝

75

时，

y

＞

21

，

即﹣

1

50

×752+75b+66

＞

21

，

解得

b

＞

9

10

，

故答案为：

b

＞

9

10

；

(3)

解：他的落地点能超过

K

点，理由如下：

①

运动员飞行的水平距离为

25m

时，恰好达到最大高度

76m

，

①

抛物线的顶点为（

25

，

76

），

设抛物线解析式为

y

＝

a

（

x

﹣

25

）2+76

，

把（

0

，

66

）代入得：

66

＝

a

（

0

﹣

25

）2+76

，

解得

a

＝﹣

2

125

，

①

抛物线解析式为

y

＝﹣

2

125

（

x

﹣

25

）2+76

，

当

x

＝

75

时，

y

＝﹣

2

125

×

（

75

﹣

25

）2+76

＝

36

，

①36

＞

21

，

①

他的落地点能超过

K

点．

【点睛】

本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问

题．

23

．

(1)1,1

，

1

1

4

SS

(2)①OMN

是等边三角形，理由见解析；

①

31

(3)

tan,1tan45

22











【解析】

【分析】

（

1

）如图

1

，若将三角板的顶点

P

放在点

O

处，在旋转过程中，当

OF

与

OB

重合时，

OE

与

OC

重合，此时重叠部分的面积

=①OBC

的面积

=

1

4

正方形

ABCD

的面积

=1

；当

OF

与

BC

答案第18页，共22页

垂直时，

OE①BC

，重叠部分的面积

=

1

4

正方形

ABCD

的面积

=1

；一般地，若正方形面积为

S

，在旋转过程中，重叠部分的面积

S

1与

S

的关系为

S

1

=

1

4

S

．利用全等三角形的性质证明

即可；

（

2

）

①

结论：

①OMN

是等边三角形．证明

OM=ON

，可得结论；

①

如图

3

中，连接

OC

，过点

O

作

OJ①BC

于点

J

．证明

①OCM①①OCN

（

SAS

），推出

①COM=①CON=30°

，解直角三角形求出

OJ

，即可解决问题；

（

3

）如图

4-1

中，过点

O

作

OQ①BC

于点

Q

，当

BM=CN

时，

①OMN

的面积最小，即

S

2

最小．如图

4-2

中，当

CM=CN

时，

S

2最大．分别求解即可．

(1)

如图

1

，若将三角板的顶点

P

放在点

O

处，在旋转过程中，当

OF

与

OB

重合时，

OE

与

OC

重合，此时重叠部分的面积

=①OBC

的面积

=

1

4

正方形

ABCD

的面积

=1

；

当

OF

与

BC

垂直时，

OE①BC

，重叠部分的面积

=

1

4

正方形

ABCD

的面积

=1

；

一般地，若正方形面积为

S

，在旋转过程中，重叠部分的面积

S

1与

S

的关系为

S

1

=

1

4

S

．

理由：如图

1

中，设

OF

交

AB

于点

J

，

OE

交

BC

于点

K

，过点

O

作

OM①AB

于点

M

，

ON①BC

于点

N

．

①O

是正方形

ABCD

的中心，

①OM=ON

，

①①OMB=①ONB=①B=90°

，

①

四边形

OMBN

是矩形，

①OM=ON

，

①

四边形

OMBN

是正方形，

答案第19页，共22页

①①MON=①EOF=90°

，

①①MOJ=①NOK

，

①①OMJ=①ONK=90°

，

①①OMJ①①ONK

（

AAS

），

①S

△

PMJ=S

△

ONK

，

①S

四边形

OKBJ=S

正方形

OMBN=

1

4

S

正方形

ABCD

，

①S

1

=

1

4

S

．

故答案为：

1

，

1

，

S

1

=

1

4

S

．

(2)

①

如图

2

中，结论：

①OMN

是等边三角形．

理由：过点

O

作

OT①BC

，

①O

是正方形

ABCD

的中心，

①BT=CT

，

①BM=CN

，

①MT=TN

，

①OT①MN

，

①OM=ON

，

①①MON=60°

，

①①MON

是等边三角形；

①

如图

3

中，连接

OC

，过点

O

作

OJ①BC

于点

J

．

答案第20页，共22页

①CM=CN

，

①OCM=①OCN

，

OC=OC

，

①①OCM①①OCN

（

SAS

），

①①COM=①CON=30°

，

①①OMJ=①COM+①OCM=75°

，

①OJ①CB

，

①①JOM=90°-75°=15°

，

①BJ=JC=OJ=1

，

①JM=OJ•tan15°=2-

3

，

①CM=CJ-MJ=1-

（

2-

3

）

=

3

-1

，

①S

四边形

OMCN=2×

1

2

×CM×OJ=

3

-1

．

(3)

如图，将

HOG

沿OH翻折得到

HOG





，则

MONMON



≌

，此时则当

,MN

在

BC

上

时，

2

S比四边形

NOMC



的面积小，

答案第21页，共22页

设

,=MCaCNb





，则当

MNM

S



最大时，

2

S最小，

MNM

S



211

222

ab

ab











，即

MCNC





时，

MNM

S



最大，

此时

OC

垂直平分

MN



，即

ONOM





，则

OMON

如图

4-1

中，过点

O

作

OQ①BC

于点

Q

，

OMON

，

OQMN



BM=CN



当

BM=CN

时，

①OMN

的面积最小，即

S

2最小．

在

Rt①MOQ

中，

MQ=OQ•tan

2



=tan

2



，

①MN=2MQ=2tan

2



，

答案第22页，共22页

①S

2

=S

△

OMN=

1

2

×MN×OQ=tan

2



．

如图

4-2

中，同理可得，当

CM=CN

时，

S

2最大．

,,OCOCOCNOCMCNCM

则

①COM①①CON

，

①①COM=

2



，

①①COQ=45°

，

①①MOQ=45°-

2



，

QM=OQ•tan

（

45°-

2



）

=tan

（

45°-

2



），

①MC=CQ-MQ=1-tan

（

45°-

2



），

①S

2

=2S

△

CMO=2×

1

2

×CM×OQ=1-tan

（

45°-

2



）．

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四

边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于

中考压轴题．