试卷第1页,共8页
2022年江西省中考数学真题
学校
:___________
姓名:
___________
班级:
___________
考号:
___________
一、单选题
1
.下列各数中,负数是()
A
.1
B
.
0C
.
2D
.
2
2
.实数
a
,
b
在数轴上的对应点的位置如图所示,则下列结论中,正确的是()
A
.abB
.abC
.
ab
D
.
ab
3
.下列计算正确的是()
A
.236mmm
B
.
()mnmn
C
.2()mmnmnD
.222()mnmn
4
.将字母
“C”
,
“H”
按照如图所示的规律摆放,依次下去,则第
4
个图形中字母
“H”
的
个数是()
A
.
9B
.
10C
.
11D
.
12
5
.如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体,它的俯视图为()
A
.
B
.
试卷第2页,共8页
C
.
D
.
6
.甲、乙两种物质的溶解度
(g)y
与温度
()t℃
之间的对应关系如图所示,则下列说法
中,错误的是()
A
.甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B
.当温度升高至
2
t℃
时,甲的溶解度比乙的溶解度大
C
.当温度为
0℃
时,甲、乙的溶解度都小于20g
D
.当温度为
30℃
时,甲、乙的溶解度相等
二、填空题
7
.因式分解:23aa
__________
.
8
.正五边形的外角和等于
_______
◦.
9
.已知关于
x
的方程220xxk
有两个相等的实数根,则
k
的值是
______
.
10
.甲、乙两人在社区进行核酸采样,甲每小时比乙每小时多采样
10
人,甲采样
160
人所用时间与乙采样
140
人所用时间相等,甲、乙两人每小时分别采样多少人?设甲
每小时采样
x
人,则可列分式方程为
__________
.
11
.沐沐用七巧板拼了一个对角线长为
2
的正方形,再用这副七巧板拼成一个长方形
(如图所示),则长方形的对角线长为
__________
.
12
.已知点
A
在反比例函数
12
(0)yx
x
的图象上,点
B
在
x
轴正半轴上,若
OAB
为
试卷第3页,共8页
等腰三角形,且腰长为
5
,则
AB
的长为
__________
.
三、解答题
13
.(
1
)计算:0|2|42;
(
2
)解不等式组:
26
325
x
xx
14
.以下是某同学化筒分式
2
113
422
x
xxx
的部分运算过程:
解:原式
112
(2)(2)23
xx
xxx
①
122
(2)(2)(2)(2)3
xxx
xxxx
①
122
(2)(2)3
xxx
xx
①
…
解:
(1)
上面的运算过程中第
__________
步出现了错误;
(2)
请你写出完整的解答过程.
15
.某医院计划选派护士支援某地的防疫工作,甲、乙、丙、丁
4
名护士积极报名参
加,其中甲是共青团员,其余
3
人均是共产党员.医院决定用随机抽取的方式确定人
选.
(1)“
随机抽取
1
人,甲恰好被抽中
”
是
__________
事件;
A
.不可能
B
.必然
C
.随机
(2)
若需从这
4
名护士中随机抽取
2
人,请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护
士都是共产党员的概率.
16
.如图是44的正方形网格,请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图
痕迹).
试卷第4页,共8页
(1)
在图
1
中作ABC的角平分线;
(2)
在图
2
中过点C作一条直线
l
,使点A,B到直线
l
的距离相等.
17
.如图,四边形ABCD为菱形,点
E
在
AC
的延长线上,
ACDABE
.
(1)
求证:
ABCAEB∽
;
(2)
当
6,4ABAC
时,求
AE
的长.
18
.如图,点(,4)Am在反比例函数(0)
k
yx
x
的图象上,点
B
在
y
轴上,
2OB
,将
线段
AB
向右下方平移,得到线段CD,此时点
C
落在反比例函数的图象上,点
D
落在
x
轴正半轴上,且
1OD
.
(1)
点
B
的坐标为
__________
,点
D
的坐标为
__________
,点
C
的坐标为
__________
(用含
m
的式子表示);
(2)
求
k
的值和直线
AC
的表达式.
19
.(
1
)课本再现:在
O
中,
AOB
是
AB
所对的圆心角,C是
AB
所对的圆周
角,我们在数学课上探索两者之间的关系时,要根据圆心
O
与C的位置关系进行分
类.图
1
是其中一种情况,请你在图
2
和图
3
中画出其它两种情况的图形,并从三种
试卷第5页,共8页
位置关系中任选一种情况证明
1
2
CAOB
;
(
2
)知识应用:如图
4
,若
O
的半径为
2
,
,PAPB
分别与
O
相切于点
A
,
B
,
60C°
,求PA的长.
20
.图
1
是某长征主题公园的雕塑,将其抽象成如图
2
所示的示意图,已知
ABCDFG∥∥,
A
,
D
,
H
,
G
四点在同一直线上,测得
72.9,1.6m,6.2mFECAADEF
.(结果保留小数点后一位)
(1)
求证:四边形
DEFG
为平行四边形;
(2)
求雕塑的高(即点
G
到
AB
的距离).
(参考数据:
sin72.90.96,cos72.90.29,tan72.93.25
)
21
.在
“
双减
”
政策实施两个月后,某市
“
双减办
”
面向本市城区学生,就
“‘
双减
’
前后参
加校外学科补习班的情况
”
进行了一次随机问卷调查(以下将
“
参加校外学科补习班
”
简
称
“
报班
”
),根据问卷提交时间的不同,把收集到的数据分两组进行整理,分别得到统
计表
1
和统计图
1
:
整理描述
表
1
:
“
双减
”
前后报班情况统计表(第一组)
试卷第6页,共8页
01234及以上合计
“双减”前1m
“双减”后2551524n0m
(1)
根据表
1
,
m
的值为
__________
,
n
m
的值为
__________
;
(2)
分析处理:请你汇总表
1
和图
1
中的数据,求出
“
双减
”
后报班数为
3
的学生人数所
占的百分比;
(3)“
双减办
”
汇总数据后,制作了
“
双减
”
前后报班情况的折线统计图(如图
2
).请依据
以上图表中的信息回答以下问题:
①
本次调查中,
“
双减
”
前学生报班个数的中位数为
__________
,
“
双减
”
后学生报班个数
的众数为
__________
;
①
请对该市城区学生
“
双减
”
前后报班个数变化情况作出对比分析(用一句话来概括).
22
.跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段,运动员起跳后飞行的路
线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示),落地点在着陆坡(如图中虚线部分所
示)上,着陆坡上的基准点
K
为飞行距离计分的参照点,落地点超过
K
点越远,飞行
距离分越高.
2022
年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度
OA
为
66m
,基准点
K
到起跳台的水平距离为
75m
,高度为
mh
(
h
为定值).设运动员从起跳点
A
起跳后
的高度
(m)y
与水平距离
(m)x
之间的函数关系为2(0)yaxbxca
.
试卷第7页,共8页
(1)c
的值为
__________
;
(2)①
若运动员落地点恰好到达
K
点,且此时
19
,
5010
ab
,求基准点
K
的高度
h
;
①
若
1
50
a
时,运动员落地点要超过
K
点,则
b
的取值范围为
__________
;
(3)
若运动员飞行的水平距离为
25m
时,恰好达到最大高度76m,试判断他的落地点能
否超过
K
点,并说明理由.
23
.问题提出:某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题:将足够大的
直角三角板
90,60PEFPF
的一个顶点放在正方形中心
O
处,并绕点
O
逆时
针旋转,探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况(已知正方形
边长为
2
).
(1)
操作发现:如图
1
,若将三角板的顶点
P
放在点
O
处,在旋转过程中,当OF与OB
重合时,重叠部分的面积为
__________
;当OF与
BC
垂直时,重叠部分的面积为
__________
;一般地,若正方形面积为
S
,在旋转过程中,重叠部分的面积
1
S
与
S
的
关系为
__________
;
(2)
类比探究:若将三角板的顶点
F
放在点
O
处,在旋转过程中,
,OEOP
分别与正方
形的边相交于点
M
,
N
.
①
如图
2
,当
BMCN
时,试判断重叠部分
OMN
的形状,并说明理由;
①
如图
3
,当CMCN时,求重叠部分四边形
OMCN
的面积(结果保留根号);
试卷第8页,共8页
(3)
拓展应用:若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心
O
处,该锐角记为
GOH
(设GOH),将
GOH
绕点
O
逆时针旋转,在旋转过程中,
GOH
的两边与正
方形ABCD的边所围成的图形的面积为
2
S,请直接写出
2
S的最小值与最大值(分别用
含
的式子表示),
(参考数据:
6262
sin15,cos15,tan1523
44
)
答案第1页,共22页
参考答案:
1
.
A
【解析】
【分析】
根据负数的定义即可得出答案.
【详解】
解:
-1
是负数,
2
,
2
是正数,
0
既不是正数也不是负数,
故选:
A
.
【点睛】
本题考查了实数,掌握在正数前面添加
“-”
得到负数是解题的关键.
2
.
C
【解析】
【分析】
根据数轴上点的特点,进行判断即可.
【详解】
ABC.
根据数轴上点
a
、
b
的位置可知,
0a<
,0b>,
①ab<
,故
AB
错误,
C
正确;
根据数轴上点
a
、
b
的位置可知,
ab<
,故
D
错误.
故选:
C
.
【点睛】
本题主要考查了数轴上点的特点,熟练掌握数轴上点表示的数,越向右越大,是解题的关
键.
3
.
B
【解析】
【分析】
利用同底数幂的乘法,去括号法则,单项式乘多项式,完全平方公式对各选项依次判断即
可.
【详解】
解:
A
、2356mmmm
,故此选项不符合题意;
B
、
()mnmn
,故此选项符合题意;
答案第2页,共22页
C
、22()mmnmmnmn
,故此选项不符合题意;
D
、22222()2mmnmnmnn
,故此选项不符合题意.
故选:
B
.
【点睛】
本题考查了整式的混合运算,涉及到同底数幂的乘法,去括号法则,单项式乘多项式的运
算法则,完全平方公式等知识.熟练掌握各运算法则和222()2abaabb
的应用是解题
的关键.
4
.
B
【解析】
【分析】
列举每个图形中
H
的个数,找到规律即可得出答案.
【详解】
解:第
1
个图中
H
的个数为
4
,
第
2
个图中
H
的个数为
4+2
,
第
3
个图中
H
的个数为
4+2×2
,
第
4
个图中
H
的个数为
4+2×3=10
,
故选:
B
.
【点睛】
本题考查了规律型:图形的变化类,通过列举每个图形中
H
的个数,找到规律:每个图形
比上一个图形多
2
个
H
是解题的关键.
5
.
A
【解析】
【分析】
从上面观察该几何体得到一个
“T”
字形的平面图形,横着两个正方形,中间有一个正方形,
且有两条垂直的虚线,下方有半个正方形.画出图形即可.
【详解】
俯视图如图所示.
答案第3页,共22页
故选:
A
.
【点睛】
本题主要考查了几何体的三视图,俯视图是从上面观察几何体得出的平面图形.
.
注意:能
看到的线用实线,看不到而存在的线用虚线.
6
.
D
【解析】
【分析】
利用函数图象的意义可得答案.
【详解】
解:由图象可知,
A
、
B
、
C
都正确,
当温度为
t
1时,甲、乙的溶解度都为
30g
,故
D
错误,
故选:
D
.
【点睛】
本题主要考查了函数的图象,熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键.
7
.(3)aa
【解析】
【分析】
直接提公因式
a
即可.
【详解】
解:原式
=
(3)aa
.
故答案为:
(3)aa
.
【点睛】
此题主要考查了提公因式法分解因式,关键是正确确定公因式.
8
.
360
【解析】
【详解】
答案第4页,共22页
试题分析:任何
n
边形的外角和都等于
360
度
.
考点:多边形的外角和
.
9
.
1
【解析】
【分析】
由一元二次方程根的判别式列方程可得答案.
【详解】
解:一元二次方程有两个相等的实数根,
可得判别式
0
,
①440k
,
解得:1k.
故答案为:
1.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式,掌握根的判别式的含义是解题的关键.
10
.
160140
10xx
【解析】
【分析】
先表示乙每小时采样(
x-10
)人,进而得出甲采样
160
人和乙采样
140
人所用的时间,再
根据时间相等列出方程即可.
【详解】
根据题意可知乙每小时采样(
x-10
)人,根据题意,得
160140
10xx
.
故答案为:
160140
10xx
.
【点睛】
本题主要考查了列分式方程,确定等量关系是列方程的关键.
11
.
5
【解析】
【分析】
答案第5页,共22页
根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为
2
,长方形的宽是正方形对角线的一半为
1
,
然后利用勾股定理即可解决问题.
【详解】
解:根据图形可知:长方形的长是正方形的对角线为
2
,长方形的宽是正方形对角线的一
半为
1
,
①
根据勾股定理可知,长方形的对角线长:22215
.
故答案为:
5
.
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质,七巧板,矩形的性质,勾股定理,解决本题的关键是所拼
成的正方形的特点确定长方形的长与宽.
12
.
5
或
25
或
10
【解析】
【分析】
因为等腰三角形的腰不确定,所以分三种情况分别计算即可.
【详解】
解:
①
当
AO=AB
时,
AB=5
;
①
当
AB=BO
时,
AB=5
;
①
当
OA=OB
时,则
OB=5
,
B
(
5
,
0
),
设
A
(
a
,
12
a
)(
a>0
),
①OA=5
,
①
2
2
12
5a
a
,
解得:
1
3a
,
2
4a
,
①A
(
3
,
4
)或(
4
,
3
),
①AB=2
235425
或
AB=2
245310
;
综上所述,
AB
的长为
5
或
25
或
10
.
故答案为:
5
或
25
或
10
.
答案第6页,共22页
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质,反比例函数图象上点的坐标特征,考查分类讨论的思想,
当时,求出点的坐标是解题的关键.
13
.(
1
)
3
;(
2
)
1
<
x
<
3
【解析】
【分析】
(
1
)根据绝对值的性质,算术平方根的意义,零指数幂的意义解答即可;
(
2
)分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小找不到确定不等式组的解集.
【详解】
(
1
)原式
=2+2-1
,
=3
.
(
2
)
26
325
x
xx
<①
>②
解不等式
①
得:
x
<
3
,
解不等式
①
得:
x
>
1
,
①
不等式组的解集为:
1
<
x
<
3
.
【点睛】
本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟
知
“
同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到
”
的原则是解答此题的关键.
14
.
(1)①
(2)
见解析
【解析】
【分析】
根据分式的运算法则:先乘方,再加减,最后乘除,有括号先算括号里面的计算即可.
(1)
第
①
步出现错误,原因是分子相减时未变号,
故答案为:
①
;
(2)
答案第7页,共22页
解:原式=
112
(2)(2)23
xx
xxx
122
(2)(2)(2)(2)3
xxx
xxxx
122
(2)(2)3
xxx
xx
32
(2)(2)3
x
xx
1
2x
【点睛】
本题主要考查了分式的混合运算,熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键.
15
.
(1)C
(2)
1
2
【解析】
【分析】
(
1
)根据随机事件的定义即可解决问题;
(
2
)从甲、乙、丙、丁名护士积极报名参加,设甲是共青团员用
T
表示,其余
3
人均是共
产党员用
G
表示,从这
4
名护士中随机抽取
2
人,所有可能出现的结果共有
12
种,然后
利用树状图即可解决问题.
(1)
解:
“
随机抽取
1
人,甲恰好被抽中
”
是随机事件;
故答案为:
C
;
(2)
从甲、乙、丙、丁
4
名护士积极报名参加,设甲是共青团员用
T
表示,其余
3
人均是共产
党员用
G
表示.从这
4
名护士中随机抽取
2
人,所有可能出现的结果共有
12
种,如图所
示:
它们出现的可能性相同,所有的结果中,被抽到的两名护士都是共产党员的(记为事件
A)
答案第8页,共22页
的结果有
6
种,则
61
122
PA
,
则被抽到的两名护士都是共产党员的概率为
1
2
.
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率,随机事件.解决本题的关键是掌握列表法或
画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知
识点为:概率所求情况数与总情况数之比.
16
.
(1)
作图见解析部分
(2)
作图见解析部分
【解析】
【分析】
(
1
)连接
AC
,HG,
AC
与HG交于点P,作射线
BP
即可;
(
2
)取格点D,过点
C
和点D作直线
l
即可.
(1)
解:如图
1
,连接
AC
、HG,
AC
与HG交于点P,设小正方形的边长为
1
个单位,
①
线段
AC
和HG是矩形的两条对角线且交于点P,
①
APCP
,
又
①22215AB
,22215BC,
①ABBC
,
①
BP
平分ABC,
①
射线
BP
即为所作;
(2)
答案第9页,共22页
如图
2
,连接
AD
、
AB
、
BC
、CD,直线
l
经过点C和点D,设小正方形的边长为
1
个单
位,
①22215AB
,22215AD
,
22215BC,22215CD
,
①
ABADCDBC
,
①
四边形ABCD是菱形,
又
①
1AEDF,2BEAF,90AEBDFA,
在
AEB△
和
DFA
中,
AEDF
AEBDFA
BEAF
①AEBDFASAS△≌△
,
①
ABEDAF
,
①90ABEBAE,
①90DAFBAE,
①90BAD
,
①
四边形ABCD是正方形,
①ADl
,
BCl
,且
ADBC
,
①
直线
l
即为所作.
【点睛】
本题考查作图一应用与设计作图,考查了等腰三角形三线合一的性质,矩形的性质,正方
答案第10页,共22页
形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形两锐角互余,勾股定理等知
识.解题的关键是理解题意,学会利用数形结合的思想解决问题.
17
.
(1)
见解析
(2)AE=9
【解析】
【分析】
(
1
)根据四边形
ABCD
是菱形,得出
CDAB∥
,
ABCB
,根据平行线的性质和等边对
等角,结合
ACDABE
,得出
ACDABECABACB
,即可证明结论;
(
2
)根据
ABCAEB∽
,得出
ABAC
AEAB
,代入数据进行计算,即可得出
AE
的值.
(1)
证明:
①
四边形
ABCD
为菱形,
①
CDAB∥
,
ABCB
,
ACDCAB,CABACB,
①
ACDABE
,
①
ACDABECABACB
,
①
ABCAEB∽
.
(2)
①
ABCAEB∽
,
①
ABAC
AEAB
,
即
64
6AE
,
解得:9AE.
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质,平行线的性质,等腰三角形的性质,三角形相似的判定和性
质,根据题意得出
ACDABECABACB
,是解题关键.
18
.
(1)
(
0
,
2
),(
1
,
0
),(
m
+
1
,
2
)
(2)1
;
y
=
-2x
+
6
【解析】
【分析】
(
1
)根据
OB
=
2
可得点
B
的坐标,根据
OD
=
1
可得点
D
的坐标为(
1
,
0
),由平移规律
答案第11页,共22页
可得点
C
的坐标;
(
2
)根据点
C
和
D
的坐标列方程可得
m
的值,从而得
k
的值,再利用待定系数法可得直
线
AC
的解析式.
(1)
①
点
B
在
y
轴上,
2OB
,
①B
(
0
,
2
),
①
点
D
落在
x
轴正半轴上,且
1OD
①D
(
1
,
0
),
①
线段
AB
向下平移
2
个单位,再向右平移
1
个单位,得到线段
CD
,
①
点
A
(
m
,
4
),
①C
(
m
+
1
,
2
),
故答案为:(
0
,
2
),(
1
,
0
),(
m
+
1
,
2
);
(2)
①
点
A
和点
C
在反比例函数(0)
k
yx
x
的图象上,
①k
=
4m
=
2
(
m
+
1
),
①m
=
1
,
①A
(
1
,
4
),
C
(
2
,
2
),
①k
=
1×4
=
4
,
设直线
AC
的表达式为:
ysxt
,
①
4
22
st
st
解得
2
6
s
t
,
①
直线
AC
的表达式为:
y
=
-2x
+
6
.
【点睛】
此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质,根据
OB
和
OD
的长
得出平移的规律是解题关键.
19
.(
1
)见解析;(
2
)
23
【解析】
【分析】
(
1
)
①
如图
2
,当点
O
在
①ACB
的内部,作直径,根据三角形外角的性质和等腰三角形的
答案第12页,共22页
性质可得结论;
①
如图
3
,当
O
在
①ACB
的外部时,作直径
CD
,同理可理结论;
(
2
)如图
4
,先根据(
1
)中的结论可得
①AOB=120°
,由切线的性质可得
①OAP=①OBP=90°
,可得
①OPA=30°
,从而得
PA
的长.
【详解】
解:(
1
)
①
如图
2
,连接
CO
,并延长
CO
交
①O
于点
D
,
①OA=OC=OB
,
①①A=①ACO
,
①B=①BCO
,
①①AOD=①A+①ACO=2①ACO
,
①BOD=①B+①BCO=2①BCO
,
①①AOB=①AOD+①BOD=2①ACO+2①BCO=2①ACB
,
①①ACB=
1
2
①AOB
;
如图
3
,连接
CO
,并延长
CO
交
①O
于点
D
,
①OA=OC=OB
,
①①A=①ACO
,
①B=①BCO
,
①①AOD=①A+①ACO=2①ACO
,
①BOD=①B+①BCO=2①BCO
,
①①AOB=①AOD-①BOD=2①ACO-2①BCO=2①ACB
,
①①ACB=
1
2
①AOB
;
(
2
)如图
4
,连接
OA
,
OB
,
OP
,
答案第13页,共22页
①①C=60°
,
①①AOB=2①C=120°
,
①PA
,
PB
分别与
①O
相切于点
A
,
B
,
①①OAP=①OBP=90°
,
①APO=①BPO=
1
2
①APB=
1
2
(
180°-120°
)
=30°
,
①OA=2
,
①OP=2OA=4
,
①PA=224223
【点睛】
本题考查了切线长定理,圆周角定理等知识,掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关
键.
20
.
(1)
见解析
(2)
雕塑的高为
7.5m
,详见解析
【解析】
【分析】
(
1
)根据平行四边形的定义可得结论;
(
2
)过点
G
作
GP
⊥
AB
于
P
,计算
AG
的长,利用∠
A
的正弦可得结论.
(1)
证明:∵
ABCDFG∥∥
,
∴∠
CDG
=∠
A
,
∵∠
FEC
=∠
A
,
答案第14页,共22页
∴∠
FEC
=∠
CDG
,
∴
EF∥DG
,
∵
FG∥CD
,
∴四边形
DEFG
为平行四边形;
(2)
如图,过点
G
作
GP
⊥
AB
于
P
,
∵四边形
DEFG
为平行四边形,
∴
DG
=
EF
=
6.2
,
∵
AD
=
1.6
,
∴
AG
=
DG+AD
=
6.2+1.6
=
7.8
,
在
Rt①APG
中,
sinA=
PG
AG
,
∴
7.8
PG
=0.96
,
∴
PG=7.8×0.96
=
7.488≈7.5
.
答:雕塑的高为
7.5m.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是理解题意,正确作辅助线构建直角三角形解
决问题.
21
.
(1)300
;
1
50
(2)
见解析;
2.4%
(3)①1
;
0
;
①
见解析
【解析】
【分析】
(
1
)将表
1
中
“
双减前
”
各个数据求和确定
m
的值,然后再计算求得
n
值,从而求解;
答案第15页,共22页
(
2
)通过汇总表
1
和图
1
求得
“
双减后
”
报班数为
3
的学生人数,从而求解百分比;
(
3
)
①
根据中位数和众数的概念分析求解;
①
根据
“
双减
”
政策对学生报班个数的影响结果
角度进行分析说明.
(1)
解:由题意得,
1
25515240
m
nm
,解得
300
6
m
n
,
①
61
30050
n
m
,
故答案为:
300
;
1
50
(2)
汇总表
1
和图
1
可得:
01234及以上总数
“双减”前6500
“双减”后4232440121500
①“
双减
”
后报班数为
3
的学生人数所占的百分比为
12
100%2.4%
500
;
(3)
“
双减
”
前共调查
500
个数据,从小到大排列后,第
250
个和第
251
个数据均为
1
,
①“
双减
”
前学生报班个数的中位数为
1
,
“
双减
”
后学生报班个数出现次数最多的是
0
,
①“
双减
”
后学生报班个数的众数为
0
,
故答案为:
1
;
0
;
①
从
“
双减
”
前后学生报班个数的变化情况说明:
“
双减
”
政策宣传落实到位,参加校外培训机
构的学生大幅度减少,
“
双减
”
取得了显著效果.
【点睛】
本题考查统计的应用,理解题意,对数据进行采集和整理,掌握中位数和众数的概念是解
题关键.
22
.
(1)66
答案第16页,共22页
(2)①
基准点
K
的高度
h
为
21m
;
①b
>
9
10
;
(3)
他的落地点能超过
K
点,理由见解析.
【解析】
【分析】
(
1
)根据起跳台的高度
OA
为
66m
,即可得
c
=
66
;
(
2
)
①
由
a
=﹣
1
50
,
b
=
9
10
,知
y
=﹣
1
50
x2+
9
10
x+66
,根据基准点
K
到起跳台的水平距
离为
75m
,即得基准点
K
的高度
h
为
21m
;
①
运动员落地点要超过
K
点,即是
x
=
75
时,
y
>
21
,故﹣
1
50
×752+75b+66
>
21
,即可解得
答案;
(
3
)运动员飞行的水平距离为
25m
时,恰好达到最大高度
76m
,即是抛物线的顶点为
(
25
,
76
),设抛物线解析式为
y
=
a
(
x
﹣
25
)2+76
,可得抛物线解析式为
y
=﹣
2
125
(
x
﹣
25
)2+76
,当
x
=
75
时,
y
=
36
,从而可知他的落地点能超过
K
点.
(1)
解:
①
起跳台的高度
OA
为
66m
,
①A
(
0
,
66
),
把
A
(
0
,
66
)代入
y
=
ax2+bx+c
得:
c
=
66
,
故答案为:
66
;
(2)
解:
①①a
=﹣
1
50
,
b
=
9
10
,
①y
=﹣
1
50
x2+
9
10
x+66
,
①
基准点
K
到起跳台的水平距离为
75m
,
①y
=﹣
1
50
×752+
9
10
×75+66
=
21
,
①
基准点
K
的高度
h
为
21m
;
①①a
=﹣
1
50
,
①y
=﹣
1
50
x2+bx+66
,
①
运动员落地点要超过
K
点,
答案第17页,共22页
①
当
x
=
75
时,
y
>
21
,
即﹣
1
50
×752+75b+66
>
21
,
解得
b
>
9
10
,
故答案为:
b
>
9
10
;
(3)
解:他的落地点能超过
K
点,理由如下:
①
运动员飞行的水平距离为
25m
时,恰好达到最大高度
76m
,
①
抛物线的顶点为(
25
,
76
),
设抛物线解析式为
y
=
a
(
x
﹣
25
)2+76
,
把(
0
,
66
)代入得:
66
=
a
(
0
﹣
25
)2+76
,
解得
a
=﹣
2
125
,
①
抛物线解析式为
y
=﹣
2
125
(
x
﹣
25
)2+76
,
当
x
=
75
时,
y
=﹣
2
125
×
(
75
﹣
25
)2+76
=
36
,
①36
>
21
,
①
他的落地点能超过
K
点.
【点睛】
本题考查二次函数的应用,解题的关键是读懂题意,能根据题意把实际问题转化为数学问
题.
23
.
(1)1,1
,
1
1
4
SS
(2)①OMN
是等边三角形,理由见解析;
①
31
(3)
tan,1tan45
22
【解析】
【分析】
(
1
)如图
1
,若将三角板的顶点
P
放在点
O
处,在旋转过程中,当
OF
与
OB
重合时,
OE
与
OC
重合,此时重叠部分的面积
=①OBC
的面积
=
1
4
正方形
ABCD
的面积
=1
;当
OF
与
BC
答案第18页,共22页
垂直时,
OE①BC
,重叠部分的面积
=
1
4
正方形
ABCD
的面积
=1
;一般地,若正方形面积为
S
,在旋转过程中,重叠部分的面积
S
1与
S
的关系为
S
1
=
1
4
S
.利用全等三角形的性质证明
即可;
(
2
)
①
结论:
①OMN
是等边三角形.证明
OM=ON
,可得结论;
①
如图
3
中,连接
OC
,过点
O
作
OJ①BC
于点
J
.证明
①OCM①①OCN
(
SAS
),推出
①COM=①CON=30°
,解直角三角形求出
OJ
,即可解决问题;
(
3
)如图
4-1
中,过点
O
作
OQ①BC
于点
Q
,当
BM=CN
时,
①OMN
的面积最小,即
S
2
最小.如图
4-2
中,当
CM=CN
时,
S
2最大.分别求解即可.
(1)
如图
1
,若将三角板的顶点
P
放在点
O
处,在旋转过程中,当
OF
与
OB
重合时,
OE
与
OC
重合,此时重叠部分的面积
=①OBC
的面积
=
1
4
正方形
ABCD
的面积
=1
;
当
OF
与
BC
垂直时,
OE①BC
,重叠部分的面积
=
1
4
正方形
ABCD
的面积
=1
;
一般地,若正方形面积为
S
,在旋转过程中,重叠部分的面积
S
1与
S
的关系为
S
1
=
1
4
S
.
理由:如图
1
中,设
OF
交
AB
于点
J
,
OE
交
BC
于点
K
,过点
O
作
OM①AB
于点
M
,
ON①BC
于点
N
.
①O
是正方形
ABCD
的中心,
①OM=ON
,
①①OMB=①ONB=①B=90°
,
①
四边形
OMBN
是矩形,
①OM=ON
,
①
四边形
OMBN
是正方形,
答案第19页,共22页
①①MON=①EOF=90°
,
①①MOJ=①NOK
,
①①OMJ=①ONK=90°
,
①①OMJ①①ONK
(
AAS
),
①S
△
PMJ=S
△
ONK
,
①S
四边形
OKBJ=S
正方形
OMBN=
1
4
S
正方形
ABCD
,
①S
1
=
1
4
S
.
故答案为:
1
,
1
,
S
1
=
1
4
S
.
(2)
①
如图
2
中,结论:
①OMN
是等边三角形.
理由:过点
O
作
OT①BC
,
①O
是正方形
ABCD
的中心,
①BT=CT
,
①BM=CN
,
①MT=TN
,
①OT①MN
,
①OM=ON
,
①①MON=60°
,
①①MON
是等边三角形;
①
如图
3
中,连接
OC
,过点
O
作
OJ①BC
于点
J
.
答案第20页,共22页
①CM=CN
,
①OCM=①OCN
,
OC=OC
,
①①OCM①①OCN
(
SAS
),
①①COM=①CON=30°
,
①①OMJ=①COM+①OCM=75°
,
①OJ①CB
,
①①JOM=90°-75°=15°
,
①BJ=JC=OJ=1
,
①JM=OJ•tan15°=2-
3
,
①CM=CJ-MJ=1-
(
2-
3
)
=
3
-1
,
①S
四边形
OMCN=2×
1
2
×CM×OJ=
3
-1
.
(3)
如图,将
HOG
沿OH翻折得到
HOG
,则
MONMON
≌
,此时则当
,MN
在
BC
上
时,
2
S比四边形
NOMC
的面积小,
答案第21页,共22页
设
,=MCaCNb
,则当
MNM
S
最大时,
2
S最小,
MNM
S
211
222
ab
ab
,即
MCNC
时,
MNM
S
最大,
此时
OC
垂直平分
MN
,即
ONOM
,则
OMON
如图
4-1
中,过点
O
作
OQ①BC
于点
Q
,
OMON
,
OQMN
BM=CN
当
BM=CN
时,
①OMN
的面积最小,即
S
2最小.
在
Rt①MOQ
中,
MQ=OQ•tan
2
=tan
2
,
①MN=2MQ=2tan
2
,
答案第22页,共22页
①S
2
=S
△
OMN=
1
2
×MN×OQ=tan
2
.
如图
4-2
中,同理可得,当
CM=CN
时,
S
2最大.
,,OCOCOCNOCMCNCM
则
①COM①①CON
,
①①COM=
2
,
①①COQ=45°
,
①①MOQ=45°-
2
,
QM=OQ•tan
(
45°-
2
)
=tan
(
45°-
2
),
①MC=CQ-MQ=1-tan
(
45°-
2
),
①S
2
=2S
△
CMO=2×
1
2
×CM×OQ=1-tan
(
45°-
2
).
【点睛】
本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质,旋转变换,全等三角形的判定和性质,四
边形的面积等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于
中考压轴题.
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