2015高考

2015年江苏高考数学试题

一、填空题

1.已知集合123A，，，245B，，，则集合AB中元素的个数为_______.

2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.

3.设复数z满足234zi（i是虚数单位），则z的模为_______.

4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________.

5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机

摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.

6.已知向量21a，，

），（2-1b



若98manbmnR，，则m-n的值为______.

7.不等式224xx的解集为________.

8.已知

tan2

，

1

tan

7

，则tan的值为_______.

9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则

新的底面半径为。

10.在平面直角坐标系xOy中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012Rmmymx相切

的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。

11.数列}{

n

a满足1

1

a，且1

1





naa

nn

（*Nn），则数列}

1

{

n

a

的前10项和

为。

12.在平面直角坐标系xOy中，

P

为双曲线122yx右支上的一个动点。若点

P

到直线

01yx的距离对c恒成立，则是实数c的最大值为。

13.已知函数|ln|)(xxf，













1,2|4|

10,0

)(

2xx

x

xg，则方程1|)()(|xgxf实根的个

数为。

14.设向量)12,,2,1,0)(

6

cos

6

sin,

6

(cosk

kkk

a

k



，则







12

0

1

)(

k

kk

aa的值

为。

15.在

ABCV

中，已知2,3,o

(1)求BC的长；

（2）求

sin2C

的值。

16.如图，在直三棱柱

111

ABCABC中，已知

1

,ACBCBCCC.设

1

AB的中点为D，

11

.BCBCE

求证：（1）

11

//DEAACC平面

(2)

11

BCAB

17.（本小题满分14分）

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连

接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为

12

ll，，山区边界曲线为C，

计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到

12

ll，的距离分别为

5千米和40千米，点N到

12

ll，的距离分别为20千米和2.5千米，以

12

ll，所在的直线分别

为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数

2

a

y

xb





（其中a，b为常数）

模型.

（I）求a，b的值；

（II）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式ft，并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

18.（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22

22

10

xy

ab

ab

的离心率为

2

2

，且右

焦点F到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，

C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

19.

已知函数),()(23Rbabaxxxf。

（1）试讨论)(xf的单调性；

（2）若

acb

（实数c是a与无关的常数），当函数)(xf有三个不同的零点时，a的取

值范围恰好是),

2

3

()

2

3

,1()3,(，求c的值。

20.设

1234

,,,aaaa是各项为正数且公差为d(0)d的等差数列

（1）证明：3

1242,2,2,2a

aaa依次成等比数列

（2）是否存在

1

,ad，使得234

1234

,,,aaaa依次成等比数列，并说明理由

（3）是否存在

1

,ad及正整数,nk，使得35

1234

,,,nnknknkaaaa依次成等比数列，并说明理

由

附加题

21、（选择题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作

答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A、选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，在

ABC

中，

ACAB

，

ABC

的外接圆



O的弦

AE

交

BC

于点D

求证：

ABDAEB

B、选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）

已知Ryx,，向量















1

1

是矩阵













0

1

y

x

A的属性特征值

2

的一个特征向量，矩阵

A

以及它的另一个特征值。

C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

已知圆C的极坐标方程为222sin()40

4



，求圆C的半径.

D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

解不等式

|23|2xx

22.如图，在四棱锥

PABCD

中，已知

PA

平面

ABCD

，且四边形

ABCD

为直角梯形，

2

ABCBAD



,2,1PAADABBC

(1)求平面

PAB

与平面

PCD

所成二面角的余弦值；

（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长

23.已知集合*{1,2,3},{1,2,3,,}()

n

XYnnN

，设

{(,)|,,}

nn

SabaaaXbY整除b或除，令()fn表示集合

n

S所含元素个数.

（1）写出(6)f的值；

（2）当

6n

时，写出()fn的表达式，并用数学归纳法证明。