三角形全等的判定

.

.

A

B

D

C

全等三角形（一）SSS

【知识要点】

1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形．

2．全等图形的性质：

（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等

（2）全等图形的面积相等

3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形

（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于”如

DEFABC与全等，记作ABC≌DEF

（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是

形状相同，大小也相等，这就是全等．

（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合

的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．

（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．

4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边

边”或“SSS”．

【典型例题】

例1．如图，ABC≌ADC，点B与点D是对应点，26BAC，

且20B，1

ABC

S，求ACDDCAD,,的度数及

ACD的面积．

例2．如图，ABC≌DEF，cmCEcmBCA5,9,50，求EDF

的度数及CF的长．

例3．如图，已知：AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：CADBAE

例4．如图AB=DE，BC=EF，AD=CF，求证：

（1）ABC≌DEF

（2）AB//DE，BC//EF

AD

A

B

E

C

D

A

B

C

D

F

E

.

.

例5．如图，在,90CABC中D、E分别为AC、AB上的点，且BE=BC，

DE=DC，求证：（1）ABDE；

（2）BD平分ABC

【巩固练习】

1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②

若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，

则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，

其中正确的是（）

A、①④B、①②C、②③D、③④

2．如图，ABD≌CDB，且AB和CD是对应边，下面四个结论中

不正确的是（）

A、CDBABD和的面积相等

B、CDBABD和的周长相等

C、CBDCABDA

D、AD//BC且AD=BC

3．如图，ABC≌BAD，A和B以及C和D分别是对应点，如果

35,60ABDC，则BAD的度数为（）

A、85B、35

C、60D、80

4．如图，ABC≌DEF，AD=8，BE=2，则AE等于（）

A、6B、5C、4D、3

5．如图，要使ACD≌BCE，则下列条件能满足的是（）

A、AC=BC，AD=CE，BD=BEB、AD=BD，AC=CE，BE=BD

C、DC=EC，AC=BC，BE=ADD、AD=BE，AC=DC，BC=EC

6．如图，ABE≌DCF，点A和点D、点E和点F分别是对应点，则

AB=，A，AE=，CE=，

AB//，若BCAE，则DF与BC的关系是．

7．如图，ABC≌AED，若

BACCEABB则,45,30,40，D，

DAC．

8．如图，若AB=AC，BE=CD，AE=AD，则ABEACD，所以

AEB，BAE，BAD．

A

E

B

C

D

A

B

D

C

A

B

C

D

第3题图

B

A

C

E

F

D

第4题图

第5题图

A

B

C

D

E

A

C

E

B

F

D

第6题图

B

A

C

D

E

第7题图

第8题图

A

B

D

E

C

E

F

D

B

C

A

第9题题图

.

.

9．如图，ABC≌DEF，90C，则下列说法错误的是（）

A、互余与FCB、互补与FCC、互余与EAD互余与DB

10．如图，ACF≌DBE，cmCDcmADACFE5.2,9,110,30，

求D的度数及BC的长．

11．如图，在ABDABC与中，AC=BD，AD=BC，求证：ABC≌ABD

全等三角形（一）作业

1．如图，ABC≌CDA，AC=7cm，AB=5cm.，则AD的长是（）

A、7cmB、5cmC、8cmD、无法确定

2．如图，ABC≌DCE，62,48EA，点B、C、E在同一直线

上，则ACD的度数为（）

A、48B、38C、110D、62

3．如图，ABC≌DEF，AF=2cm,CF=5cm，则AD=．

4．如图，ABE≌ACD，25,100BA，求BDC的度数．

5．如图，已知，AB=DE，BC=EF，AF=CD，求证：AB//CD

6．如图，已知AB=EF，BC=DE，AD=CF，

求证：①ABC≌FED

②AB//EF

A

BC

D

F

E

A

D

C

B

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

F

B

A

C

E

F

D

.

.

7．如图，已知AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：CAEBAD

A

B

E

C

D

.

.

全等三角形（二）

【知识要点】

定义：SAS

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”，几

何表示

如图，在ABC和DEF中，

ABC

EFBC

EB

DEAB



















≌)(SASDEF

【典型例题】

【例1】已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD.

【例2】如图，已知：点D、E在BC上，且BD=CE，

AD=AE，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证

明.

【例3】如图已知：AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE的度数.

【例4】如图，B，C，D在同一条直线上，△ABC，△ADE是等边三角形，

求证：①CE=AC+DC；②∠ECD=60°.

【例5】如图，已知△ABC、△BDE均为等边三角形。求证：BD＋CD=AD。

A

B

C

E

D

F

A

D

B

E

C

A

B

DE

C

12

B

E

A

F

C

O

E

A

B

C

D

D

A

B

C

E

.

.

【巩固练习】

1．在△ABC和△CBA



中，若AB=BA

，AC=CA



，还要加一个角的条件，

使△ABC≌△CBA



，那么你加的条件是（）

A．∠A=∠A

B.∠B=∠B

C.∠C=∠C



D.∠A=∠B



2．下列各组条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（）

A．AB=DE，BC=EF；CA==CD；∠C=∠F；AC=EF

C．CA=CD；∠B=∠=DE；BC=EF，两个三角形周长相等

3．阅读理解题：

如图：已知AC，BD相交于O，OA=OB，OC=OD.

那么△AOD与△BOC全等吗？请说明理由.△ABC与△BAD全等吗？请说明

理由.

小明的解答：

21△AOD≌△BOC

而△BAD=△AOD+△ADB△ABC=△BOC+△AOB

所以△ABC≌△BAD

（1）你认为小明的解答有无错误；

（2）如有错误给出正确解答；

4．如图，点C是AB中点，CD∥BE，且CD=BE，试探究AD与CE的关系。

5．如图，AE是，BAC的平分线AB=AC

（1）若D是AE上任意一点，则△ABD≌△ACD，说明理由.

（2）若D是AE反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由.

6．如图，已知AB=AC，EB=EC，请说明BD=CD的理由

D

C

1

2

O

A

B

A

C

B

E

D

B

C

D

E

A

1

2

A

B

E

D

C

SAS

OA=OB

OD=OC

.

.

全等三角形（二）作业

1．如图，已知AB=AC，AD=AE，BF=CF，求证：BDF≌CEF。

2．如图，△ABC，△BDF为等腰直角三角形。求证：（1）CF=AD；（2）CE⊥AD。

3．如图，AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于点O，AO的延长线交BC于点F。

求证：BF=FC。

4．已知：如图1，AD∥BC，AE=CF，AD=BC，E、F在直线AC上，求证：DE∥BF。

5.如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，

求证：（1）BE=DC，（2）BE⊥DC.

6、已知，如图A、F、C、D四点在一直线上，AF=CD，AB//DE，且AB=DE，求证：

（1）△ABC≌△DEF（2）∠CBF=∠FEC

A

B

C

E

D

F

A

C

BD

E

F

A

D

E

CBF

O

1

2

D

C

AB

E

F

D

A

B

Q

C

P

E

.

.

7、已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE

8、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，

（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过

程，若不存在，说明理由。

9、已知:如图,AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．

10、已知C为AB上一点,△ACN和△BCM是正三角形.求证：（1）AM=BN

（2）求∠AFN大小。

11、已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在

AB的延长线上，FB＝EB，AF交CE于G，求∠AGC的

度数.

12、如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连

接AF、BD.

(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；

(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC

的部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论

是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.

C

N

M

BA

E

D

F

F

D

A

C

E

B

F

D

A

C

G

EB

.

.

全等三角形（三）ASA

【知识要点】

ASA公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

如图，在ABC与DEF中

EB

DEAB

DA







)(ASADEFABC

ASA公理推论（AAS公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全

等．

【典型例题】

【例1】下列条件不可推得ABC和'''CBA全等的条件是（）

A、AB=A'B'，'AA，'CC

B、AB=A'B'，AC=A'C'，BC='BC'

C、AB=A'B'，AC=A'C'，'BB

D、AB=A'B'，'AA，'BB

【例2】已知如图，

DEABDEABDA//,,，求证：BC=EF

【例3】如图，AB=AC，CB，求证：AD=AE

【例4】已知如图，43,21，点P在AB上，可以得出PC=PD吗？

试证明之．

【例5】如图，321，AC=AE，求证：DE=BC

A

B

C

D

E

F

A

D

B

E

CF

A

B

D

E

C

A

B

C

D

P

1

2

34

1

2

A

4

3

B

CD

E

O

.

.

【例6】如图，21,DA，AC，BD相交于O，

求证：①AB=CD②OA=OD

【巩固练习】

1．如图，AB//CD，AF//DE，BE=CF，求证：AB=CD

2．如图，AD//BC，O为AC中点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，

求证：AM=CN

3．求证：两个全等三角形ABC与A'B'C'的角平分线AD、A'D'相等

4．如图，AB，CD相交于O，E，F分别在AD，BC上，若FOBEOD，求

证：

COFAOE

5．如图，AB//CD，AD//BC，求证：AB=CD

6．已知，如图AB=DB，21,EC，求证：AC=DE

A

B

C

D

O

1

2

A

B

C

N

M

D

O

A

B

C

D

A'

B'

D'

C'

A

E

D

O

C

F

B

C

A

D

E

B

1

2

A

B

D

C

F

E

A

B

D

C

1

3

2

4

.

.

全等三角形（三）作业

1．已知，如图，CDAFDA,21,，求证：AB=DE

2．如图，已知CADBAEADEAED,，求证：BE=CD

3．已知如图，AB=AD，CAEBADDB,，求证：AC=AE

4．已知如图，在ABC中，AD平分BCADBAC,，求证：ABDACD

5．已知如图，cmACABDDCADBCACB10,,，求BD的长（要

求写出完整的过程）

6、如图

ABC△

中，∠B＝∠C，D，E，F分别在AB,BC,AC上，且BD=CE,∠DEF=

∠B

求证：ED=EF

A

E

F

D

C

B

1

2

A

B

E

D

C

A

B

D

C

E

A

B

D

C

A

C

B

D

A

D

E

C

B

F

.

.

7、(1)如图１，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，

连结，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．

(2)园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角

形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，圈的所有三角形的

面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？

8、已知：如图,AD为CE的垂直平分线,EF∥BC.求证：△EDN≌△CDN≌△EMN．

9、已知：如图,AB=AC,AD=AE,求证：△OBD≌△OCE

10、已知：如图,AB=CD,AD=BC,O为BD中点,过O作直线分别与DA、BC

的延长线交于E、F．求证：OE=OF

11、如图在△ABC和△DBC中,∠1=∠2,∠3=∠4,P是BC上任意一点．求证：

PA=PD.

12、已知：如图,四边形ABCD中,AD∥BC,F是AB的中点,DF交CB延长

线于E,CE=CD．

求证：∠ADE=∠EDC．

13、已知：如图,OA=OE,OB=OF,直线FA与BE

交于C,AB和EF交于O,求证：∠1=∠2．

A

G

F

C

B

D

E

（图１）

.

.

全等三角形（四）

强化训练

1、如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上

的点，

（1）若ADBECF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；

（2）若△DEF是等边三角形，问ADBECF成立吗？试证明你的结论．

2、如图所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，求证：2∠M=（∠

ACB-∠B）

3、△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在AC、AB上，且DE

⊥DF，试判断DE、DF的数量关系，并说明理由．

4、已知：如图，ABC△中，45ABC°，CDAB于D，BE平分ABC，

且BEAC于E，与CD相交于点FH，是BC边的中点，连结DH与BE相交

于点G．

（1）求证：BFAC；（2）求证：

1

2

CEBF；

5、如图，点O是等边ABC△一点，110AOBBOCo，．将BOC△绕

点C按顺时针方向旋转60o得ADC△，连接OD．

（1）求证：COD△是等边三角形；

（2）当150o时，试判断AOD△的形状，并说明理

由；

（3）探究：当为多少度时，AOD△是等腰三角形？

A

F

D

B

E

C

2

1

P

F

M

D

B

A

C

E

F

D

C

A

B

E

D

A

E

F

C

H

G

B

A

B

C

D

O

110o



.

.

7、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC，在AM上取点D，使

BD=BC，且DB与AC所在直线交于E，求

证：CD=CE。

过A作AF⊥BC于F，过D作DG⊥BC

于G，则DG=AF=1/2BC=1/2BD，

在Rt△BDG中，DG=1/2BD=>

∠DBC=30°=>∠BDC=∠BCD=1/2(180°-30°)=75°，即∠EDC=75°

∠DEC=∠DBC+∠BCA=30°+45°=75°∴∠EDC=∠DEC=>CD=CE

8、Rt△ABC，AB=AC,BM是中线，AD⊥BM交BC于D，求证：∠AMB=∠CMD。

9、如图，已知△ABC是等边三角形，∠BDC＝120º，说明AD=BD+CD的理由。

10、已知：如图，点D在△ABC的边CA的延长线上，点E在BA的延长线上，CF、

EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，且∠B=30°，∠D=40°，求∠F的度数。

11、等边三角形ABC和等边三角形DEC，D在AC边上。延长BD交CE延长线于

N，延长AE交BC延长线于M。求证：CM=CN

易证△BCD≌△ACE所以∠DBC=∠EAC

再证△BCN≌△ACM(ASA)

∴CM=CN

E

C

A

B

M

D

C

A

B

M

D

A

B

C

E

M

N

D

.

.

12、操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，

以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．

探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

13、如图等边△ABC和等边△CDE，点P为射线BC一动点，角APK=60°，PK交直

线CD于K。

（1）试探索AP、PK之间的数量关系；

K

EC

A

B

D

P

（2）当点P运动到BC延长线上时，上题结论是否依然成立？为什么。

14、（涉及相似三角形）若P为ABC△所在平面上一点，且

120APBBPCCPA°，则点P叫做ABC△的费马点.如图，在锐角

ABC△外侧作等边ACB△′连结BB′。

求证：BB′过ABC△的费马点P，且BB′=PAPBPC.

15、如图,ABC是等腰直角三角形,∠C＝900,点M,N分别是边AC和BC的中点,点

D在射线BM上,且BD＝2BM,点E在射线NA上,且NE＝2NA.求证:BD⊥DE.

A

C

B

B



K

EC

A

B

D

P

M

N

E

D

C

B

A

.

.

第五章全等三角形拓展延伸

分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）

放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形

全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初

中里面一个非常常见而又重要的方法。

例1：已知AE既是∠BAC的平分线，

也是∠BDC的平分线，试说明AB=AC

思路：AB在△ABD中，AC在△ACD中，

要说明AB=AC，尝试说明△ABD与△ACD

全等。

1．观察图形发现两个三角形存在公共边AD

2．题目所给条件可以得到两组角相等，

3．再根据三个条件的位置，利用ASA，可得三角形全等

4．再利用全等三角形的对应边相等，得到AB=AC

例2：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直

线，BD⊥AE，CE⊥AE，如果CE=5，BD=11，请你求出DE的长

度。

思路：抓住题目中所给的一组相等线段AB=AC进行分析，对

它们的位置进行分析，发现AB、AC分别位于一个Rt△中，所以

尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt△全等。

那么：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角.可以

求证△ABD≌△ACE。

D

C

E

A

B

E

D

A

C

B

.

.

练习1.小明说：“三角形一边的两个端点到这边上的中线所在

直线的距离相等。”你认为小明的话有道理吗？为什么？

分析：如图，题目的意思是要你说明哪两条线段相等呢?

_______＝_______

∴我们只需要说明________≌________

解：

练习2．在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直线MN经过

点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，△ADC≌△CEB，

且DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，DE=AD-BE。

F

E

D

B

C

A

.

.

说说你的理由。

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，

BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。

E

D

C

B

A

N

M

图1图2

E

D

C

B

A

N

M

图3

E

D

C

B

A

N

M