高三数学试卷

Q

O

F

2

F

1

P

y

x

高三数学质量检测试卷

一、填空题（本大题共14小题；每小题5分；共70分）

、１.已知集合},12,3,1{,,32mBmA若BA；则实数m的值为.

、２.若复数iiaiz(),)(2(为虚数单位）为纯虚数；则实数a的值为.

３.长方形ABCD中；；AB＝2；BC＝1；O为AB的中点；在长方形ABCD内随机取一点；取到

的点到O的距离大于1的概率为___________.

４．执行右边的程序框图；若15p；则输出的

n

.

５．设,ab为不重合的两条直线；,为不重合的两个平面；给出下列命题：

（1）若

a

∥



且b∥



；则

a

∥b；（2）若a且b；则

a

∥b；

（3）若

a

∥



且

a

∥；则



∥；（4）若a且

a

；则



∥．

上面命题中；所有真命题

．．．

的序号是．

６．如图是某学校学生体重的频率分布直方图；已知图中

从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3；第2小组

的频数为10；则抽取的学生人数是.

７．若函数y=cos



x(



>0)在(0；

2



)上是单调函数；则实数

的

取值范围是____________.

８．已知扇形的圆心角为2（定值）；半径为R（定值）；分别按图一、二作扇形的内接矩

形；若按图一作出的矩形面积的最大值为2

1

tan

2

R；则按图二作出的矩形面积的最大

值为.

９．已知点P在直线x+2y-1=0上；点Q在直线x+2y+3=0上；PQ的中点为M（x0；y0）；且

y0>x0+2；则0

0

y

x

的取值范围为。

10．如图；已知

12

,FF是椭圆

22

22

:1

xy

C

ab



(0)ab的

左、右焦点；点P在椭圆C上；线段

2

PF与圆222xyb

相切于点Q；且点Q为线段

2

PF的中点；则椭圆C的离心率为.

11．等腰三角形ABC的腰AC上的中线BD的长为3；则△ABC的面积的最大值为.

22

图一

第8题图

图二

12．给定正整数)2(nn按右图方式构成三角形数表：第一行

依次写上数1；2；3；……n；在下面一行的每相邻两个数

的正中间上方写上这两个数之和；得到上面一行的数（比

下一行少一个数）；依次类推；最后一行（第n行）只有一

一个数.例如n=6时数表如图所示；则当n=2010时最后一

行的数是.

13．已知函数是定义在(0,)上的单调增函数；当

nN

时；()fnN；若[()]3ffnn；

则f(5)的值等于．

14．已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)；g(x)=f[f(x)]

①若f(x)无零点；则g(x)>0对x∈R成立；

②若f(x)有且只有一个零点；则g(x)必有两个零点；

③若方程f(x)=0有两个不等实根；则方程g(x)=0不可能无解。

其中真命题的个数是_________个。

二、解答题

15.（本题14分）已知O为坐标原点；2(2sin,1),(1,23sincos1)OAxOBxx

；

()fxOAOBm

.

（Ⅰ）求)(xfy的单调递增区间；

（Ⅱ）若)(xf的定义域为[,]

2



；值域为[2,5]；求

m

的值.

16．(14分)在四棱锥P－ABCD中；∠ABC＝∠ACD＝90°；∠BAC＝∠CAD＝60°；PA⊥平

面ABCD；E为PD的中点；PA＝2AB＝2．

（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；

（Ⅱ）若F为PC的中点；求证PC⊥平面AEF；

（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．

17.如图；灌溉渠的横截面是等腰梯形；底宽2米；边坡的长为x米、倾角为锐角



.

P

A

B

C

D

E

F

(1)当

3



且灌溉渠的横截面面积大于8平方米时；求x的最小正整数值；

(2)当x=2时；试求灌溉渠的横截面面积的最大值.

18.(本题满分16分)

已知圆22:9Cxy；点(5,0)A；直线:20lxy.

⑴求与圆C相切；且与直线l垂直的直线方程；

⑵在直线OA上（O为坐标原点）；存在定点B（不同于点A）；满足：对于圆C上任

一点P；都有

PB

PA

为一常数；试求所有满足条件的点B的坐标.

x

y

O

A

P

B

x



19．已知无穷数列{a

n

}中；a

1

；a

2

；…；a

m

是首项为10；公差为－2的等差数列；a

m＋1

；

a

m＋2

；…；a

2m

是首项为

1

2

；公比为

1

2

的等比数列（其中m≥3；m∈N*）；并对任意的

n∈N*；均有a

n＋2m

＝a

n

成立．

（1）当m＝12时；求a

2010

；

（2）若a

52

＝

1

128

；试求m的值；

（3）判断是否存在m（m≥3；m∈N*）；使得S

128m＋3

≥2010成立？若存在；试求出m

的值；若不存在；请说明理由．

20．(本小题满分16分)

已知

12

()|31|,()|39|(0),xxfxfxaaxR；

且112

212

(),()()

()

(),()()

fxfxfx

fx

fxfxfx













.

(Ⅰ)当1a时；求()fx在1x处的切线方程；

(Ⅱ)当29a时；设

2

()()fxfx所对应的自变量取值区间的长度为l(闭区间

[,]mn的长度定义为

nm

)；试求l的最大值；

(Ⅲ)是否存在这样的

a

；使得当2,x时；

2

()()fxfx?若存在；求出

a

的取值

范围；若不存在；请说明理由.

高三数学质量检测答题纸

一、填空题（本大题共14小题；每小题5分；共70分）

1.__________________8.__________________

2.__________________9.__________________

3.__________________10.__________________

4.__________________11.__________________

5.__________________12.__________________

6.__________________13.__________________

7.__________________14.__________________

二、解答题

15.

16.

班

级_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

姓

名_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

学

号_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

考

试

号_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

座

位

号

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

装

…

…

…

…

…

…

…

订

…

…

…

…

…

线

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

17.

18.

19.

20.

高三数学质量检测答案

一、填空题（本大题共14小题；每小题5分；共70分）

、1.已知集合},12,3,1{,,32mBmA若BA；则实数m的值为.

、1．1

、2.若复数iiaiz(),)(2(为虚数单位）为纯虚数；则实数a的值为.

、2．

2

1

3.长方形ABCD中；；AB＝2；BC＝1；O为AB的中点；在长方形ABCD内

随机取一点；取到的点到O的距离大于1的概率为

.

1

4





4．执行右边的程序框图；若15p；则输出的

n

.

5

5．设,ab为不重合的两条直线；,为不重合的两个平面；给出下列命

题：

（1）若

a

∥



且b∥



；则

a

∥b；（2）若a且b；则

a

∥b；

（3）若

a

∥



且

a

∥；则



∥；（4）若a且

a

；则



∥．

上面命题中；所有真命题

．．．

的序号是．5.（2）；（4）

6．如图是某学校学生体重的频率分布直方图；已知图中

从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3；第2小组

的频数为10；则抽取的学生人数是.

40

７．若函数y=cos



x(



>0)在(0；

2



)上是单调函数；则实数

的

取值范围是____________.(0；2]

8．已知扇形的圆心角为2（定值）；半径为R（定值）；分别按图一、二作扇形的内接矩

形；若按图一作出的矩形面积的最大值为2

1

tan

2

R；则按图二作出的矩形面积的最大

值为.

2tan

2

R



22

图一

第8题图

图二

Q

O

F

2

F

1

P

y

x

9．已知点P在直线x+2y-1=0上；点Q在直线x+2y+3=0上；PQ的中点为M（x0；y0）；

且y0>x0+2；则0

0

y

x

的取值范围为。（

1

2

；

1

5

）

10．如图；已知

12

,FF是椭圆

22

22

:1

xy

C

ab



(0)ab的

左、右焦点；点P在椭圆C上；线段

2

PF与圆222xyb

相切于点Q；且点Q为线段

2

PF的中点；则椭圆C的离

心率为.

5

3

11．等腰三角形ABC的腰AC上的中线BD的长为3；则△ABC的面积的最大值

为。

6

12．给定正整数)2(nn按右图方式构成三角形数表：第一行

依次写上数1；2；3；……n；在下面一行的每相邻两个数

的正中间上方写上这两个数之和；得到上面一行的数（比

下一行少一个数）；依次类推；最后一行（第n行）只有一

一个数.例如n=6时数表如图所示；则当n=2010时最后一

行的数是.2011×22008

13．已知函数是定义在(0,)上的单调增函数；当

nN

时；()fnN；若[()]3ffnn；

则f(5)的值等于．8

14．已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)；g(x)=f[f(x)]

①若f(x)无零点；则g(x)>0对x∈R成立；

②若f(x)有且只有一个零点；则g(x)必有两个零点；

③若方程f(x)=0有两个不等实根；则方程g(x)=0不可能无解。

其中真命题的个数是_________个。0个

二、解答题

15.（本题14分）已知O为坐标原点；2(2sin,1),(1,23sincos1)OAxOBxx

；

()fxOAOBm

.

（Ⅰ）求)(xfy的单调递增区间；

（Ⅱ）若)(xf的定义域为[,]

2



；值域为[2,5]；求

m

的值.

15.（本题14分）

解：（Ⅰ）

mxxxxf1cossin32sin2)(2……2分

=

mxx1sin32cos1

=mx2)

6

2sin(2



……4分

由







kxk2

2

3

6

22

2

)(Zk

得)(xfy的单调递增区间为]

3

2

,

6

[







kk)(Zk……7分

（Ⅱ）当



x

2

时；

6

13

6

2

6

7

x……9分

∴

2

1

)

6

2sin(1



x……11分

∴mxfm4)(1；∴1

54

21













m

m

m

……14分

16．(14分)在四棱锥P－ABCD中；∠ABC＝∠ACD＝90°；∠BAC＝∠CAD＝60°；PA⊥平

面ABCD；E为PD的中点；PA＝2AB＝2．

（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；

（Ⅱ）若F为PC的中点；求证PC⊥平面AEF；

（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．

16．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中；AB＝1；

∠BAC＝60°；∴BC＝3；AC＝2．

在Rt△ACD中；AC＝2；∠CAD＝60°；

∴CD＝23；AD＝4．

∴S

ABCD

＝

11

22

ABBCACCD

115

132233

222



．………………3分

则V＝

155

323

323



．………………5分

（Ⅱ）∵PA＝CA；F为PC的中点；

∴AF⊥PC．………………7分

∵PA⊥平面ABCD；∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD；PA∩AC＝A；

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E为PD中点；F为PC中点；

∴EF∥CD．则EF⊥PC．………9分

∵AF∩EF＝F；∴PC⊥平面AEF．……10分

（Ⅲ）证法一：

取AD中点M；连EM；CM．则EM∥PA．

∵EM



平面PAB；PA



平面PAB；

∴EM∥平面PAB．………12分

在Rt△ACD中；∠CAD＝60°；AC＝AM＝2；

∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°；∴MC∥AB．

P

A

B

C

D

E

F

N

F

E

D

C

B

A

P

M

F

E

D

C

B

A

P

∵MC



平面PAB；AB



平面PAB；

∴MC∥平面PAB．………14分

∵EM∩MC＝M；

∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC



平面EMC；

∴EC∥平面PAB．………15分

证法二：

延长DC、AB；设它们交于点N；连PN．

∵∠NAC＝∠DAC＝60°；AC⊥CD；

∴C为ND的中点．……12分

∵E为PD中点；∴EC∥PN．……14分

∵EC



平面PAB；PN



平面PAB；

∴EC∥平面PAB．………15分

17.如图；灌溉渠的横截面是等腰梯形；底宽2米；边坡的长为x米、倾角为锐角



.

(1)当

3



且灌溉渠的横截面面积大于8平方米时；求x的最小正整数值；

(2)当x=2时；试求灌溉渠的横截面面积的最大值.

解：由已知得等腰梯形的高为xsin



；上底长为2+2xcos



；从而横截面面积

S=

1

2

(2+2+2xcos



)·xsin



=x2sin



cos



+2xsin



.

(1)当

3



时；面积2

3

S=x+3x

4

是(0；+∞)上的增函数；当x=2时；S=3

3

<8；

当x=3时；S=

93

338

4

.所以；灌溉渠的横截面面积大于8平方米时；x的最小正整

数值是3.

(2)当x=2时；S=4sin



cos



+4sin



；S'=4cos2-4sin2+4cos

=4(2cos2+cos-1)=4(2cos-1)·(cos+1)；由S'=0及是锐角；得

3



.当

0<



<

3



时；S'>0；S是增函数；当

3



<



<

2



时；S'<0；S是减函数。所以；当



=

3



时；

S有最大值

33

.

综上所述；灌溉渠的横截面面积的最大值是

33

.

x



18.(本题满分16分)

已知圆22:9Cxy；点(5,0)A；直线:20lxy.

⑴求与圆C相切；且与直线l垂直的直线方程；

⑵在直线OA上（O为坐标原点）；存在定点B（不同于点A）；

满足：对于圆C上任一点P；都有

PB

PA

为一常数；试求所有满

足条件的点B的坐标.

18．解：⑴设所求直线方程为2yxb；即20xyb；

直线与圆相切；∴

22

||

3

21

b





；得

35b

；

∴所求直线方程为

235yx

---------------5分

⑵方法1：假设存在这样的点(,0)Bt；

当P为圆C与

x

轴左交点(3,0)时；

|3|

2

PBt

PA



；

当P为圆C与

x

轴右交点(3,0)时；

|3|

8

PBt

PA



；

依题意；

|3||3|

28

tt

；解得；5t（舍去）；或

9

5

t。---------------------------8分

下面证明点

9

(,0)

5

B对于圆C上任一点P；都有

PB

PA

为一常数。

设(,)Pxy；则229yx；

∴

2222

2

22222

9188118

()9(517)

9

552525

(5)102592(517)25

xyxxxx

PB

PAxyxxxx







；

从而

3

5

PB

PA

为常数。----------------------------15分

方法2：假设存在这样的点(,0)Bt；使得

PB

PA

为常数；则222PBPA；

∴22222()[(5)]xtyxy；将229yx代入得；

22222229(10259)xxttxxxx；即

2222(5)3490txt对[3,3]x恒成立；---------------------------8分

∴

2

22

50,

3490,

t

t



















；解得

3

5

9

5

t





















或

1

5t











（舍去）；

x

y

O

A

P

B

所以存在点

9

(,0)

5

B对于圆C上任一点P；都有

PB

PA

为常数

3

5

。---------------------15分

19．已知无穷数列{a

n

}中；a

1

；a

2

；…；a

m

是首项为10；公差为－2的等差数列；a

m＋1

；a

m

＋2

；…；a

2m

是首项为

1

2

；公比为

1

2

的等比数列（其中m≥3；m∈N*）；并对任意的n∈N*；

均有a

n＋2m

＝a

n

成立．

（1）当m＝12时；求a

2010

；

（2）若a

52

＝

1

128

；试求m的值；

（3）判断是否存在m（m≥3；m∈N*）；使得S

128m＋3

≥2010成立？若存在；试求出m的值；

若不存在；请说明理由．

19．解（1）m＝12时；数列的周期为24．

∵2010＝24×83＋18；而a

18

是等比数列中的项；

∴a

2010

＝a

18

＝a

12＋6

＝6

11

()

264



．

（2）设a

m＋k

是第一个周期中等比数列中的第k项；则a

m＋k

＝

1

()

2

k．

∵7

11

()

1282



；∴等比数列中至少有7项；即m≥7；则一个周期中至少有14项．

∴a

52

最多是第三个周期中的项．

若a

52

是第一个周期中的项；则a

52

＝a

m＋7

＝

1

128

．

∴m＝52－7＝45；

若a

52

是第二个周期中的项；则a

52

＝a

3m＋7

＝

1

128

．∴3m＝45；m＝15；

若a

52

是第三个周期中的项；则a

52

＝a

5m＋7

＝

1

128

．∴5m＝45；m＝9；

综上；m＝45；或15；或9．

（3）2m是此数列的周期；

∴S

128m＋3

表示64个周期及等差数列的前3项之和．

∴S

2m

最大时；S

128m＋3

最大．

∵S

2m

＝22

11

[1()]

(1)1111251

22

10(2)111()

1

22242

1

2

m

mm

mm

mmmm









；

当m＝6时；S

2m

＝31－

1

64

＝

63

30

64

；

当m≤5时；S

2m

＜

63

30

64

；

当m≤7时；S

2m

＜2

11125

(7)

24



＝29＜

63

30

64

．

∴当m＝6时；S

2m

取得最大值；则S

128m＋3

取得最大值为64×

63

30

64

＋24＝2007．

由此可知；不存在m（m≥3；m∈N*）；使得S

128m＋3

≥2010成立．

20．(本小题满分16分)

已知

12

()|31|,()|39|(0),xxfxfxaaxR；

且112

212

(),()()

()

(),()()

fxfxfx

fx

fxfxfx













.

(Ⅰ)当1a时；求()fx在1x处的切线方程；

(Ⅱ)当29a时；设

2

()()fxfx所对应的自变量取值区间的长度为l(闭区间

[,]mn的长度定义为

nm

)；试求l的最大值；

(Ⅲ)是否存在这样的

a

；使得当2,x时；

2

()()fxfx?若存在；求出a的取值

范围；若不存在；请说明理由.

20.解:(Ⅰ)当1a时；

2

()|39|xfx

.

因为当

3

(0,log5)x时；

1

()31xfx；

2

()93xfx；

且3

log5

12

()()231xfxfx；

所以当

3

(0,log5)x时；()31xfx；且

3

1(0,log5)…………………………(3分)

由于

()3ln3xfx



；所以(1)3ln3kf



；又(1)2f；

故所求切线方程为2(3ln3)(1)yx；

即(3ln3)23ln30xy………………………………………………………(5分)

(Ⅱ)因为29a；所以

33

99

0loglog

2a

；则

当

3

9

logx

a

时；因为390xa；310x；

所以由

21

()()(39)(31)(1)380xxxfxfxaa；解得

3

8

log

1

x

a





；

从而当

33

98

loglog

1

x

aa





时；

2

()()fxfx…………………………………(6分)

①当

3

9

0logx

a

时；因为390xa；310x；

所以由

21

()()(93)(31)10(1)30xxxfxfxaa；解得

3

10

log

1

x

a





；

从而当

33

109

loglog

1

x

aa





时；

2

()()fxfx……………………………(7分)

③当0x时；因为

21

()()(93)(13)8(1)30xxxfxfxaa

；

从而

2

()()fxfx一定不成立………………………………………………………(8分)

综上得；当且仅当

33

108

[log,log]

11

x

aa





时；

2

()()fxfx；

故

333

81042

logloglog[(1)]

1151

l

aaa





…………………………………(9分)

从而当2a时；l取得最大值为

3

12

log

5

………………………………………(10分)

(Ⅲ)“当2,x时；

2

()()fxfx”等价于“

21

()()fxfx对2,x恒成

立”；

即“|39||31|31xxxa(*)对2,x恒成立”……………………(11分)

①当1a时；

3

9

log2

a

；则当2x时；3

9

log39390x

aaa；则(*)可化为

3931xxa；即

8

1

3x

a；而当2x时；

8

11

3x

；

所以1a；从而1a适合题意……………………………………………………(12分)

②当01a时；

3

9

log2

a

.

⑴当

3

9

logx

a

时；(*)可化为3931xxa；即

8

1

3x

a；而

8

11

3x

；

所以1a；此时要求01a……………………………………………(13分)

⑵当

3

9

logx

a

时；(*)可化为

9

0311x

a

；

所以aR；此时只要求01a……………………………………………(14分)

(3)当

3

9

2logx

a

时；(*)可化为9331xxa；即

10

1

3x

a；而

101

1

39x

；

所以

1

9

a；此时要求

1

1

9

a……………………………………………(15分)

由⑴⑵⑶；得

1

1

9

a符合题意要求.

综合①②知；满足题意的

a

存在；且

a

的取值范围是

1

1

9

a……………………(16分)