平行线等分线段定理

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一、平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线

上截得的线段也相等．

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．

推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．

二、平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．

例1．已知：如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，连结AE交CD于F，

FG∥AD交DE于G.

求证：FC=FG.

证明：在正方形ABCD中，AB∥CD，

∴

CF

AB

＝

EF

AE

.∵FG∥AD，∴

FG

AD

＝

EF

AE

.

∴

CF

AB

＝

FG

AD

.∵AB＝AD，∴CF＝FG.

例2．如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交

AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA=3∶1，BC=10，则AE的

长为_________.

解：∵AE∥BC,∴△BGF∽△AGE.∴BF∶AE=BG∶GA=3∶1.

∵D为AC中点，1

AEAD

CFDC



∴AE=CF.∴BC∶AE=2∶1.∵BC=10,∴AE=5.

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三、相似三角形的判定及性质

判定定理

判定定理1两角对应相等的两个三角形相似；

判定定理2三边对应成比例的两个三角形相似；

判定定理3两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似.

性质定理

性质定理1

相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似

比；

性质定理2相似三角形的面积比等于相似比的平方．

推论

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的

面积比等于相似比的平方．

射影定理

直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影

和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射

影的比例中项.

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