平行线的判定

1

授课主题

平行线

教学目的

1。理解平行线的概念,掌握平行公理及其推论;

2．掌握平行线的判定方法及性质,并能进行简单的推理

3．掌握命题的定义,知道一个命题是由“题设＂和“结论”两部分组成，对于给定的命

题,能找出它的题设和结论;

教学重点

平行线的判定及性质

教学内容

【知识梳理】

要点一、平行线

１．定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,如果直线ａ与b平行,记作a∥b．

要点诠释:

（１）平行线的定义有三个特征:一是在同一个平面内;二是两条直线;三是不相交,三者缺一不可;

(2)有时说两条射线平行或线段平行,实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平

行.

(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种.特别地，重合的直线视为一条直线，不属于

上述任何一种位置关系.

２．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

3.推论:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

要点诠释：

（1)平行公理特别强调“经过直线外一点"，而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质．

(2）公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一.

(3)“平行公理的推论"也叫平行线的传递性.

要点二、直线平行的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行。如上图,几何语言：

∵∠3=∠2

∴ＡＢ∥CD(同位角相等,两直线平行）

判定方法２:内错角相等,两直线平行。如上图，几何语言:

∵∠１＝∠2

∴AＢ∥ＣＤ(内错角相等,两直线平行）

判定方法3:同旁内角互补,两直线平行．如上图,几何语言:

∵∠4＋∠2=１80°

∴ＡB∥ＣD(同旁内角互补,两直线平行）

要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形。

要点三、平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等;

性质2:两直线平行,内错角相等;

性质3:两直线平行，同旁内角互补。

2

要点诠释:(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补"都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视

前提“两直线平行".

(２)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．

要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平

行线

的距离．

要点诠释：

（１)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平

行线的距离.

（2)两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的

距离处处相等．

要点五、命题、定理、证明

1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．要点诠释：

（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

（２)命题的表达形式:“如果……,那么……．",也可写成:“若……，则……。"

（3)真命题与假命题：

真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题。

假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题,叫做假命题.

2。定理：定理是从真命题(公理或其他已被证明的定理)出发,经过推理证实得到的另一个真命题，定理也

可以作为继续推理的依据．

3。证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明．

要点诠释：

(1)证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、

定理等。

(2）判断一个命题是正确的,必须经过严格的证明;判断一个命题是假命题,只需列举一个反例即可．

要点六、平移

１.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移.

要点诠释:

(1)图形的平移的两要素:平移的方向与平移的距离．

(2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.

2。性质：

图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来

说:

(1）平移后，对应线段平行且相等；

（2）平移后,对应角相等;

（3)平移后,对应点所连线段平行且相等;

(4)平移后，新图形与原图形是一对全等图形.

3

【典型例题】

类型一、平行线

例1.下列说法正确的是()

Ａ．不相交的两条线段是平行线。

Ｂ．不相交的两条直线是平行线．

Ｃ．不相交的两条射线是平行线。

D.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

【答案】Ｄ

例2．在同一平面内，下列说法：(１)过两点有且只有一条直线;(２)两条直线有且只有一个公共点；(3)过一

点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为:

（)

A．1个Ｂ.2个Ｃ.3个D．4个

【答案】B

【解析】正确的是:(1)(３）.

【变式1】下列说法正确的个数是(）

(１)直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则ａ∥ｄ.

（２）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直．

（3)两条直线被第三条直线所截,同位角相等.

（4)在同一平面内,如果两直线都垂直于同一条直线,那么这两直线平行.

A.１个Ｂ.2个Ｃ.３个D.４个

【答案】B

类型二、两直线平行的判定

例３.如图，给出下列四个条件:（1)AC=BD;（2）∠ＤAC=∠BCA;

（3)∠ABD＝∠ＣDB;（4)∠ＡDB=∠CBD,其中能使AD∥BC的条件有()。

A．(1)（2)Ｂ.（3）(４）C．(2）（４)D．（１)(3）（4)

【答案】Ｃ

【变式2】一个学员在广场上驾驶汽车,两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能

是()

A.第一次向左拐３０°,第二次向右拐30°

B.第一次向右拐50°,第二次向左拐13０°

C．第一次向右拐50°,第二次向右拐13０°

D．第一次向左拐50°,第二次向左拐1３０°

例４.如图所示，已知∠B=25°,∠BＣD＝45°,∠CDＥ＝3０°,∠E＝10°．试说明ＡB∥EF的理由.

解法1:如图所示，在∠ＢCD的内部作∠BＣＭ=25°,

在∠ＣDE的内部作∠EＤN=１０°.

∵∠B=２5°,∠Ｅ=10°(已知）,

4

∴∠Ｂ=∠BCM,∠E＝∠EDN（等量代换）.

∴AB∥CM,EＦ∥ＤN(内错角相等,两直线平行）．

又∵∠BCD＝４5°,∠ＣDＥ＝3０°(已知）,

∴∠ＤCM＝２０°，∠ＣＤN＝20°（等式性质）.

∴∠DCM=∠CDN(等量代换）．

∴ＣM∥DN(内错角相等，两直线平行）．

∵ＡB∥CＭ，ＥＦ∥DN(已证）,

∴AＢ∥ＥF（平行线的传递性）．

解法2:如图所示，分别向两方延长线段CＤ交EF于Ｍ点、交AB于Ｎ点.

∵∠BCD=45°，∴∠ＮCB=135°.

∵∠B=25°，

∴∠CＮB＝18０°—∠NCB—∠B=2０°(三角形的内角和等于180°）．

又∵∠ＣDE＝3０°,∴∠EDＭ=１50°．

又∵∠Ｅ=10°，

∴∠EＭＤ＝１80°—∠EDM-∠Ｅ=20°（三角形的内角和等于1８０°).

∴∠CNＢ＝∠EＭＤ(等量代换).

所以AＢ∥EF（内错角相等，两直线平行）．

【变式3】已知，如图，ＢE平分ABＤ，DE平分CDB，且1与２互余,试判断直线AＢ、CD的位置关系，

请说明理由.

解：AＢ∥CD,理由如下：

∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDＢ，

∴∠ＡＢD=2∠１,∠CＤB＝2∠２．

又∵∠1+∠２＝90°,

∴∠ABＤ+∠CＤB=18０°．

∴AＢ∥CD(同旁内角互补,两直线平行)．

【变式４】已知，如图,ABBD于B,CDＢＤ于D,１+2＝18０°，求证:CD//EF.

【答案】

证明:∵AＢBＤ于Ｂ,CDBD于D，

∴AＢ∥CD．

又∵1＋2=18０°,

∴AB∥EＦ．

∴ＣＤ//EF.

类型三、平行线的性质

例5．如图所示,如果AB∥DＦ,ＤE∥BC,且∠1＝65°.那么你能说出∠2、∠

3、∠4的度数吗?为什么．

解:∵DE∥BC，

5

∴∠4＝∠1=６5°（两直线平行，内错角相等).

∠2+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补)．

∴∠２＝１80°-∠1=18０°—65°=１１5°．

又∵DF∥AB（已知),

∴∠3＝∠２(两直线平行，同位角相等)．

∴∠3＝115°（等量代换）.

【变式5】如图,已知

1234

//,//llll,且∠1=48°，则∠2＝，∠3=，∠4=。

【答案】４8°，１３2°，４8°

【变式６】如图所示,直线l１∥ｌ２,点A、Ｂ在直线l

2

上,点Ｃ、D在直线ｌ

1

上，若△ABＣ的面积为S

1

，△

ABＤ的面积为Ｓ

2

,则()

A．S

1

＞S

2

B．S１=S２C.Ｓ

1

2

Ｄ．不确定

【答案】B

类型四、命题

例6．判断下列语句是不是命题,如果是命题,是正确的？还是错误的?

①画直线AＢ;②两条直线相交,有几个交点；③若a∥ｂ,b∥ｃ,则ａ∥c;④

直角都相等；⑤相等的角都是直角;⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．

【答案】①②不是命题;③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题；⑤是错误的命题．

【变式8】把下列命题改写成“如果……,那么……＂的形式.

(1)两直线平行，同位角相等;

(2)对顶角相等;

（3)同角的余角相等。

【答案】

解：(１）如果两直线平行,那么同位角相等．

(2)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。

（3）如果有两个角是同一个角的余角，那么它们相等。

类型四、平移

例７.(湖南益阳）如图所示，将△ABC沿直线ＡB向右平移后到达△BＤE的

位置,若∠CAＢ=50°,∠ＡBC＝１00°,则∠CBE的度数为＿＿__＿___．

【答案】3０°

【变式9】（上海静安区一模）如图所示，三角形ＦDE经过怎样的平移可以得

到三角形AＢＣ()

A.沿EＣ的方向移动DB长

B.沿BD的方向移动BD长

6

C.沿EC的方向移动ＣD长

Ｄ．沿BD的方向移动DＣ长

【答案】Ａ

类型五、平行的性质与判定综合应用

例８、如图所示,AB∥EF,那么∠ＢAC+∠ACＥ+∠CEF=(）

Ａ.180°B．270°Ｃ．３6０°D．540°

【答案】C

【解析】过点C作CD∥AB，

∵ＣD∥AB，

∴∠BAC+∠ＡCD=1８0°(两直线平行，同旁内角互补)

又∵EＦ∥AＢ

∴EF∥CD．

∴∠DCE+∠ＣEF=180°（两直线平行，同旁内角互补)

又∵∠ACＥ=∠ACD＋∠DCＥ

∴∠ＢAC+∠ＡCＥ+∠CEF=∠BAＣ+∠ACD＋∠DCE+∠CEＦ＝180°＋1８０°=360°

【课后作业】

一、选择题

1.下列说法中正确的有（）

①一条直线的平行线只有一条.

②过一点与已知直线平行的直线只有一条.

③因为a∥ｂ,c∥d，所以a∥ｄ．

④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.

A．１个B.2个Ｃ.3个Ｄ.４个

2.如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行,则这两个角（)

A．相等B.互补C.互余D.相等或互补

3．如图，能够判定DE∥BＣ的条件是（)

A.∠ＤCE+∠DEＣ＝180°Ｂ.∠ＥDC＝∠DＣＢ

Ｃ.∠BGF=∠DCBＤ.CＤ⊥AＢ,GF⊥AＢ

7

4.一辆汽车在广阔的草原上行驶,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是

（）．

Ａ.第一次向右拐4０°,第二次向右拐1４0°.

B．第一次向右拐４０°,第二次向左拐４0°.

C.第一次向左拐40°,第二次向右拐１40°.

D．第一次向右拐140°,第二次向左拐40°．

5.如图所示,下列条件中,不能推出AB∥ＣE成立的条件是(）

A.∠Ａ＝∠AＣEB．∠B＝∠ＡCEC．∠B＝∠ＥCＤD．∠Ｂ+∠ＢＣＥ＝18０°

６。(绍兴)学习了平行线后,小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张

半透明的纸得到的(如图,(1)—（4）)：

从图中可知,小敏画平行线的依据有(）

①两直线平行,同位角相等.②两直线平行,内错角相等.③同位角相等,两直线平行．

④内错角相等，两直线平行．

A。①②B。②③C.③④D.④①

二、填空题

７。在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是_____＿__.

8.如图,DＦ平分∠ＣＤE,∠CDF=55°,∠C=70°,则_＿______∥___＿____.

9．规律探究:同一平面内有直线ａ

1

，a

2

,ａ３…,a

1０0

，若a１⊥ａ

2

,a

2

∥a

3

,ａ

3

⊥ａ

4

…，按此规律，a

1

和a

1００的

位置是_____＿_＿.

１0.已知两个角的两边分别平行,其中一个角为４０°，则另一个角的度数是

11.直线

l

同侧有三点A、B、C,如果A、Ｂ两点确定的直线

l

与B、Ｃ两点确定的直线

l

都与

l

平行,则A、

B、C三点,其依据是

12。如图,ＡB⊥EF于点G，CD⊥EF于点H,GＰ平分∠EＧＢ,ＨＱ平分∠CHF，则图中互相平行的直线有.

8

三、解答题

１3。如图,∠1=60°,∠２=60°，∠３=100°,要使AB∥EF，∠4应为多少度？说明理由．

1４．小敏有一块小画板（如图所示）,她想知道它的上下边缘是否平行，而小敏身边只有一个量角器,你能

帮助她解决这一问题吗?

１５.如图,把一张长芳形纸条AＢCD沿AF折叠，已知∠AＤＢ=20°，那么∠BＡF为多少度时,才能使ＡB′

∥BD?

16．如图所示，由∠1＝∠2,BD平分∠ＡBC,可推出哪两条线段平行,写出推理过程,如果推出另两条线段平

行，则应将以上两条件之一作如何改变？

【答案与解析】

一、选择题

1。【答案】A

【解析】只有④正确,其它均错．

2。【答案】D

3。【答案】B

【解析】内错角相等,两直线平行．

4。【答案】B

５。【答案】Ｂ

【解析】∠B和∠ＡCE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角.

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６。【答案】C

【解析】解决本题关键是理解折叠的过程,图中的虚线与已知的直线垂直,过点Ｐ的折痕与虚线垂直．

二、填空题

7.【答案】0或１或２或3个;

8.【答案】ＢC，DE;

【解析】∠CFＤ=18０°－70°-55°＝55°,而∠FDE=∠CDF=55°,所以∠CFＤ=∠ＦDＥ.

９。【答案】a

1

∥a

100

;

【解析】为了方便，我们可以记为a

1

⊥a

2

∥a

3

⊥ａ４∥a

5

⊥a

6

∥a

7

⊥a

8

∥ａ

9

⊥a

10

…∥a

97

⊥a

98

∥a

99

⊥a

10０,

因为ａ１⊥ａ

2

∥a

3

，所以a

1

⊥ａ３,而a

3

⊥a４，所以a１∥ａ４∥ａ

5

.同理得a５∥a

8

∥ａ

9

，a

9

∥ａ

12

∥a１3

,…,接着

这样的规律可以得ａ

1

∥ａ９７∥a

1００,所以a１∥a

100

．

10。【答案】4０°或140°

11。【答案】共线,平行公理;

【解析】此题考查是平行公理,它是论证推理的基础,应熟练应用.

12。【答案】AB∥CＤ，GP∥ＨQ;

【解析】

理由:∵ＡB⊥EF，CD⊥EF.∴∠AGE＝∠CHG=90°．∴AB∥CD.

∵ＡＢ⊥ＥF.∴∠ＥGＢ＝∠2＝9０°.∴GP平分∠ＥＧB．

∴∠１=

1

2

EGＢ=45°．

∴∠PGH＝∠1+∠２＝135°．

同理∠GHQ=１３5°,∴∠PGH=∠ＧHQ.

∴GP∥HQ．

三、解答题

13.【解析】

解:∠4=1０0°．理由如下：

∵∠1＝６0°,∠2=6０°，

∴∠1＝∠２,∴AＢ∥CＤ

又∵∠３＝∠４＝１00°,

∴ＣD∥EF，∴AB∥ＥF．

14.【解析】

解：如图所示,用量角器在两个边缘之间画一条线段MN,用量角器测得∠1＝50°,

∠2=50°，因为∠１＝∠2,所以由内错角相等，两直线平行,可知画板的上下边缘是平行的．

15。【解析】

解:要使AB′∥BＤ,只要∠B′AD＝∠ＡDB=20°，

∠B′AＢ＝∠BAＤ+∠B′AＤ＝90°+20°＝110°.

∴∠BAF＝

1

2

∠B′AB=

1

2

×１10°=５５°.

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１6.【解析】

解：可推出AD∥BC．∵BD平分∠AＢC（已知)．

∴∠1=∠ＤBC（角平分线定义)．

又∵∠1=∠2（已知），∴∠2＝∠DBC(等量代换）．

∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)．

把∠1＝∠2改成∠DBC＝∠BＤC．