函数的单调性ppt

函数的单调性教案ppt

【篇一：《函数单调性》教学设计】

《函数单调性》教学设计

【设计思路】有效的概念教学必须建立在学生已有的知识结构基础

之上顺应学生的思维发展，因此在教学设计中注意在学生已有知识

结构和新概念间寻找“最近发展区”，呈现知识的发生和形成过程，

使学生始终处于问题探索研究状态之中。为达到本节课的教学目标，

突出重点，突破难点，在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、

从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识

不断深入．在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握

用定义证明函数单调性的方法和步骤．考虑到学生数学思维较为活

跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时

也为用导数研究函数单调性埋下伏笔。在教学设计中发挥好多媒体

教学的优势，注意结合图形，由浅入深，采用数形结合方法，从感

知发展到理性思维，让学生经历“创设情境——探究概念——理解反

思——拓展应用——归纳总结”的活动过程，体验了参与数学知识的

发生、发展过程，培养“用数学”的意识和能力，成为积极主动的建

构者。

【教学目标】

1．理解函数单调性的概念，初步掌握判断、证明函数单调性的方法．

2．通过观察、归纳、抽象、概括自主建构函数单调性概念的过程，

体会数形结合的思想方法，提高发现、分析、解决问题的能力；通

过对函数单调性的证明，体会数学的严谨性，提高学生的推理论证

能力．

3．在学习中体会数学的科学价值和应用价值，培养学生细心观察、

认真分析、严谨论证、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度，让

学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【背景分析】

1、教材分析

本节是高中数学新教材必修1第1章第1.3.1节第一课时，主要学

习函数单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义

证明函数的单调性。他是高中数学中相当重要的一个基础知识点。

是高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．是函数概念的延

续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数单调性的基础．在比

较数的大小、解方程或不等式、求函数的值域或最值、函数的定性

分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用。通过本节课

的学习，加深对函数本质的认识，为今后函数学习打下理论基础；

还有利于培养学生的抽象思维能力、分析和解决问题的能力。从方

法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、

归纳转化等数学思想方法。所以本节课的

重点：函数单调性定义及本质，单调性的判断及证明。

2、学清分析：

从学生的知识结构来看，初中已经重点研究了一些函数的增减性，

只是当时的研究较为粗略，他们只能根据函数的图象观察出“随着自

变量的增大函数值增大”等变化趋势，但对于数学上具有抽象概括性

形式化的定义尚难于接受。本节内容正是初中有关内容的深化和提

高。好在前一节学习的函数及其表示,为过渡到本节的学习起着铺垫

作用，从学生的认知结构来看，高一学生正处于以感性思维为主的

年龄阶段，而且逐步地从感性思维过渡到理性思维，并由此向逻辑

思维发展，但学生思维不成熟、不严密。所以本节课的

难点：函数单调性形式化定义的认识和理解，用定义证明函数的单

调性．

【教法导学】

根据建构主义、最近发展区理论和本节课的特点，贯彻“教为主导，

学为主体，问题解决为主线，能力发展为目标”的教学思想，采用启

发诱导、支架式教学，通过营造问题情景，激发学生的探索欲望，

鼓励学生自主探索，发挥好多媒体教学的优势，充分利用学生熟知

函数图象的直观性，注意结合图形，由浅入深，从直观感知到理性

思维，用数学观点分析和解决问题。

【教学手段】

利用多媒体直观、形象的动态功能，为函数单调性概念的理解提供

直观、形象的认知基础;同时对函数在某一区间内变化趋势进行动态

演示，帮助学生理解。

【教学课型】概念教学课

【教学准备】多媒体、黑板、课件

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

探究问题1：为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴

趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，下图是北

京市今年8

月

8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.观察曲线是如何变化的？

当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻？

〖师生活动〗：学生独立思考并回答问题。教师指出在生活中我们

关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生

活是很有帮助的．还比如降雨量、股票价格等。用函数观点看，其

实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小，

反映在图象上就是上升或下降，函数图象的这种变化规律就是函数

性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——

函数的单调性。

〖设计意图〗：设置实际生活的例子，让学生对图象的上升和下降

有初步的感性认识，为下一步对概念理性讲解作了铺垫，同时要通

过实例让学生感受到函数的单调性和生活的密切相关，进而激发学

生的兴趣，引发学生进一步的好奇心。

二、指导观察，形成概念

探究问题2：作出函数的图象，并且观察他们图象在哪个区间内是

上升的哪个区间内是下降的？能不能用数学语言把上面两个函数图

象上升或下降的特征描述出来吗？

〖师生活动〗教师在问题的基础上，进一步强化对图象的感性认识，

展示函数，

图象，让学生观察在整个定义域内y随x的变化情况。在知识过度

的关键处，从函数变量的角度分析问题，给学生一定的时间，让学

生通过观察、思考探究，对问题作出回答，让学生先说，教师修正。

结论1：函数在定义域内的任意两个自变量的值，

当

的值

变量的值时，都有，当，当，函数时，都有时，都有在定义域内区

间，在定义域内区间上任意两个自变量上任意两个自。结论2：引

导学生用自然语言描述图象的变化规律，并能进行分类描述(增函数、

减函数)，第1：不同的函数变化趋势不同，第2：同一函数在不同的

区间有不同的变化趋势。第3：同时明确函数的单调性是对定义域内

某个区间而言的是函数的局部性质。

〖设计意图〗顺应学习者的认知规律，以学生熟知的函数为切入点，

从直观感知图象入手，对单调性的认识由形到数，让学生体会函数

值的增减变化，把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,

探究问题3：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数吗?

〖师生活动〗学生独立思考，合作交流，回答问题，如果函数

x的增大，y也越来越大，我们说函数在某个区间上随自变量在某个

区在该区间上为增函数；如果函数

间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减

函数．教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调

性的直观、描述性的认识．如果从数值变化的角度描述就会得到如

下概念：

定义：一般地，设函数的定义域为i:

上的任意两个自变量的值

在区间上是单调递增函数。，当时，都有如果对于定义域i内某个

区间，那么就说函数

由学生类比得到减函数的定义：

如果对于定义域i内某个区间

，那么就说函数

注:（1）上的任意两个自变量的值在区间上是单调递减函数。，当

时，都有三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常

规定；（2）相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。

〖设计意图〗：让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性

的定义，

探究问题4：下图是定义在[－5，5]上的函数

的图象，根据图象说出函数

的单调区间，以及在每一单调区间上，

是增函数还是减函数。

〖师生活动〗：教师直接提问，学生独立思考并回答。

[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5]。其中的单调区间有在

[－5，－2）,[1，3）上是减函数；在[－2，1），[3，5）上是增函

数。强调单调区间的写法：问题6：可否写成[－5，－2）u[－2，

1）？问题7：写成[－5，－2）还是写成[－5，－2]？多媒体展示构

造反例说明：（1）单调区间一般不能求并集；（2）当端点满足单

调性定义时，可开可闭。

〖设计意图〗心理学认为概念一旦形成，必须及时加以巩固，设计

通过直观图象加深学生对函数单调性等概念的理解。

三、辨析概念，强化理解

探究问题5：判断题：①．

②若函数

③若函数在区间和(2,3)上均为增函数，则函数．在区间(1,3)上为增

函数．④因为函数f(x)=1/x在区间

上是减函数.上都是减函数，所以f(x)=1/x在

〖师生活动〗学生独立探究，合作交流得到正确结论。

〖设计意图〗通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解。通过

判断题，强调三点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开

了定义域和相应区间就谈不上单调性．②有的函数在整个定义域内

单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次

函数)，

【篇二：函数单调性教案】

1.3函数的基本性质第1课时函数的单调性

教学目标:

1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函

数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培

养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调

性的证明，提高学生的推理论证能力．

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的

良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性

到理性的认知过程．

教学重点:函数单调性的概念、判断及证明．

教学难点:归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调

性．

教学方法:教师启发讲授，学生探究学习．教学手段:计算机、投影

仪．新知探究

①如图1-3-1-2所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和y=-x2的图

象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规

律?

图1-3-1-2

②对于二次函数y=x2，列出x,y的对应值表(1).完成表(1)并体会图

象在y轴右侧上升.

表(1)

③如何利用函数的解析式y=x2描述“随着x的增大，相应的f(x)随

着减小，”“随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。”

给出函数单调性的定义：

应用示例

思路1

例1如图1-3-1-3是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据

图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还

是减函数？

图1-3-1-3

活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再

回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增

函数，图象下降则在此区间上是减函数.

解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函

数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上

是增函数.

点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数

单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题

中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于

人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数

的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.

图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：

观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.变式训练

课本p32练习1、3.

例2物理学中的玻意耳定律p=（k为正常数）告诉我们，对于一定

量的气体，当其体积v减少时，压强p将增大.

试用函数的单调性证

kv

明.

活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，

教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，

以便学生总结定义法的步骤.体积v减少时，压强p将增大是指函数

p=

k

法是用不等式v

表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来

解决.

解：利用函数单调性的定义只要证明函数p=函数即可.

点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.

定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上

任取两个自变量x1和x2,通常令x1x2；第二步：比较f(x1)和f(x2)

的大．．小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤

是作差、变形、看符号；第三步：再归纳结论.定义法的步骤可以总

结为：一．“取(去)”、二“比”、三“再(赛)”,因此简称为：“去比

赛”.．．．．．．变式训练课本p32练习4.

思路2

例1（1）画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象；

（2）证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数；（3）当

函数f(x)在区间(-∞,m］上是增函数时，求实数m的取值范围.

k

在区间(0,+∞)上是减v

图1-3-1-4

解：（1）函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.(2)设x1、

x2∈(-∞,1］，且x1x2，则有f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-

x22+2x2+3)=(x22-x12)+2(x1-x2)=(x1-x2)(2-x1-x2).

∵x1、x2∈(-∞,1］，且x1x2，∴x1-x20,x1+x22.∴2-x1-

x20.∴f(x1)-f(x2)0.∴f(x1)f(x2).∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1］

上是增函数.

（3）函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是

增函数，那么当区间(-∞,m］位于对称轴的左侧时满足题意，则有

m≤1，即实数m的取值范围是(-∞,1］.

点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论

有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函

数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次

函数在区间d上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间d内.

判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，

最后用单调性的定义证明.判断函数单调性的三部曲：

第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；

【篇三：《函数的单调性》教案】