初中数学题解答

初中数学10⼤解题⽅法及典型例题详解

初中数学10⼤解题⽅法及典型例题详解

1、配⽅法

所谓配⽅，就是把⼀个解析式利⽤恒等变形的⽅法，把其中的某些项配成⼀个或⼏个多项式正整数次幂的和形式。通过配⽅解

决数学问题的⽅法叫配⽅法。其中，⽤的最多的是配成完全平⽅式。配⽅法是数学中⼀种重要的恒等变形的⽅法，它的应⽤⼗

分⾮常⼴泛，在因式分解、化简根式、解⽅程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等⽅⾯都经常⽤到它。

例题：

⽤配⽅法解⽅程x2+4x+1=0，经过配⽅，得到()

A．(x+2)2=5B．(x－2)2=5C．(x－2)2=3D．(x+2)2=3【分析】配⽅法：若⼆次项系数为1，则常数项是⼀次项系数的⼀

半的平⽅，若⼆次项系数不为1，则可先提取⼆次项系数，将其化为1后再计算。【解】将⽅程x2+4x+1=0，

移向得：x2+4x=－1，

配⽅得：x2+4x+4=－1+4，

即(x+2)2=3；

因此选D。

2、因式分解法

因式分解，就是把⼀个多项式化成⼏个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的⼀个有⼒⼯具、⼀种数学

⽅法在代数、⼏何、三⾓等的解题中起着重要的作⽤。因式分解的⽅法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、

分组分解法、⼗字相乘法等外，还有如利⽤拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

例题：

若多项式x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），则m的值为（）A．-2B．2C．0D．1

【分析】根据因式分解与整式乘法是相反⽅向的变形，先将（x-1）（x+3）乘法公式展开，再根据对应项系数相等求出m的

值。

【解】∵x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），

即x2+mx-3=（x-1）（x+3），

∴x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3，

∴m=2；

因此选B。

3、换元法

换元法是数学中⼀个⾮常重要⽽且应⽤⼗分⼴泛的解题⽅法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在⼀个⽐较

复杂的数学式⼦中，⽤新的变元去代替原式的⼀个部分或改造原来的式⼦，使它简化，使问题易于解决。

例题：

已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2的值为（）

A．-5或1B．1C．5D．5或-1

【分析】解题时把x2+y2当成⼀个整体来考虑，再运⽤因式分解法就⽐较简单【解】设x2+y2=t，t≥0，则原⽅程变形得

(t+1)(t+3)=8，化简得：

(t+5)(t-1)=0，

解得：t

1=-5，t

2

=1

⼜t≥0

∴t=1

∴x2+y2的值为只能是1．

因此选B．

4、判别式法与韦达定理

⼀元⼆次⽅程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅⽤来判定根的性质，⽽且作为⼀种解题⽅法，

在代数式变形，解⽅程(组)，解不等式，研究函数乃⾄⼏何、三⾓运算中都有⾮常⼴泛的应⽤。

韦达定理除了已知⼀元⼆次⽅程的⼀个根，求另⼀根；已知两个数的和与积，求

这两个数等简单应⽤外，还可以求根的对称函数，计论⼆次⽅程根的符号，解对称⽅程组，以及解⼀些有关⼆次曲线的问题

等，都有⾮常⼴泛的应⽤。

注意：①△=b2-4ac＜0，⽅程⽆实数根，即⽆解；②△=b2-4ac=0，⽅程有两个相等的实数根；③△=b2-4ac＞0，⽅程有两

个不相等的实数根。

例题：

当m为什么值时，关于x的⽅程01)1(2)4(22=+++-xmxm有实根。

【分析】题设中的⽅程未指明是⼀元⼆次⽅程，还是⼀元⼀次⽅程，所以应分42-m＝0和42-m≠0两种情形讨论。

【解】当42-m＝0即2±=m时，)1(2+m≠0，⽅程为⼀元⼀次⽅程，总有实根；

当42-m≠0即2±≠m时，⽅程有根的条件是：

△＝[]208)4(4)1(222+=--+mmm≥0，解得m≥2

5-∴当m≥2

5-

且2±≠m时，⽅程有实根。综上所述：当m≥25-时，⽅程有实根。

5、待定系数法

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，⽽后根据题设条件列出关于待定系数

的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从⽽解答数学问题，这种解题⽅法称为待定系数法。

它是中学数学中常⽤的⽅法之⼀。

例题：

例1.已知函数y＝mxxnx22431

+++的最⼤值为7，最⼩值为－1，求此函数式。【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最⼤值、最

⼩值实际是就是已知函数的值域，对分⼦或分母为⼆次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。

【解】函数式变形为：(y－m)x2－43x＋(y－n)＝0，x∈R,由已知得y－m≠0

∴△＝(－43)2－4(y－m)(y－n)≥0即：y2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0①

不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是⽅程y2－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，

代⼊两根得：

1120

497120

+++-=

-++-=

()

()

mnmn

mnmn

解得：

m

n

=

=

5

1

或

m

n

=

=

1

5

∴y＝5431

1

2

2

xx

x

++

+

或者y＝

xx

x

2

2

435

1

++

+

此题也可由解集(-1,7)⽽设(y＋1)(y－7)≤0,即y2－6y－7≤0，然后与不等式

①⽐较系数⽽得：

mn

mn

+=

-=-

6

127

，解出m、n⽽求得函数式y。

6、构造法

在解题时，我们常常会采⽤这样的⽅法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是⼀个图形、⼀个⽅程(组)、⼀个

等式、⼀个函数、⼀个等价命题等，架起⼀座连接条件和结论的桥梁，从⽽使问题得以解决，这种解题的数学⽅法，我们称为

构造法。运⽤构造法解题，可以使代数、三⾓、⼏何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

例题：

如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D。求证：AB＋BD＝

AC

【分析】若遇到三⾓形的⾓平分线时，常构造等腰三⾓形，借助等腰三⾓形的有关性质，往往能够找到解题途径。

【解】延长CB到点F，使BF=AB，连接AF，则△BAF为等腰三⾓形，且∠F=∠1.再根据三⾓形外⾓的有关性质，得出

∠ABD=∠1+∠F,即∠ABD=2∠1=2∠F，⽽∠ABD=2∠C，所以∠C=∠1=∠F，△AFC为等腰三⾓形，即AF=AC，⼜可得

△FAD为等腰三⾓形,因此，AF=DF=DB+BF=DB+AB,即AB＋BD＝AC。

7、反证法

反证法是⼀种间接证法，它是先提出⼀个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致⽭盾，从

⽽否定相反的假设，达到肯定原命题正确的⼀种⽅法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反⾯只有⼀种)与穷举反证法(结论的

反⾯不只⼀种)。⽤反证法证明⼀个命题的步骤，⼤体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握⼀些常⽤的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存

在；平⾏于/不平⾏于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；⼤(⼩)于/不⼤(⼩)于；都是/不都是；⾄少有⼀个/⼀个也没有；⾄少有

n个/⾄多有(n⼀1)个；⾄多有⼀个/⾄少有两个；唯⼀/⾄少有两个。

归谬是反证法的关键，导出⽭盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为⽆源之⽔，⽆本之⽊。推理必须

严谨。导出的⽭盾有如下⼏种类型：与已知条件⽭盾；与已知的公理、定义、定理、公式⽭盾；与反设⽭盾；⾃相⽭盾。

例题：

若P是两条异⾯直线l、m外的任意⼀点，则()

A．过点P有且仅有⼀条直线与l、m都平⾏

B．过点P有且仅有⼀条直线与l、m都垂直

C．过点P有且仅有⼀条直线与l、m都相交

D．过点P有且仅有⼀条直线与l、m都异⾯

【分析】对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m

则有l∥m，与l、m异⾯⽭盾；对于C，过点P与l、m都相交的直线不⼀定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P与l、m都异⾯的

直线不唯⼀．

【答案】B

8、⾯积法

平⾯⼏何中讲的⾯积公式以及由⾯积公式推出的与⾯积计算有关的性质定理，不仅可⽤于计算⾯积，⽽且⽤它来证明平⾯⼏何

题有时会收到事半功倍的效果。运⽤⾯积关系来证明或计算平⾯⼏何题的⽅法，称为⾯积⽅法，它是⼏何中的⼀种常⽤⽅法。

⽤归纳法或分析法证明平⾯⼏何题，其困难在添置辅助线。⾯积法的特点是把已知和未知各量⽤⾯积公式联系起来，通过运算

达到求证的结果。所以⽤⾯积法来解⼏何题，⼏何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，

即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。

例题：

如图2，C是线段AB上的⼀点，△ACD、△BCE都是等边三⾓形，AE、BD相交于O。

求证：∠AOC=∠BOC。

图2

证明：过点C作CP⊥AE，CQ⊥BD，垂⾜分别为P、Q。

因为△ACD、△BCE都是等边三⾓形，

所以AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，

所以∠ACE=∠DCB

所以△ACE≌△DCB

所以AE=BD，

可得CP=CQ

所以OC平分∠AOB

即∠AOC=∠BOC

9、⼏何变换法

在数学问题的研究中，常常运⽤变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题⽽得到解决。所谓变换是⼀个集合的任⼀元素到同

⼀集合的元素的⼀个⼀⼀映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有⼀些看来很难甚⾄于⽆法下⼿的习题，可以借助

⼏何变换法，化繁为简，化难为易。另⼀⽅⾯，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静⽌条件下的研究和

运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。

⼏何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。

例题：

1.平移变换把图形中的某⼀个线段或者⼀个⾓移动到⼀个新的位置，使图形中分散的条件紧密地结合到⼀起。

⼀般有2种⽅法：

1.平移已知条件

2.平移所求问题，把所求问题转化，其实就是逆向证明。⼏何题多数都是逆向思考的。

例：在三⾓形ABC中，BD=CE,求证：AB+AC⼤于AD+AE。这是典型的平移条件问题。

【解】我们把三⾓形AEC平移到如图所⽰的FBD位置。

这⾥⽤了BD=EC的条件。设AB与FD交于P

这样，容易构造两个全等的三⾓形AEC,FBD由于

PA+PD⼤于AD

PF+PB⼤于BF

两式相加PA+PB+PD+PF⼤于AD+BF

⼜因为BF=AE，AC=FD

所以AB+AC⼤于AD+AE

2.旋转变换把平⾯图形绕旋转中⼼,旋转⼀个定⾓，使分散的条件集中在⼀起.

例：如图,等腰直⾓三⾓形ABC中,AB=AC,∠A=90,M,N为斜边BC上两点且∠MAN=45,求证:BM^2+CN^2=MN^2

【解】要证BM^2+CN^2=MN^2,容易想到勾股定理.但是

BM,CN,MN都不在同⼀个三⾓形上,所以,我们就设法将

BM,CN,MN移到同⼀三⾓形上。考虑到△ABC是等腰三⾓形，

且是直⾓三⾓形，将△ABM绕点A逆时针旋转90.使AB与AC

重合.得到△ACD，则△NCD为直⾓三⾓形

只需证明MN=ND即可

因为∠MAN=45,所以∠BAM+∠NAC=45，即∠NAD=45

⼜因为AM=AD

所以△AND≌△AMN

所以MN=ND，在直⾓△NDC中，有ND^2=NC^2+DC^2，所以BM^2+CN^2=MN^2

3.对称变换通过作关于某⼀直线或⼀点的对称图，把图形中的图形对称到另⼀个位置上，使分散的条件集中在⼀起。

当出现以下两种情况时，经常考虑⽤此变换：1.出现了明显的轴对称、中⼼对称条件时。2.出现了明显的垂线条件时。

例△ABC中,∠BAC=90,△ACD为等边三⾓形，已知∠DBC=2∠DBA，求∠DBA。【解】由对称可知，△BAE全等于△BAD

，DE⊥AB,

所以BE=BD,AE=AD,∠ABE=∠ABD

因为∠DBC=2∠DBA所以∠DBC=∠DBE

在BC上取点F，使BF=BE

⼜因为∠BAC=90，DE⊥AB

所以DE∥BC，∠ADE=∠DAC=60

所以ADE是等边三⾓形

DE=AD=DC

因为EF关于BD对称

所以DF=DE=DC,BF=BE=BD,

设∠DBA=a则∠DBF=2a

因为BF=BD，所以∠BFD=（180-2a）/2=90-a

由于DF=DC，所以∠DCF=90-a

∠ACB=180-60-（90-a）=30+a

因为∠ABC+∠ACB=90，即a+2a+30+a=90，a=15

所以∠DBA=a=15

10.客观性题的解题⽅法

选择题是给出条件和结论，要求根据⼀定的关系找出正确答案的⼀类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以⽐较全⾯

地考察学⽣的基础知识和基本技能，从⽽增⼤了试卷的容量和知识覆盖⾯。

填空题是标准化考试的重要题型之⼀，它同选择题⼀样具有考查⽬标明确，知识复盖⾯⼴，评卷准确迅速，有利于考查学⽣的

分析判断能⼒和计算能⼒等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防⽌学⽣猜估答案的情况。

要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的⽅法与技巧。下⾯通

过实例介绍常⽤⽅法。

（1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运⽤概念、公式、定理等进⾏推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就

是传统的解题⽅法，这种解法叫直接推演法。

（2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代⼊条件中去验证，找出正确

答案，此法称为验证法（也称代⼊法）。当遇到定量命题时，常⽤此法。

（3）特殊元素法：⽤合适的特殊元素（如数或图形）代⼊题设条件或结论中去，从⽽获得解答。这种⽅法叫特殊元素法。

（4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有⼀个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论

再经筛选，从⽽作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。

（5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常⽤

⽅法之⼀。

（6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从⽽选出正确的结果，称为分析法。